巴斯光年與喵咪的物理學

24.06.202224.06.2022 David Yu2 Comments

1995年《反斗奇兵》(Toy’s Story) 上映，當年只有八歲的我看的當然是粵語配音，「太空戰士，一飛沖天！」是電影中巴斯光年的著名台詞。這句台詞的英語原句是 “To infinity and beyond” 意思是「跨越無垠」，與粵語翻譯稍為不同，但對小朋友來說「太空戰士一飛沖天」卻是更加琅琅上口。

27年後《光年正傳》(Lightyear) 正式把當年像個妄想症病人的巴斯光年背景故事放上大銀幕，再次勾起許多大人們的回憶。而這次巴斯光年是個真正穿梭宇宙的太空戰士，手上的終於不是「燈膽仔」而是真正的雷射槍，胸口上的按鈕亦終於不是台詞錄音機而是隱形裝置。

===劇透警戒線===劇透警戒線===劇透警戒線===

巴斯光年與伙伴們在電影中流落一顆充滿危險生物的行星 T’Kani Prime，要回到地球就必須突破光速的限制。由於飛船的引擎使用由各種不同化合物合成的結晶，巴斯光年必須親自測試不同組合，找出能讓飛船飛得比光更快的結晶。

問題來了，每次巴斯光年的試飛雖然只有4分鐘，但當他回到 T’Kani Prime 行星上，4年的時間已經過去了。這是真實存在的物理效應「時間膨脹」(time dilation)，當飛船以接近光速的速率航行，留在行星上的人所過的時間就會比飛船上的人過的更長。大家可能聽過的「雙生子悖論」(twin paradox) 就是由此效應衍生的。

速度越接近光速，時間膨脹的效應就越大。巴斯光年花了十多次試航的時間也找不到正確的結晶（對巴斯光年來說只過了十多天，但對行星上的人來說已是62年），飛船一旦嘗試突破70%光速，結晶就會失效。

根劇相對論巴斯光年早成功了

關於時間膨脹效應，可以參考我很久以前寫的一篇文章《你也能懂相對論》。有趣的是，電影給出了4分鐘和4年這兩個數字，我們就可以利用相對論的公式算出飛船飛得得有多快。略去算式和計算步驟，假設飛船在4分鐘之內以全速飛行（實際上需要經歷加速和減速，因此實際計算會稍為複雜），巴斯光年的飛船速度為⋯⋯99.99999999999995%光速！

咦，不是70%嗎？如果巴斯光年的飛船真的只以70%光速飛行的話，當他飛完4分鐘回到 T’Kani Prime 行星上時，行星上面的人過了的時間會是⋯⋯5分鐘36秒。時間膨脹的效應仍然會是很明顯嘛，不過沒有電影裏面的戲劇性就是了。

因此，如果相對論要在電影世界中成立的話，就必須假設巴斯光年的飛船實際上飛得比70%光速更快。而更重要的是，喂喂巴斯光年，這不是成功了嗎？99.99999999999995%光速也很足夠了吧，非得要100%才滿足嗎？難道你是個完美主義者嗎！？

太空戰士工作範圍超出規定

電影中的行星 T’Kani Prime 距離地球480萬光年，而司令要求巴斯光年保護整個星系⋯⋯咦？究竟我們的星系——銀河系（Milky Way Galaxy）——有多大呢？

銀河系是一個棒旋星系，其螺旋星盤直徑為10萬光年。所以，480萬光年根本已經超越銀河系了吧好嗎！司令你是要剝削太空戰士嗎？請問有沒有太空戰士工會？

事實上，正在向銀河系衝過來的仙女座大星系（Andromeda Galaxy）也只不過距離我們250萬光年，所以 T’Kani Prime 恆星系統可能位於星系以外，並不屬於任何一個星系！能在廣闊的宇宙空間裏找到一個有生命存在的行星本身就是件壯舉吧！

巴斯光年的喵咪是物理喵

因為巴斯光年的一句話，喵咪機械人 Sox 花了62年時間找出了正確的結晶合成方法。利用這個結晶，巴斯光年終於能夠突破光速進入 “hyperspeed”，能夠帶所有人回到地球了。而這次成功的試飛花了 T’Kani Prime 行星上22年的時間。

事實上，相對論並不允許我們加速到100%光速，遑論超越光速。宇宙中只有沒有質量的粒子才能達到光速。如果我們是光，那麼對我們來說時間會停頓，我們可以在零時間內走完整個宇宙。

未來的巴斯光年更加利用這個結晶回到過去。實際上我們並不知道超越光速是否就能夠回到過去，因為超光速代表在相對論的公式中出現了所謂的「虛數」，沒有人明白它的物理意義是什麼。看來，喵咪比人類更加懂物理呢！

物理不能帶我們回到過去 電影卻可以

然而，即使電影的物理計算有誤，那又何妨？我們是與《反斗奇兵》裡的安迪一同成長的世代，見證著安迪從第一集那位愛惜玩具的小朋友，到第三集完結時捨得把最心愛的玩具送給另一個小朋友，其實也是見證著自己的成長。

這次 Pixar 把我們拉回到小時候，讓大人們再次變成當年的安迪，感受只有孩童能想像的那種天馬行空，重新感受一次巴斯光年，太空戰士，一飛沖天。

【2020 諾貝爾物理學獎】廣義相對論與宇宙最黑暗秘密

12.10.202022.06.2022 David YuLeave a comment

諾貝爾獎有三個科學奬項，我們在學校也習慣以「物理、化學、生物」等不同科目去區分不同科學領域。這種分界當然能夠方便我們以不同角度去理解各種自然現象，但大自然其實是不分科目的。科學最有趣的是各種自然現象環環相扣，我們不可能只改變大自然的某一個現象而不影響其他。就好像蝴蝶效應，牽一髮而動全身。

廣義相對論間接推論暗物質存在的必要

廣義相對論是目前最先進的重力理論，它能夠解釋迄今為止所有實驗和觀測數據。然而，天文學家發現銀河系的轉速和可觀測宇宙的物質分佈，都顯示需要比觀測到的物質更加多的質量。這是物理學的其中一個未解之謎，有時會被稱為「消失的質量」問題。那些「應該在而卻看不到」的物質，就叫做暗物質（dark matter）。

有些物理學家猜測，會否根本沒有暗物質，而是廣義相對論需要被修改呢？他們研究「修正重力（modified gravity）」理論，希望藉由修正廣義相對論去解釋這些觀察結果，無需引入暗物質這個額外假設。可是從來沒有修正重力理論能媲美廣義相對論，完美地描述宇宙一切大尺度現象。

天文學研究向來難以得到諾貝爾獎，因為天文發現往往缺乏短期實際應用。然而過去十年之間，有關天文發現的研究卻得到了五個諾貝爾物理學獎。換言之，過去幾十年間改變人類對宇宙的基本認知的，有一半是來自於天文現象。其中有關廣義相對論的包括2017年的重力波觀測、2019年的宇宙學研究，以及2020年的黑洞研究。

不過很少人提及這三個關於廣義相對論的發現其實同時令暗物質的存在更加可信。因為這些發現測量得越精確，就代表廣義相對論的錯誤空間更小。換句話說，物理學家越來越難以靠修正重力去解釋「消失的質量」問題，所以暗物質的存在就越來越有其必要了。

換句話說，如果證明黑洞存在，其對科學的影響並不單止是為愛因斯坦的功績錦上添花，而是能夠加深人類對構成宇宙的物質的理解。

描述四維時空的圖

卡爾・薩根（Carl Sagan）講解二、三、四維空間。

談黑洞之前，我們首先要理解一下，物理學家是如何研究時空的。研究時空的一種方法，就是利用所謂的時空圖（spacetime diagram）。一般描述幾何空間的圖，在直軸和橫軸分別表示長和闊，形成一個二維平面。有時更可按需要加多一條垂直於平面的軸，代表高度。長、闊、高，構成三維空間。但如果要再加上時間呢？那麼就再在垂直於長、闊、高的第四個方向畫一條軸吧。咦？

怎麼了，找不到第四個方向嗎？這是當然的，因為我們都是被囚禁在三維空間之中的生物。如果有生活在四維空間裡的生物，牠們會覺得我們很愚蠢，問我們：「為什麼不『抬頭』？第四個方向不就在這邊嗎？」就像我們看著平面國的居民一樣，在二維生物眼中，牠們的世界只有前後左右，沒有上下。到訪平面國的我們也會問：「為什麼不『抬頭』？第三個方向不就在這邊嗎？」但牠們無論如何也做不到。

宇宙是三維空間，另外加上時間。如果要加上時間軸這個「第四維」的話，我們就必須犧牲空間維度。物理學家使用的時空圖就是個三維空間，直軸代表時間（時間軸）、兩條水平的橫軸代表空間（空間軸）。當然，把本來的三維空間放在二維的平面上，我們需要一些想像力。在時空圖上，每個點都代表在某時某地發生的一件事件（event），因此我們可以利用時空圖看出事件之間因果關係。一個人在時空中活動的軌跡，在時空圖上稱為世界線（world line）。

時空圖上的光錐。（Credit: H2NCH2COOH/Wikimedia Commons）

由於時間軸是垂直的，並且從時空圖的「下」向「上」流動。一個站在原地位置不變的人的世界線會是平行時間軸的直線。由於光線永遠以光速前進，光線的世界線會是一條斜線。而只要適當地選擇時間軸和空間軸的單位，光線的世界線就會是45度的斜線。因為沒有東西能跑得比光快，一個人未來可以發生的事件永遠被限制在「上」的那個由無數條45度的斜線構成的圓錐體之間，而從前發生可以影響現在的所有事件則永遠在「下」的圓錐體之間。這兩個「上」和「下」的圓錐體內的區域稱為那個人當刻的光錐（light cone），而物理學家則習慣以「未來光錐（future light cone）和「過去光錐（past light cone）」分別表示之。

所有東西的世界線都必定位於未來和過去光錐之內。在沒有加速度的情況下，所有世界線都會是直線。如果涉及加速，世界線就會是曲線。而廣義相對論的核心概念，就是重力與加速度相等，兩者是同一種東西。因此我們就知道如果在時空圖上放一個質量很大的東西，例如黑洞，那麼附近的世界線就會被扭曲。不單是物質所經歷的事件，連時空也會被重力場扭曲，因此時空圖上的格網線和光錐都會被扭曲往黑洞的方向。換句話說，越接近黑洞，你的越大部分光錐就會指向黑洞內部。因為你的世界線必須在光錐之內，你會剩下越來越小的可能逃離黑洞的吸引。

2020年的諾貝爾物理學獎一半頒給了彭羅斯（Roger Penrose），以表揚他「發現黑洞形成是廣義相對論的嚴謹預測」。在彭羅斯之前的研究，大都對黑洞的特性作出了一些假設，例如球狀對稱。這是因為以往未有電腦能讓物理學家模擬黑洞，只能用人手推導方程。但廣義相對論是非線性偏微分方程，就算不是完全沒有可能也是極端難解開的，所以物理學家只能靠引入對稱和其他假設去簡化方程。因此許多廣義相對論的解都是帶有對稱假設的。這就使包括愛因斯坦在內的許多物理學家疑惑，會不會是因為額外加入的對稱假設才使黑洞出現？在現實中並沒有完美的對稱，會不會就防止了黑洞的出現？

黑洞只是數學上的副產品嗎？

在一般的時空圖中，光錐會被重力扭曲；黑洞內的時間和空間會互換角色。（Credit: Johan Jarnestad/瑞典皇家科學院）

彭羅斯發現普通的高等數學並不足以解開廣義相對論的方程，因此他就轉向拓撲學（topology），而且必須自己發明新的數學方法。拓撲學是數學其中一個比較抽象的分支，簡單來說就是研究各種形狀的特性的學問。1963年，他利用一種叫做共形變換或保角變換（conformal transformation）的技巧，把原本無限大的時空圖（因為空間和時間都是無限延伸的）化約成一幅有限大小的時空圖，稱為彭羅斯圖（Penrose diagram）。

彭羅斯圖的好處除了是把無限縮為有限，還有另一個更重要的原因：故名思義，經過保角變換後的角度都不會改變。其實在日常生活中，我們經常都會把圖變換為另一種表達方式，例如世界地圖。由於地球表面是彎曲的，如果要把地圖畫在平面的紙上，就必須利用類似的數學變換。例如我們常見的長方形或橢圓形世界地圖，就是利用不同的變換從球面變換成平面。有些變換並不會保持角度不變，例如在飛機裡看到的那種世界地圖，在球面上的「直線」會變成了平面上的「曲線」。

扯遠了。回來談彭羅斯圖，為什麼他想要保持角度不變？因為這樣的話，光錐的方向就會永遠不變，我們可以直接看出被重力影響的事件的過去與未來。彭羅斯也用數學證明，即使缺乏對稱性，黑洞也的確會形成。他更發現在黑洞裡，一個有著無限密度的點——奇點（singularity）——必然會形成。這其實就是彭羅斯-霍金奇點定理（Penrose-Hawking singularity theorem），如果霍金仍然在世，他亦應該會共同獲得2020年諾貝爾物理學獎。

在奇點處，所有已知物理學定律都會崩潰。因此，很多物理學家都認為奇點是不可能存在宇宙中的，但彭羅斯的計算卻表明奇點不但可以存在，而且還必定存在，只是在黑洞的內部罷了。如果黑洞會旋轉的話（絕大部分都會），裡面存在的更不會是奇點，而是一個圈——奇異圈（singularity ring）。

黑洞的表面拯救了懼怕奇點的物理學家。黑洞的表面稱為事件視界（event horizon），在事件視界之內，你必須跑得比光線更快才能回到事件視界之外。因此沒有任何物質能夠回到黑洞外面，所以黑洞裡面發生什麼事，我們都無從得知。就是這個原因給予了科幻電影如《星際啟示錄（Interstellar）》創作的空間——在黑洞裡面，編劇、導演和演員都可以天馬行空。只要奇點永遠被事件視界包圍，大部分科學家就無需費心去擔心物理學可能會分崩離析了。甚至有些科學家主張，研究黑洞的內部並不是科學。

雖然如此，卻沒有阻礙彭羅斯、霍金等當代理論天體物理學家，利用與當年愛因斯坦所用一樣的工具——紙和筆——去研究黑裡面發生的事情。雖然或許我們永遠無法證實，但他們的研究結果絕非無中生有，而是根據當代已知物理定律的猜測，即英文中所謂educated guess。利用彭羅斯圖，我們發現不單奇點必定存在，而且在黑洞裡面，時間和空間會互相角色。

但這是什麼意思？數學上，時間和空間好像沒有分別，但在物理上兩者分別明顯：在空間中我們可以自由穿梭，但在時間裡我們卻只能順流前進。彭羅斯發現，帶領掉入黑洞的可憐蟲撞上奇點的並非空間，而是時間，因此我們也說奇點是時間的終點。亦因為在黑洞裡面掉落的方向是時間，向後回頭是不可能的，所以一旦落入黑洞，就只能走向時空的終結。

看見黑洞旁的恆星亂舞

環繞銀河系中心無線電波源人馬座A*公轉的恆星S2的完整軌跡觀測結果。（Credit: Johan Jarnestad/瑞典皇家科學院）

另一半諾貝爾獎由Reinhard Genzel和Andreas Ghez平分，以表揚他們「發現銀河系中心的超大質量緻密天體」。銀河系中心的確有一個超大質量的物體，而且每個星系中心都有一個。這些質量極大的物體，就是所謂的超大質量黑洞（supermassive blackholes）。

上世紀50年代開始，天文學家陸續發現了許多會釋放出無線電輻射的天體，稱為類星體（quasars）。之後其中一個類星體3C273被觀測確認是銀河系外的星系中心。根據計算，3C273釋放出的無線電能量是銀河系中所有恆星的100倍。起初，天文學家認為這些能夠釋放巨大能量的類星體，必然是些比太陽重百萬倍的恆星。但是理論計算結果卻表明，這麼重的恆星會是極不穩定的，而且壽命會非常短，因此類星體不可能是恆星。

為什麼這些類星體不可能是恆星？因為恆星的發光度是有極限的，而且正比於恆星的質量。這個極限稱為愛丁頓極限（Eddington limit）。如果恆星的發光度超出愛丁頓極限，光壓（radiation pressure，即光子對物質所施的壓力）就會超過恆星自身的重力，恆星就會變得不穩定。因此，天文學家逐漸改而相信類星體是位於星系中心的超大質量黑洞。這也令類星體多了一個名字：活躍星系核（active galactic nucleus）。

每個黑洞旁邊都有一個最內穩定圓形軌道（innermost stable circular orbit），依據黑洞會否旋轉而定，大概是黑洞半徑的3-4.5倍。比最內穩定圓形軌道更接近黑洞的範圍，環繞黑洞運行的物質都會因不穩定的軌道而墜落黑洞之中，並在墜落的過程中釋放出6-42%的能量，因此可以解釋活躍星系核的強大發光度。

另一方面，彭羅斯在1969年亦發現一個旋轉的黑洞能夠把能量轉給物質，並且把物質拋出去，這個過程稱為彭羅斯過程（Penrose process）。換言之，從黑洞「偷取」能量是有可能的。科學家估計，科技非常先進的外星文明有可能居住於黑洞附近，並利用彭羅斯過程從黑洞提取免費的能源。這個過程亦進一步支持超大質量黑洞能夠釋放巨大能量的理論。

由於E=mc^2，能量即是質量，因此被偷取能量的黑洞的質量就會減少。霍金在1972年發現一個不會旋轉的黑洞的表面積不可能減少。黑洞質量越大，其表面積就越大，因此不會旋轉的黑洞不會有彭羅斯過程。他亦發現，如果是個會旋轉的黑洞，其表面積是有可能減少的。因此霍金的結論支持了彭羅斯的理論。

Genzel和Ghez兩人的研究團隊已經分別利用位於智利的歐洲南方天文台（European Southern Observatory）的望遠鏡和位於夏威夷的凱克望遠鏡（Keck Telescope）監察了距離地球約25,000光年的銀河系中心區域將近30年之久。他們發現有很多移動速度非常快的恆星，正在環繞一個不發光的物體轉動。這個不發光的物體被稱為人馬座A*（Sagittarius A*，縮寫為Sgr A*）。Sgr A*會放出強大的無線電波，這點與活躍星系核的情況相似。

他們不單確認了這些恆星的公轉速率與Sgr A*的距離的開方成反比，Genzel的團隊更成功追蹤了一顆記號為S2的恆星的完整軌跡。這兩個結果都表明，Sgr A*必然是一個非常細小但質量達400萬倍太陽質量的緻密天體。這樣極端的天體只有一種可能性：超大質量黑洞。

霍金輻射 黑洞的未解之謎

諾貝爾物理學委員會在解釋科學背景的文件中亦特別提及霍金的黑洞蒸發理論以及霍金輻射（Hawking radiation）。現時仍然未能探測到霍金輻射的存在，未來若成功的話除了將再一次驗證廣義相對論以外，更會對建立量子重力理論（quantum gravity theory）大有幫助。就讓我們拭目以待吧！

重力波研究、宇宙學研究、黑洞研究，都是直接檢驗廣義相對論預言的方法。加上2019年4月10日公布的黑洞照片，大自然每一次都偏心愛因斯坦。相信愛因斯坦在天上又會伸出舌頭，調皮地說：「我早就知道了！」

延伸資料：

2020年諾貝爾物理學奬官方網頁

踏進多啦 A 夢的任意門，你其實是回到過去？

23.04.2018 David Yu2 Comments

此文章為我的泛科專欄《動漫物理學》文章，原文於 2017 年 4 月 14 日刊於泛科學。

多啦 A 夢的百寶袋中各種神奇法寶，你最想要哪一樣？

根據日本朝日電視台的統計結果，多啦 A 夢的法寶之中最受歡迎的是任意門，第二名是時光機。不管這兩名是不是你的最愛，對於經常睡到日上三竿、遠離家鄉在外國居住的我，這兩件法寶可是大有用處，可以幫助我多賺一點賴床時間，節省回香港的機票錢。

不過，大家又可知道，任意門的功能其實就是一部時光機？

穿越廣闊空間的工具

從前，沒有機器的幫助，人類只能在很細小範圍內的二維表面——前後左右——移動。這個二維表面指的就是居所的附近。發明了汽車和輪船以後，我們的活動範圍大大提升了，擴展到整個地球的表面。而直到近期陸續發明了飛機、潛艇、火箭、太空穿梭機，我們才得到在第三維——上下——自由移動的能力。

然而，這些都只是理論上的成就。實際上，因為現今科技所限，遑論寬廣無垠的太空，我們對地球上的深海和地底世界，都仍所知甚少。而且，即使人類能造出可以到達深海任何地方的潛艇、無堅不摧的鑽地機，或者能高速飛行的太空船，我們穿越三維空間的能力，依舊受限於物理定律的速度上限：光速，每秒 30 萬公里。愛因斯坦的相對論說，在我們的宇宙之中，沒有任何東西可以超越光速。

多啦 A 夢的任意門卻能夠打破愛因斯坦設立的速度限制。根據漫畫中多啦 A 夢的講解，只要事先輸入目的地資料，任意門就能即時穿越最遠 10 光年的距離，立即帶我們到達目的地。10 光年，即是光線要花 10 年才能走完的距離，而任意門在一瞬間就接通了。由此可見，光速這個限制任意門根本不當成一回事啊，22 世紀的科技實在太厲害了。

超越光速等於回到過去？

愛因斯坦為什麼說，沒有東西能傳遞得比光更快呢？其中一個原因是能量守恆。根據相對論能量方程式，當質量非零的物體速度趨向光速，其能量就趨向無限大。換句話說，我們的太空船永遠不可能加速到光速，因為這樣做需要輸入無窮無盡的能量。太空船總不能帶著無限能源吧。

然而，任意門突破光速限制的方法，並非依靠速度。就好像上次我們討論的四度空間百寶袋，任意門是直接把宇宙之中的兩個地方接通，好像理論中的蟲洞一樣。不過，這樣做雖然沒有加速的能源問題，卻會導致一個不可意義的結果。踏進任意門的一刻，其實等於回到過去。

為什麼呢？原因非常簡單，光線需要時間才能穿越空間。我們來想像一下：假設大雄想使用任意門走到對面馬路，在他踏進任意門之前，已經有光線從他身上出發並開始飛越馬路。因為大雄穿過任意門並不需要時間，而光線橫越馬路卻需要時間，如果大雄穿過任意門後回頭一看，他就會看到他踏進任意門之前從他自己身上出發的光線。換句話說，大雄會看見仍在對面、還未踏進任意門的自己！

回到過去可能發生的矛盾

多啦 A 夢曾經解釋過，只要調節任意門把手上的刻度，任意門就可以接通不同地點的不同時間。所以，實際上使用任意門不單可以回到過去，更能夠穿越未來，不過能夠選擇的時間好像沒有時光機那樣長？這樣想，任意門應該是個輕便版本的時光機吧！

然而，任意門和時光機之類能夠穿梭時空的法寶，會為我們帶來邏輯困局。舉例說，如果回到過去阻止自己的父母生出自己，那麼自己究竟有沒有出生？如果沒有，那自己就不會回到過去阻止自己出生，所以自己就會出生，所以自己就會回到過去阻止自己出生，所以自己就不會出生⋯⋯

多啦 A 夢的作者藤子．F．不二雄肯定是知道這個邏輯悖論的。漫畫中很多個故事都涉及穿越時空改變歷史、與不同時間的自己相遇，甚至大雄與多啦 A 夢的整個故事都是基於「要改變大雄的命運」這個前提上。至於在現實世界之中，自然定律是否允許時空穿梭？就現代物理學來看，答案似乎是否定的。縱使愛因斯坦的廣義相對論在理論上允許蟲洞存在，從來沒有證據顯示它們真的存在於我們的可見宇宙之中。

即使如此，物理學仍然無阻任意門、時光機等等神奇的道具出現在漫畫和電影之中，激盪著人類的想像力。想像力是科學家的超能力，可惜現實裡沒有時光機，不然我們就可以去未來看看，小時候坐在電視機前看多啦 A 夢的孩子，有多少個成為未來的科學家？你是其中一個嗎？

方程是永恆：愛因斯坦（Albert Einstein）

25.09.201726.09.2017 David Yu2 Comments

1879年，愛因斯坦出生於德國南部小鎮烏姆（Ulm）。1880年，他隨家人搬到慕尼黑（München）。與一般印象相反，愛因斯坦小時候因為鮮少說出完整句子，父母曾以為他有學習障礙。

愛因斯坦在慕尼讀中學。他非常討厭德國學校著重背誦的教育方式，課堂上總自己思考問題，不專注聽課，所以經常被老師趕出班房。1894年，愛因斯坦15歲，他父親赫爾曼・愛因斯坦（Hermann Einstein，1847-1902）在慕尼黑的工廠破產，迫使舉家遷往意大利帕維亞（Pavia），留下愛因斯坦在慕尼黑完成中學課程。同年12月，愛因斯坦以精神健康理由讓學校準許他離開，前往帕維亞會合家人。

這次出走改變了愛因斯坦的一生，甚至可說改變了人類文明的科學發展。

愛因斯坦不懂意大利語，不能在帕維亞上學。他早有準備，前往瑞士德語區蘇黎世（Zürich）投考蘇黎世聯邦理工學院（Eidgenössische Technische Hochschule Zürich，通常簡稱ETH Zürich）。結果愛因斯坦數學和物理學都考得優異成績，但其他科目如文學、動物學、政治和法語等等卻全部不合格。

蘇黎世聯邦理工學院給予愛因斯坦一次機會，著他到附近小鎮阿勞（Aarau）去完成中學課程，明年再考。在這段期間，愛因斯坦暫住在斯特・溫特勒教授（Jost Winteler，1846-1929）家中。愛因斯坦很喜歡開明、自由的溫特勒教授一家，利用這一年溫習各科目，更與溫特勒的女兒瑪麗・溫特勒（Marie Winteler，1877-不詳）相戀。

瑞士的教育方式與德國的不相同，並不強調背誦。瑞士學校老師非常鼓勵學生發表意見，不會以權威自居，這一點與討厭權威的愛因斯坦非常合得來。愛因斯坦曾於寄給溫特勒的信中寫道：「對權威不經思索的尊重，是真理的最大敵人。」[1]他稱自己為世界主義者，不喜歡德國日漸升溫的國家主義。溫特勒教授就幫助愛因斯坦放棄德國國籍，愛因斯坦因而成為了無國籍人士，他很喜歡這個「世界公民」身份。

一年後，愛因斯坦再次投考蘇黎世理工學院。物理、數學當然成績優異，其他科目亦合格，愛因斯坦順利被取錄入讀物理學系。然而，他父親卻期望他進入工程學系，將來繼續家族工廠，因此他們大吵了一場。

愛因斯坦大學時繼續他我行我素的性格，經常逃課去上其他科目的課堂，所以都要他的同學們幫他抄筆記，他才知道考試範圍。加上愛因斯坦以刺激權威為樂，教授們都不喜歡這個又煩又懶的學生，不願意幫他寫好的推薦信，所以他畢業後一直找不到工作。

在學時，愛因斯坦與物理系唯一一個女同學米列娃・馬利奇（Mileva Marić，1875-1948）相戀。根據膠囊資料顯示，愛因斯坦與米列娃的書信中曾提到他們有個女兒叫麗瑟爾。不過後來他們就再沒提到她，歷史學家估計麗瑟爾出生不久就死於猩紅熱。愛因斯坦與米列娃在1903年結婚，之後他們生了兩個兒子——大子漢斯和二子愛德華。他們最終在1914年分居，1919年離婚。

愛因斯坦於1900年畢業，取得了教學文憑。可是，由於教授們都不喜歡愛因斯坦，他申請大學職位的申請信全都石沉大海。愛因斯坦非常沮喪，以致他父親於1901年寫信給威廉・奧斯特瓦爾德教授（Wilhelm Ostwald，1853-1932，1909年諾貝爾化學獎得主）請求他聘請愛因斯坦當助手，或者至少寫給愛因斯坦鼓勵說話。當愛因斯坦快要連奶粉錢也不夠的時候，他大學時的舊同學格羅斯曼・馬塞爾（Grossmann Marcell，1878-1936）[2]的岳父以人事關係幫他在瑞士專利局找到了一份二級專利員的工作，愛因斯坦才度過難關。

愛因斯坦喜歡在早上就把所有工作做完，利用整個下午在辦公桌上思考物理問題。一個從學生時代就已令他著迷的問題就是：如果他能夠跑得和光一樣快，會看到什麼？

詹士・馬克士威（James Clerk Maxwell，1831-1879）的電磁學方程組說明光線就是電磁場的波動，而電磁波亦已被亨里希・赫茲（Heinrich Hertz, 1857-1894）的無線電實驗證明存在。科學家認為，既然光是波動，就跟所有其他波動一樣需要傳播媒介：聲波需要粒子、水波需要水份子，而光需要「以太」才能在宇宙直空中傳播。

愛因斯坦於1905年發表狹義相對論。在這之前牛頓的絕對時空觀早已令科學界困擾多年。著名的邁克遜—莫雷實驗結果與牛頓力學速度相加法則相違背[3]。無論地球公轉到軌道的哪個位置，無論實驗儀器轉向哪個方向，光線都相對以太以同樣秒速30萬公里前進，分毫不差。這就好像下雨時無論向哪個方向跑，雨點總是垂直落在我們的頭頂。難道雨點知道我們跑步方向，故意調整落下角度嗎？

光速不變概念非常革命性。因為光速不變，在我們眼中同時發生的兩件事，其他人看起來卻不一定同時。時間與空間有微妙關係，兩者結合在一起成為時空。當年大部分科學家都認為問題必然出在馬克士威電磁方程式，但愛因斯坦卻不這麼想。他認為，我們常識中對「同時」的理解根本有誤。不過，愛因斯坦並非以力學切入這個問題，而是思考一個著名的電磁現象：法拉第電磁感生效應。

法拉第電磁感應定律指出，移動的帶電粒子會同時產生電場與磁場，靜止的帶電粒子則只會產生電場，沒有磁場。但相對論說宇宙並沒有絕對空間，速度只有相對才有意義。而物理現象必須是唯一的，所以我們就有個問題：究竟有沒有磁場存在？把電磁鐵穿過線圈，我們可以做以下三個實驗：

（一）固定電磁鐵，移動線圈；
（二）固定線圈，移動電磁鐵；
（三）固定線圈及電磁鐵，改變磁場強度。

實驗結果：三個實驗之中都有電流通過線圈，而且數值完全一樣！

我們可以從實驗結果得出甚麼結論？基於完全不同的物理過程，實驗（一）與實驗（二）和（三）得到相同的電流。實驗（一）產生電流的是磁場，而實驗（二）和（三）產生電流的卻是改變的磁場所感生的電場。嚴格來說，實驗（一）的結果並非法拉第定律，因為法拉第定律所指的是磁場感生電場。正是這區別令愛因斯坦得到靈感，他在論文中說這個現象顯示無論是電動力學與力學，根本不存在絕對靜止這回事。

愛因斯坦預期相對論會在科學界引起廣泛討論，結果卻是異常安靜。愛因斯坦突然拋棄了物理「常識」，此舉令科學界摸不著頭腦。馬克斯・普朗克（Max Karl Ernst Ludwig Planck，1858-1947，1918 年諾貝爾物理奬得主）可能是唯一一個明白相對論重要性的人，他讀到論文後寫過信去問愛因斯坦解釋清楚一些理論細節，更派馬克斯・馮勞厄（Max von Laue，1879-1960，1914 年諾貝爾物理奬得主）去拜訪愛因斯坦。馮勞厄發現愛因斯坦竟然不是大學教授，而是瑞士專利局裡的小職員。回家路上，愛因斯坦送給馮勞厄一支雪茄，馮勞厄嫌品質太差，趁愛因斯坦不為意從橋上把雪茄丟了下去。

愛因斯坦導出那舉世聞名的質能關係方程式E=mc²，解釋了放射性同位素輻射能量來源和太陽能量來源。不過愛因斯坦後來在1921年獲頒的諾貝爾物理學獎並非因為相對論，而是因為他應用普朗克的量子論解釋了光電效應。

愛因斯坦並沒有滿足於狹義相對論。狹義相對論只適用於慣性坐標系，可是宇宙裡絕大部份坐標系都是非慣性的，例如地球就是個加速中的坐標系。愛因斯坦知道必須找出一個新理論去解釋加速坐標系中的運動定律。他幾乎是獨力地與新發展的數學分支「張量分析」在黑暗之中搏鬥了十年之久，最後才於1915年11月完成廣義相對論。我們已經觀賞過的宇宙大爆炸，都遵守廣義相對論的方程式。

愛因斯坦尋找正確的廣義相對論公式期間，米列娃與愛因斯坦的關已經變得非常惡劣，而且愛因斯坦的母親非常不喜歡他倆的婚姻，米列娃她就在1914年帶著兩個孩子離開他們的家柏林，到瑞士去了。與孩子分離使愛因斯坦非常傷心，因為他堅持留在德國做研究。不過，他與後來第二任妻子、表妹愛爾莎・愛因斯坦（Elsa Einstein，1876-1936）[4]的曖昧關係已經一發不可收拾。

我們穿越時間來到了1915年11月底，愛因斯坦就快發現能夠描述整個宇宙的新理論了。狹義相對論裡時空是平的，並且所有慣性坐標系都是等價的。廣義相對論描述的是更廣泛的彎曲時空，它能描述所有坐標系。只要指定一套時空度規、給定能量與物質密度分佈，就能夠計算出時空曲率如何隨時間改變。相對論大師約翰・惠勒（John Archibald Wheeler，1911-2008）曾說：「時空告訴物質如何運動；物質告訴時空如何彎曲。」[5]

狹義相對論改正了以往區分時間與空間的常識，而廣義相對論則把萬有引力描述成時空曲率，連光線也會被重力場彎曲，再次顛覆了常識。我們只需要把一組十式的愛因斯坦場方程式配合相應時空度規，任何宇宙的過去與未來都能夠計算出來。

當然很多人質疑廣義相對論的正確性，因為科學理論必須接受實驗驗證。終於在1919年，英國天文學家亞瑟・愛丁頓（Sir Arthur Stanley Eddington, 1882-1944）來到西非畿內亞灣普林要比島（Principe）以日全食觀測結果驗證了廣義相對論。1919年5月29日早晨，下著傾盆大雨。幸好到了下午1時30分雨停了，不過還有雲。愛丁頓努力拍攝了許多照片，希望能夠拍到太陽附近的星光偏折。最後結果出來了：在拍得的照片中，有一張與愛因斯坦的預測數值吻合。其實在科學裡，一個證據並不足以支持一個理論，但愛丁頓是個廣義相對論狂熱擁護者，他立即對外公佈廣義相對論已經被證實了。

廣義相對論場方程式顯示，宇宙若不是正在收縮就是正在膨脹。我們已經知道，當年愛因斯坦認為宇宙永遠存在，因此他在場方程式裡加入了宇宙常數，用來抵消重力，使宇宙變得平衡，不會擴張也不會收縮。但這樣的宇宙極不穩定，只要非常細微的擾動，宇宙就會膨脹或收縮。就好像把一個保齡球放在筆尖上，理論上保齡球可以停在筆尖上，但只要一點點風就能使保齡球滾下來。

不過，這個常被人說成是愛因斯坦一生最大錯誤的宇宙常數，其實的確存在。錯有錯著，歷史再次證明愛因斯坦正確，儘管這並非愛因斯坦的原意。1929年，愛德溫・哈勃（Edwin Hubble，1889-1953）發現星系正在遠離地球，而且越遙遠的星系後退的速度就越快。這只能有兩個解釋：要麼地球是宇宙的中心、要麼宇宙正在膨脹。當愛因斯坦知道哈勃的發現後，他後悔在廣義相對論方程式裡加入了人為的宇宙常數[6]。

今天，科學家已經發現宇宙不單正在膨脹，而且膨脹正在加速。暗能量、或者宇宙常數，因而在上世紀末重新復活。一個正在加速膨脹的宇宙，比一個靜止的宇宙需要更巨大的宇宙常數。而且事實上，即使有宇宙常數，宇宙亦不可能靜止。

愛因斯坦在第二次世界大戰時，因為擔心納粹德國會製造出原子彈，所以他曾寫信致羅斯福總統要求美國搶先研究製造原子彈。到戰後才發現，當時的德國根本無法造出原子彈，因為大多數的科學家已經被希特拉趕走了。那天早上，當愛因斯坦聽到原子彈已經把日本廣島夷為平地，他就呆坐在家，久久未能平復心情。從此以後，愛因斯坦極力主張廢除核武，導致他被50年代著名的FBI胡佛探長（John Edgar Hoover，1895-1972）認為他是共產黨間諜。理所當然，胡佛始終無法找到任何證據捉拿愛因斯坦。

愛因斯坦因以普朗克的光量子概念解釋了光電效應而獲得1921年諾貝爾物理獎。光電效應論文證明了光同時是波動和粒子，稱為光的波粒二象性，是量子力學的基本原理。不過，儘管量子力學和廣義相對論的所有預測都未曾出錯，兩者卻互不相容。現在的科學家十分清楚：要不是量子力學是錯的、或廣義相對論是錯的、或兩者都是錯的。

愛因斯坦於1923年7月11號在瑞典哥德堡舉行的Nordic Assembly of Naturalists會講上講了他的諾貝爾獎講座。雖然他得到的是1921年諾貝爾獎，可是因為諾貝爾奬委員會認為在1921年的提名名單中沒有人能夠得獎，跟據規則該年度之獎項順延至下一年頒發，所以愛因斯坦實際於1922年得到1921年的諾貝爾獎。而由於在1922年諾貝爾獎頒獎典禮舉行時愛因斯坦正在遠東旅行，直到1923年愛因斯坦才在哥德堡講出他的諾貝爾奬講座。順帶一提，愛因斯坦獲頒諾貝爾獎不久之前，他正在香港。

愛因斯坦雖然有份為量子力學打下基礎，後來卻變得不相信量子力學，例如他與兩個物理學家共同提出的愛因斯坦—波多爾斯基—羅森悖論[7]就是為了推翻量子力學的。可是，科學家後來發現愛因斯坦—波多爾斯基—羅森悖論的假設「局域性」是錯的。廣義相對論認為宇宙是「局域」的，只有無限接近的兩個點才能有因果關係，因此推翻了牛頓重力理論中的「超距作用」。但量子力學卻說，兩個相距非常遠的粒子也能夠互相影響，因此量子力學與廣義相對論的假設是不相容的。

愛因斯坦一生都在尋找量子力學的錯處，結果是一個都找不到。他晚年一直在研究統一場論，希望統一電磁力和重力。不過，在他死前，人類並不知道除電磁力和重力以外還有強核力和弱核力。所以愛因斯坦根本沒有足夠的資訊去進行統一場論的研究，歷史注定要他失敗。

愛因斯坦一生對金錢、物質、名譽等不感興趣，他喜愛的東西大概可說只有物理和女人。他希望找出大自然的終極奧秘，並以優美、永恆不變的數學方程式表達出來。愛因斯坦覺得「政治只是一時，方程式卻是永恆。」[8]愛因斯坦聲稱自己並不擅長政治，但他在一生中卻經常對種族平等、世界和平等政治大議題作公開演講。因此他也引來許多人對他的政治立場表達不滿。

當以色列的第一任總統哈伊姆・魏茲曼（Chaim Azriel Weizmann，1874-1952）於1952年逝世時，以色列官方曾邀請愛因斯坦擔任第二任總統。最後，愛因斯坦寫了一封回信感謝並婉拒。

1955年4月18號，愛因斯坦在撰寫祝賀以色列建國七週年的講稿中途逝世。他生前堅拒以人工方法勉強延長生命，他說：「當我想要離去的時候請讓我離去，一味地延長生命是毫無意義的。我已經完成了我該做的。現在是該離去的時候了，我要優雅地離去。」[9]

[1]”Autoritätsdusel ist der größte Feind der Wahrheit.” The Private Lives of Albert Einstein (1993), p. 79.

[2]格羅斯曼在愛因斯坦建立廣義相對論期間幫助愛因斯坦解決數學上的問題，可說是廣義相對論的促進者。注意格羅斯曼是匈牙利人，名稱習慣先姓後名，所以格羅斯曼是他的姓，馬塞爾才是他的名。

[3]邁克遜—莫雷實驗是阿爾伯特・邁克遜（Albert Abraham Michelson, 1852-1931）和愛德華・莫雷（Edward Morley, 1838-1923）在1887年合作做的實驗，測量地球在以太參考系裡的速度。

[4]原名愛爾莎・路文塔爾（Elsa Löwenthal）。

[5]”Spacetime tells matter how to move; matter tells spacetime how to curve.” Geons, Black Holes, and Quantum Foam (2000), p. 235.

[6]流傳愛因斯坦說過這是他「一生中最大的錯誤」的故事應該是假的。

[7]愛因斯坦—波多爾斯基—羅森悖論是愛因斯坦、鮑里斯・波多爾斯基（Boris Podolsky，1896-1966）、納森・羅森（Nathan Rosen，1909-1995）於1935年合寫的一篇論文中的思想實驗，希望證明量子力學自相矛盾。

[8]”… politics are only a matter of present concern. A mathematical equation stands forever.” Brighter than a Thousand Suns: A Personal History of the Atomic Scientists (1958), p. 249.

[9]”I want to go when I want. It is tasteless to prolong life artificially. I have done my share, it is time to go. I will do it elegantly.” The ruptured abdominal aortic aneurysm of Albert Einstein, Surgery, Gynecology & Obstetrics, 170 (5): 455-8.

延伸閱讀：
《淺談 E=mc^2 ：愛因斯坦 137 歲誕辰》
《拋開常識的學者：愛因斯坦 (Albert Einstein)》

相對論、量子力學、黑洞和反物質

22.12.201625.12.2016 David Yu7 Comments

愛因斯坦發表相對論至今已超過 100 年。百年之間，無數科學家使用各種方法檢驗相對論，所有結果都與愛因斯坦寫下的方程式的結果吻合，從未出錯。

䇄立不倒的相對論

自邁克生（Albert Michelson）與莫雷（Edward Morley）在 1887 年做的光干涉實驗驗證了狹義相對論的假設，到 2015 年位於美國的兩座激光干涉重力波天文台（LIGO）直接探測到廣義相對論預言存在的重力波，愛因斯坦的相對論的所有預言已全被實驗和天文觀測驗證。無獨有偶，這兩個發現同樣都基於光干涉實驗，巧合呼應愛因斯坦發現相對論之前所作的光線騎士思想實驗。

不過，這並不代表在未來不會發現相對論出錯。牛頓力學在很多情況仍然適用，例如計算太空探測器的軌道並不需要使用相對論。在需要比較精確的數據時，如全球衛星定位系統，才必須利用廣義相對論去糾正重力影響時間流逝速率的效應。沒有人知道在未來更加精確的測量下，相對論的公式會否出現偏差。

ligo-gravitatioanl-waves-2 — Animated image converted from video by The News Lens Hong Kong. Original video credit: R. Hurt – Caltech/JPL

相對論與量子力學

物理學家非常清楚相對論與量子力學的假設互不相容。簡單地說，相對論禁止比光速更快地傳遞資訊，而量子力學則允許資訊在一刹那間橫跨宇宙。神奇地，描述大尺度時空的相對論與描述極微細粒子的量子力學，兩者於其應用範疇的預言都未曾出錯。

現在，物理學界傾向認為相對論並非大自然最基本的定律。很多人相信未來人類會找到能夠取代相對論、又與量子力學相容的時空和重力理論。

黑洞「火牆」

從前黑洞被認為是永不消失的。根據相對論，沒有任何物質能由黑洞視界（即光線也不能逃逸的界線）裡逃脫。然而，霍金（Stephen Hawking）在 1974 年預言，黑洞亦會以輻射粒子的形式流失能量。根據量子力學，真空並非真的一無所有，而是充斥著虛粒子對。量子力學裡的穿隧效應意味宇宙可以由虛無之中「借」來能量以產生虛粒子對，就好像這些虛粒子對由虛無之中穿越隧道到我們的宇宙中來，然後在極短時間內又互相碰撞、湮滅消失。宇宙似乎是個好債仔，有借有還。

霍金想像在黑洞的視界附近會有大量的虛粒子對產生又消失。可是，如果這些虛粒子對在非常接近黑洞視界出現的話，那麼它們就有可能在重新碰撞消失之前，其中一個粒子「不小心」越過了視界，落入沒有回頭路的黑洞之中。這樣的話，另一個粒子就失去了能與其湮滅的伴侶，能夠逃逸到遠處。由於能量必須守恆，逃逸的粒子帶有正能量，掉入黑洞裡的粒子就必須帶有負能量。所以對於遠方的觀測者來說，就如同黑洞拿自己的能量發射出一個帶有正能量的粒子。這個效應被稱為霍金輻射。

75c7e1d3-7819-4558-a97c6b6296350a07_article-gif — 美國科學人雜誌曾以黑洞火牆理論作為封面故事。

近年有理論物理學家發現，霍金輻射可能顯示相對論在黑洞視界失效。相對論的公式不能應用於無限密度。愛因斯坦本人也清楚，在黑洞中央、密度無限大的奇點，相對論會失效。不過，由於黑洞的奇點永遠被視界包圍，而沒有任何資訊能夠從視界內傳遞出來，所以相對論在視界外的宇宙仍力保不失。

愛因斯坦說，一個人不可能以任何實驗或觀測分辨出自己正受重力影響加速、或是位於無重力的慣性參考系之中。這叫做等效原理，是廣義相對論的基本假設。相對論公式說明，視界內外的時空並無分別，等效原理同樣適用。可是有理論物理學家發現霍金輻射在一般條件下會在視界外形成一道超高溫的高能量粒子「火牆」，任何穿越視界的人都會被極高能量𣊬間分解成基本粒子。如果真的如此，那就意味著相對論在視界外已經失效。不過，現時仍未有任何觀測證據能檢驗這個黑洞火牆理論。

反物質支持相對論？

迪拉克（Paul Dirac）在 1928 年把量力子學與狹義相對論結合，預言了反粒子的存在。他發現結合了狹義相對論的薛丁格方程有兩個數學解，其中一個是正常的物質，另一個是擁有相反物理特性（例如相反電荷）的物質。現在，我們稱這道公式為迪拉克方程，叫擁有相反物理特性的物質做反物質。

反物質的其中一個未解之謎，就是究竟它們會否擁有「負質量」？迄今所有科學觀察皆顯示質量只有「正」、沒有「負」。因此萬有引力只能相吸，不像電磁力般能相吸或相斥。

由於反物質碰到物質就會立即湮滅，長時間地控制並觀察反物質非常困難。今年，歐洲核研究組織（CERN）的物理學家團隊首次成功測量反氫原子（antihydrogen）的發射光譜。反氫原子由一個反質子（antiproton）與一個正子（positron，即反電子）構成。他們發現反氫原子的發射光譜與普通的、由一個質子與一個電子構成的氫原子完全一樣。這亦代表反氫原子與氫原子的量子能階結構相同，而且同樣擁有正質量。

這個發現支持相對論的正確性。就如前面所述，等效原理是相對論的基本原則。如果反氫原子與氫原子的發射光譜不同，科學家就能夠透過觀察反氫與氫的光譜推斷出自己是否正被重力場吸引。這就違反了等效原理，相對論就是錯的。

相對論能繼續䇄立嗎？

費曼（Richard Feynman）說過：「科學知識是不同肯定程度的陳述的整體。有些非常不確定、有些差不多確定，但沒有任何是絕對確定的。」

Scientific knowledge is a body of statements of varying degrees of certainty – some most unsure, some nearly sure, but none absolutely certain.

其實，當科學家說一個舊科學理論被「推翻」了，並不代表那理論是錯的。如同愛因斯坦相對論取代牛頓力學一樣，我們仍然可以用牛頓力學公式計算出大部分相對論預言的重力效應，只是兩者在很多個小數位後會有差異。因此我們會說，相比牛頓力學，我們更有信心相對論比較正確。我們不會說牛頓力學沒有用，因為在低速、低重力的日常情況下，牛頓與愛因斯坦的公式的計算結果沒有分別。

無論日後人類能否找到比相對論更精確的重力理論，大自然定律依舊不會改變、物件依舊會向下掉、地球依舊會繞太陽公轉。唯一不同的是，人類對大自然的了解會更深、更準確。

這就是科學的意義。

光速：宇宙高速公路的速度限制

08.12.201623.03.2017 David Yu3 Comments

為什麼夜空是黑色的？

這是一個非常古老的問題。問題的答案並不簡單，涉及對光線本質以及宇宙的理解。

想像宇宙是一個大球體，地球在球體正中心。球體裡面有隨機分佈的發光點，代表一顆又一顆的恆星。有些星星離中心點地球比較近、有些比較遠。想像這個球體不斷變大，新的星星在新的空間裡隨機生成。如果這個球體趨向無限大，星星的數量就會趨向無限多。由於星星的分佈是隨機的，我們從中心點往任一方向觀測，視線都必然會落在某一顆星之上。如果光線不需要傳播時間，即光速無限，那麼夜空就應該是白色的！

olbers_paradox_-_all_points — 奧伯斯悖論示意圖。Image courtesy of Kmarinas86/Wikimedia Commons

這個問題叫做奧伯斯悖論 (Olbers’ paradox)，是從前一個著名的科學悖論。現在我們知道宇宙並非無限大、可觀測宇宙大小有限、宇宙中星星的數量並非無限多、光速亦非無限快，因此從較遠的恆星出發的光不夠時間傳播到地球。

1861 年，馬克士威證明光是電磁波。當時的科學家都相信，就如同其他波動需要傳播媒介一樣，傳播光波亦需要一種假想的媒介，稱為以太。1907 年，阿爾伯特・邁克生 (Albert Michelson) 因為使用干涉儀非常準確地測量出光的速率而獲頒諾貝爾物理學獎。光速大約為每秒 30 萬公里，只需 1.3 秒就能從地球走到月球。

邁克生干涉儀實驗的另一目的是測量地球在以太之中運行的速率。他以為於一年四季不同時間做同樣的光干涉實驗，實驗結果理應會顯示光速因地球在以太中運動方向不同而有所分別。可是，邁克生和莫雷 (Edward Morley) 的干涉儀實驗結果顯示，不論地球的運動方向，光速都沒有改變。

1024px-aetherwind-svg — 地球在假想的以太之中以不同方向運動會導致光速測量結果不同。Image courtesy of Cronholm144/Wikimedia Commons

愛因斯坦在 1905 年發表狹義相對論，解釋了邁克生和莫雷的實驗結果。相對論之中，時間和空間被結合成為一體，叫做時空。由於時間和空間的物理單位不同，我們需要一個因子去在兩者之間轉換。這個因子有著距離除以時間的單位，即是速率。這個速率是宇宙間所有物質的極限速度，因為跟據相對論，質量非零的物質需要無限多能量才能達到此極速。

愛因斯坦認為光是傳播資訊的最快方法。邏輯裡的因果定律成立是因為沒有資訊能傳遞快過光。因此，光速就是這個宇宙中的終極速度限制，而這個極速跟據相對論是個常數，永恆不變。在光速不變的前提下，空間會因觀測者的運動狀態不同而收縮。所以，相對論亦意味著光波不需要以太或任何傳播媒介。

相對論其實並沒要求光速不變而且為宇宙極速，只是這個極速必須剛好等於光速，才能解釋我們所觀察到的所有物理現象。因此，一直有理論物理學家研究可變光速理論。

screen-shot-2016-12-08-at-17-12-53 — 狹義相對論對光速不變導致時空收縮的數學圖解。不同顏色代表不同運動狀態的觀測者的時空。Image courtesy of Army1987/Wikimedia Commons

理論物理學家 João Magueijo 自 1990 年代起研究可變光速，亦寫了一本不錯的科普書講述他在發表論文時遇到的困難和科學家之間的合作與衝突。由於光速可變這假設會動搖所有物理理論的基礎，很少科學家會投入自己一生職業去研究。

今年 10 月，Magueijo 與合作者 Niayesh Afshordi 在科學期刊 Physical Review D 上發表了一篇新的可變光速研究論文，他們推導出宇宙微波背景 (cosmic microwave background, CMB) 的純量光譜指數 (scalar spectral index)。這是第一次可變光速理論研究能夠提供一個實在的數字去與觀測作比較。

現在的觀測結果雖然與 Afshordi 和 Magueijo 理論的數字吻合，但他們未能解釋光速可變會導致其他物理常數改變的後果。例如，光速可變意味著電磁力的大小在過去、現在、未來都不相同。這樣的話，依靠電磁力的化學知識全部都要改寫，科學家就很難解釋宇宙如何演化成今日的模樣、甚至地球上亦未必可以演化出生命。

screen-shot-2016-12-08-at-17-16-38 — Afshordi 和 Magueijo 的可變光速論文明確預言宇宙微波背景光譜能量分佈斜率等於 0.96478(64)。Afshordi & Magueijo 2016, *Phys. Rev. D*, 94, 101301

“The predicted value is within current constraints, but improved observations would unambiguously prove or rule out the theory.” – Afshordi & Magueijo (2016)

光速是否可變是一個重要的科學問題，絕對有必要研究。然而為光速可變理論下結論，仍言之尚早。就如 Afshordi 和 Magueijo 所說，未來更精確的觀測結果將能證實或證偽光速可變理論。

提出預言、對比實驗，科學也。

淺談 E=mc^2：愛因斯坦 137 歲誕辰

13.03.201623.10.2017 David Yu6 Comments

每年的 3 月 14 號是 Pi Day 圓周率日，因為 Pi = 3.141592……。

今天同時也是愛因斯坦 137 歲生日。去年 3 月 14 號，我寫了《拋開常識的學者．愛因斯坦》一文去紀念這位物理學家的 136 歲誕辰。文中我介紹了愛因斯坦的前半生平。關於他的成名之作相對論，我後來也在其他文章了作了簡單介紹，包括《你也能懂相對論》淺談狹義相對論的基本數學和《照亮相對論的光（上）、（下）》介紹了相對論與電磁學的關係。

很多讀者都跟我說，希望我寫一篇關於愛因斯坦最著名的方程式 $E = mc^2$ 的文章。在今天愛因斯坦 137 歲誕辰，我們就來看看愛因斯坦在 1905 當年是如何推導出這家傳戶曉的質能轉換公式吧！

任何一本現代物理學或相對論教科書，無論是本科或研究生程度，都必定會講解 $E = mc^2$ 的推導過程，涉及四維向量和微積分的數學技巧。不過，原來愛因斯坦當年的推導並沒有使用這些數學工具，而是用更直接的物理去得出 $E = mc^2$ 這結論。

想像有一隻喵星人。愛因斯坦本來並非說喵星人，而是一個廣義的物理系統，只不過我選擇喵星人做這個物理系統。這隻喵星人會發光（我們今天不討論生物學）。喵星人在靜止不動的時候（牠們很擅長），就有

總能量 = 喵星人能量 $E_0$ 。

然後想像喵星人發光。由於光是能量，所以我們就會有

總能量 = 喵星人發光後的能量 $E_1$ + 光的能量。

假設喵星人放出的光總能量為 $L$ 。現在隨意選擇一個方向叫做 $x$ ，如果我們與喵星人相對靜止，就會觀察到一半的光能量 $\frac{1}{2}L$ 沿著 $+x$ 方向擴散開去、另外一半的光能量 $\frac{1}{2}L$ 沿著 $-x$ 方向擴散開去。因此就有

總能量 = 喵星人發光後的能量 $E_1 + \frac{1}{2}L + \frac{1}{2}L$ 。

現在，假設我們觀察喵星人發光的時候並非靜止不動，而是沿著與 $x$ 軸的一個夾角 $\theta$ 方向以均速 $v$ 跑。跟據狹義相對論，我們也可以說自己是靜止的，是喵星人在沿著與 $-x$ 軸的一個夾角 $\theta$ 方向以均速 $-v$ 跑。所以我們就有

總能量 = 喵星人能量 $H_0$ 。

注意 $H_0$ 不等於 $E_0$ ，因為喵星人的運動狀態不同。然後，我們亦見到喵星人發光。我們知道一道波動在不同的波源運動狀態下，其頻率會有所改變，例如我們會聽到救護車的警報聲由高頻變成低頻，這現象叫做都普勒效應 (Doppler effect)。光也是波動的一種（電磁波動），因此也會有都普勒效應。不過由於光以光速行進，聲波的都普勒公式並不適用，我們需要使用相對論都普勒公式：

頻率比 = 能量比 = $\frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ 。

所以

總能量 = 喵星人發光後的能量 $H_1 +\frac{1}{2}L \times \frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + \frac{1}{2}L \times \frac{1-v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ 。

由於能量守恆，喵星人發光前後的總能量必須相等，簡化後就有

$E_0 = E_1 + L$

$H_0 = H_1 + \frac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ 。

現在我們來想一想，究竟這兩條公式代表什麼？首先我們會發現 $\theta$ 不見了。這是合理的，因為 $\theta$ 方向是可以隨意選擇的，任一 $\theta$ 都不應該影響最後的物理結論。然後我們能夠看出 $H_0 - E_0 = K_0$ 是喵星人發光前的能量於兩個運動狀態下觀測的差別、 $H_1 - E_1 = K_1$ 是喵星人發光後的能量於兩個運動狀態下觀測的差別。因於喵星人從來沒有做過除發光外的事，這兩個能量差別 $K_0$ 和 $K_1$ 必定是喵星人在兩個運動狀態下被觀測到的動能。

把上述兩式相減，我們就得到

$K_0 - K_1 = \frac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - L$ 。

把上式右邊做泰勒展開 (Taylor expansion)，忽略所有 4 次方或更高冪項，就得到近似值

$K_0 - K_1 = \frac{1}{2}\frac{L}{c^2}v^2$ 。

這代表什麼呢？如果 $K_0$ 和 $K_1$ 來自動能，其差也必來自動能。相信大家都知道動能的公式是 $\frac{1}{2}mv^2$ （相對論的動能公式作泰勒展開並忽略所有 4 次方或更高冪項後也是 $\frac{1}{2}mv^2$ ），因此

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\frac{L}{c^2}v^2$ 。

化簡後得到

$m = \frac{L}{c^2}$ 。

即是發光的能量來自喵星人的質量。除了發光外，考慮任何能量為 $E$ 的物理過程，上述推導過程都完全一樣。因此

$E = mc^2$ 。

愛因斯坦，祝你生日快樂。喵。

照亮相對論的光 (下)

05.04.201514.05.2015 David Yu6 Comments

這是相對論與電磁學系列的暫時最後一篇文章。經過《你也能懂相對論》、《光的祕密》和《照亮相對論的光 (上) 》的討論，最後我們終於可以來討論電磁學與相對論的關係了。我現在要告訴你：「磁」只是「電」的相對論結果！

物理學家總是喜歡簡化事物。我們發現，只要用電現象放在相對論的時空中，自然就會得到磁現象了！這是多麼的深刻，又是多麼的美麗！

在入正題之前，我想各位明白一個道理：不懂數學絕對沒有問題！不懂一個學科絕對不是你的錯。「學問」裡最重要的除了「學習」其實就是「發問」。不論你是什麼身分，不懂就老實的說不懂，然後去學習和發問。我希望我的文章能夠刺激各位讀者去思考，這就是學問的精神，也是科學精神。

有一次，一個記者問愛因斯坦聲音的速度是多少，愛因斯坦回答說：「這些能夠在書中找到的資料並不存在於我的腦海之中。…… 學校教育的價值並非去學習很多事實，而是去訓練腦袋如何思考。」

“[I do not] carry such information in my mind since it is readily available in books. …The value of a college education is not the learning of many facts but the training of the mind to think.”

幫助數學背景不高的讀者理解科學，正正就是我寫科普的目的。希望所有人都能夠感受到自然定律的深刻和美麗，和抽象的數學在演繹科學概念時的重要性。比起理解數學推導過程更重要的，是了解科學背後的求真精神。

若讀者沒有中學物理背景，我現在嘗試用文字解釋下面的數學：如果一條電線內有電流 I 在流動，就會產生一個磁場，其大小為

(1)

其中 r 為測量磁場的點與電線中心的距離。

在下面的數學，我將會假設我們不知道世界上有磁場這個東西，然後證明當使用相對論的洛倫茲公式在電力身上時，會發現有一個並非電力的、額外的力存在。神奇的是，我們會看到這個額外的力的大小會剛好等於 (1)，於是就證明了「磁」只是「電」的相對論結果！

在做 [沉悶的……] 數學證明之前，先來讓我們重溫電磁學的歷史發展吧！

在 17 世紀，因為爆發疫情，大學休假，所以牛頓暫時回到家鄉。他在家鄉的這段時間裡，獨自完成非常多的科學研究，堪稱牛頓的奇蹟年。除了他那個家傳戶曉的蘋果樹故事外，他更發現了運動三定律、發明了微積分、從重力方程推導出開普勒的行星軌道方程，當然還有他那著名的稜境分光實驗。

蘋果樹的故事很可能是假的、而且微積分的功勞也不能全歸於他：萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 在同一時間獨立地發明了微積分，而且我們現在使用的微積分符號都是萊布尼茲的版本。但牛頓對大自然的深刻洞見是千真萬確的，尤其在最多人忽略的光學實驗之中，對後世的影響絕對不比發現萬有引力為少。

光，是人類接觸、感受、領悟自然的最直接途徑。牛頓發現了白光與色彩的關係，打開了日後光學研究的大門；當時的折射式望遠鏡因為鏡片打磨困難，很難加大倍率，他發明了牛頓式反射望遠鏡，這一設計沿用至今；他發明的微積分高等應用技巧「變分法」在以後被其他科學家用來解釋光的折射現象。所以，光的科學故事可以說是由牛頓開始的。

故事跳到 19 世紀，轉眼百多年。人類對光學、電學以及磁學的研究已經非常多年，研究數據也非常豐富。可是一直要到奧斯特 (Hans Christian Ørsted) 意外地發現電流可以影響指南針，人類才首次發現電與磁是有關係的。大自然其實一直都在指示我們，可是很多時候我們卻視而不見。

奧斯特並沒有對這些發現視而不見。他雖然沒有用數學去描述這些現象，但他知道電流磁效應是一個非常重要的科學發現，他對此做了很多實驗，為科學界提供了非常豐厚的實驗數據。為了紀念他證明電流會產生磁場，在天文界使用的 CGS 單位之中的磁感應單位 oersted 就是以他的名字命名。

用數學去精確描述奧斯特發現的人，是安培 (André-Marie Ampère)。現在，我們可以用安培定律準確地描述由電流產生的磁場，其實上面的第 (1) 式就是來自安培定律，不過我把證明留給有興趣的讀者。

奧斯特的發現與安培的工作很大程度幫助了人類理解「能量」這一概念。在當時的科學界，能量這個概念仍然相當模糊。很多科學家認為世上有很多不同種類的能量，但奧斯特與安培的研究結果卻顯示電能是可以轉化成磁能的，因此促進了能量概念的統一。其中最重要的、亦最廣為人知的能量統一研究，當然是愛因斯坦的 E=mc^2 了。而因為他的研究貢獻，安培的名字也永垂千古，人類現在以他的名字命名電流的單位 ampere。

法拉第是我最尊敬的科學家之一。他對科學的求真態度和對人的謙虛，都非常值得我們每一個人去學習。19 世紀的英國是個階級分明的社會。法拉第因為家境貧窮，沒有錢讀書，要去書店做書本釘裝學徒為生和養家。可是他並沒有因此氣餒，因為這樣反而令他有機會接觸不同的書籍，所以他每天一邊釘裝書本，一邊讀書。他最有興趣的是科學，他大部分的科學知識都是這樣不屈不朽地自學的。

當時的倫敦聖誕科學講座由戴維主持，喜愛科學的法拉第當然不會錯過，跑去做聽眾。當其他人都在看戴維表演的時候，法拉第卻認真地做筆記，回家可以溫習。他更把筆記整理好，再自行釘裝，送了給戴維。戴維因為看到他三番四次的誠意，因此聘請他做研究助理。因為這樣，大自然把光照到人類的科學界，最終使法拉第發現了電磁感生效應，即我們在中學會學到的「改變的磁場能夠感生電流」，這就是著名的法拉第定律。

雖然戴維曾經有一段時間看不起出身低微的法拉第，並因為妒忌法拉第而用自己的權力打壓他。有傳戴維在臨終前，也終於說出作為科學家的驕傲的說話：「我這一生最大的發現，是發現了法拉第。」無論如何，法拉第始終尊敬這個給他機會做科學研究的老師，一生都非常尊敬他。在戴維死後，倫敦聖誕科學講座一直由法拉第主講，因為法拉第希望他的講座能夠吸引和啟發更多像他當年一樣的小伙子，所以他的講座所做的實驗都是有趣味和有啟發性的前沿發現，深受小朋友的喜愛。

然後，就是我們在前文提過的馬克士威發現電磁方程式、赫茲證明電磁波真實存在等等。最後出場的是愛因斯坦。很多人 (包括我以前) 都以為愛因斯坦發現狹義相對論是因為力學的原因，其實不然。事實上，真正吸引愛因斯坦思考相對論的，是上回討論的電磁實驗。以下，我嘗試用最少程度的數學，為讀者證明：我們日常接觸的電磁鐵，其實就是相對論的一個活生生的實證。

好了，現在讓我們來動手做數學證明：考慮一條電線，見圖 (1)。電線裡有一連串的正電荷正以速率 v 向右移動。想像電荷之間是如此的接近，以致可被想像成連續的正電荷密度 +λ。想像有負電荷密度 –λ 以同樣的速率 v 向左移動。所以我們就有電流 I = 2λv。現在，有一個點電荷 q 在電線旁邊以速度 u < v 平行電線向右運動。由於圖中正負電荷密度相等，因此沒有任何電力會作用於 q 身上。我們稱這個座標系為 S。

現在考慮另一個以速率 u 向右移動的座標系 S’，見圖 (2)。因為 S’ 與電荷 q 同向一方向運動而且速率一樣，所以在 S’ 裡的觀測者會看到電荷 q 靜止不動。根據愛因斯坦速度相加法則 (參考《你也能懂相對論》之中的第 (5) 式)，正電荷和負電荷在座標系 S’ 中的速率分別為

(2)

和

(3)

因為

(4)

所以負電荷的速率比正電荷的速率高。換句話說，負電荷的洛倫茲收縮程度會比正電荷的嚴重，因此在座標系 S’ 中觀察時，這條電線是帶負電的！

現在我們來搞清楚各個坐標系中的電荷密度的關係。根據洛倫茲收縮公式，設 λ₀ 為靜止正電荷的電荷密度。注意，λ₀ 與 +λ 是不同的！+λ 是正電荷在座標系 S 裡的電荷密度 (正電荷不是靜止)，而 λ₀ 是正電荷靜止時的電荷密度。所以，當我們在就座標系 S’ 中觀察時，就有

(5)

和

(6)

當我們在就座標系 S 中觀察時，就有

(7)

把 (2) 和 (3) 式分別代入 (5) 和 (6) 式，就得到

(8)

和

(9)

所以，在就座標系 S’ 中觀察時，總電荷密度就等於

(10)

所以，我們發現在不同座標系中觀察時，總電荷密度會有所不同。

由於在座標系 S’ 中觀察時總電荷密度不是零，根據高斯定律，會有電場

(11)

因此，座標系 S’ 之中，電荷 q 所受的電力為

(12)

問題來了：如果在坐標系 S’ 中電荷 q 會受力的話，在坐標系 S 中它也必定會受力，因為物理定律是唯一的！這個力的大小是

(13)

(關於力的變換公式，我在此略去，有興趣的讀者可以自行參考相對論教科書)

由於討論開始時我們假設只知道電力的存在，因此在坐標系 S 中必定存在另外一種力，這種力是由電力及相對論性效應導致的！這是甚麼力？當然就是磁力了。要看到這點，只需要把光速

(14)

(參考《光的祕密》第 (14) 式)

代入 (12) 式，我們就得到

(15)

但這是甚麼？還認得括號中的是甚麼嗎？對了，括號中的是一條電線裡的電流所產生的磁場，即是第 (1) 式！

如果讀者覺得以上數學和文字很悶，這裡有一段 YouTube 影片講解同樣的東西 (別罵我為什麼不早說，早說了你還會讀我這篇文章嗎？)

當然，關於相對論還有更多有趣的題目，以後可以和各位讀者討論。在這一連四篇關於相對論、光、電磁學等等的文章之中，希望大家也和我一樣，在領略大自然的深刻之餘，得到一點點的樂趣。

你也能懂相對論

27.03.201514.05.2015 David Yu54 Comments

如果我說，相對論與日常生用息息相關，你會信嗎？或許就算我是一位知名的物理學教授，說服力相信也不會大得多少。以下我將要用比較淺白簡單的文字和少許初等代數，說明並說服大家，相對論並不難懂，而且它在日常經驗中是如此的明顯、如此的必要！

1905 年被稱為愛因斯坦的「奇蹟年」，愛因斯坦向世界提出了一套非常明顯、非常合理，但卻一直不為人所理解的理論狹義相對論 (special relativity)。被稱為「狹義」是因為這個理論只在慣性座標系中適用；換句話說，即是在所有沒有加速度的系統中都適用。狹義相對論建基於兩大假設：

在所有的慣性系統中，所有有物理定律保持不變。
對於所有系統中的所有觀測者，光速永遠不變，而且不是無限快的。

假設 (一)「所有自然定律不變」一般被稱為相對性原理 (principle of relativity)，明顯比較合理，也比較容易理解。而乍看之下，光速相對於所有人都不變，而不論那人正在高速奔跑或者靜止不動都沒有關係，就顯得較為奇怪了。要理解這一點，我們需要由速度的意義說起。速度，就是在說「每單位時間內走了多遠」。說得再淺白一點，可以想像為「每秒走了多少米 (m/s)」。但這只是慣用單位的問題，你當然可以想成「每小時走了多少公里 (km/h)」，這正是司機們慣用的單位。在科學中，單位是至關重要的，因為不同單位的東西就是不同性質的東西，不可以混為一談的比較，好像一個蘋果永遠不會等於一個橙。

假設 (二)「光速相對所有人都不變」，就是說相對於所有人，光在每單位時間內走的距離都一樣。就是說，當你向著一道光奔跑，「直覺上」你會認為你所看到的光速比起你在靜止不動時快，因為在你向光跑去的「同時」，光亦向著你衝去。換成數學上的表達，就是說如果你用速度 v 向著光衝去，而我們用 c 代表你在靜止時看到的光速，那你看到的光速就會變成了c + v。這就是所謂的伽俐略變換，亦被一般人叫做「常識」。當然了啊，兩個物件互相衝去，當然會比其中一個不動、或兩者互相遠離快啊。但是，愛因斯坦卻說不論你用甚麼速度，向著光或離開光移動，你到的光速都仍然為 c，不多也不少！

你會說：「這怎可能！這是違反常識的！」我的回答是，一般人的常識存在非常明顯的漏洞，可是在愛因斯坦之前卻一直沒有人留意到這個嚴重的錯誤！這個錯誤就是「同時」這一概念的演繹。甚麼是「同時」？就是說大家的時鐘顯示的時間都一樣啊！對，這也是愛因斯坦對「同時」的理解。但現在要再問一道問題，如何知道兩個時鐘的時間一樣？

問題到肉了，可是你會覺得很無聊：「說甚麼廢話！只要我看到兩個鐘的指針拍著的時間就是了！」好，停一停，想一想：我們能「看」到東西，是因為光進入到我們的眼球穿過水晶體折射後投影在視網膜上。總言之，我們能看到東西，是因為有光。光以一定的速度前進，而且因為光速有限，因此在不同距離發出的光相對於同一個觀測者而言，會在不同時間到達。試想像，兩個人相距非常遠，而兩個人都帶著一個時鐘，那麼當然，任何一方都會覺得對方那個時鐘所發出的光，會比自己手上的時鐘所發出的光要用更多時間才能進入你的眼睛吧！好了，我希望大家想想，究竟事先要如何調整兩個時鐘，才能使你和對方都看到兩個時鐘是同步的呢？當然，這是辦不到的！因為兩個時鐘相距兩個人的距離都不同。若然你看到它們是同步的，對方就會看到他手上的走得較快，反之亦然。

如果你不太理解的話，請從頭思考一次，先不要跳過讀下去，因為剛才所說的就是相對論的精髓所在。重點是，要知道世界上並沒有「對所有人都同時」這個概念存在，因此也可以說，「同時」這個概念對每個人都不同；說「對大家來說都是同時」就是錯誤的，沒有可能發生。這是非常明顯的，但卻一直被我們所忽略。這完全是因為對於人類的感覺來說，光速 (每秒三十萬公里，能夠環繞地球七個半圈) 實在是太快、太快了。

好了，接下來我要介紹相對論導致的兩個非常重要的結果，這些結果令人類對時間及空間的概念有了根本上的改變：時間及空間其實是互相糾纏、難分難離的。在這部分我會以數學論證，狹義相對論所涉及的數學都只是基本數學運算以及向量微積分，相信對有會考物理根基的朋友來說不會太難。

在我們生活的三維空間中，每一件事件都可以用座標系的四個變量決定，就是 (長，闊，高，時間)，數學表達為 (x, y, z, t)。假設在座標系 S 中有一原點 O，在 S 內觀測的人都會對每一件事件測得一組座標 (x, y, z, t)；而現在有另一座標系 S’ 正在相對 S 以速度 v 向右移動，它的原點 O’ 在時間 t = 0 的時候剛好與 O 重疊，而在 S’ 內觀測的人都會對每一件事件測得一組座標 (x’, y’, z’, t’)。那麼，在我們的「常識」中，(x, y, z, t) 與 (x’, y’, z’, t’) 的關係就是由伽俐略變換來決定：

這就是我們認為的「常識」的數學表達方法。留意當中 t’ = t，因為在傳統的觀念裡，「同時」這概念仍然存在。明顯地，在伽俐略變換當中，時間是獨立地流逝的，與空間 (x, y, z) 無關。可是，在上文中我們知道「同時」是不存在的。

想像小明站在一節正在行進的列車車廂正中間，在車頭及車尾都擺放了感應器。他向左右同時照射出兩道光束。對小明來說，車廂並沒有移動，所以他會看到兩道光束同時到達感應器。可是，對於一位站在月台上的人來說，因為列車正在向右移動，右邊的感應器不斷遠離光束，而左邊的就不斷靠邊光束。所以他會看到左邊那道光束首先到達感應器。因此，時間會因為觀測者的運動狀態不同而有所分別，而且這是非常明顯的！請注意，上述兩種情況都是正確的，沒有誰對誰錯，完全因為觀點與角度而已。回到 S 和 S’ 座標系的討論，因為兩個座標系的運動狀態不同，所以伽俐略變換就不是正確的描述了，我們必須改用另外一種座標變換方法，名為洛倫茲變換 (Lorentz Transformation)：

有關這組公式的推導過程，有興趣的朋友可以參考任何相對論課本。在這裡我們有興趣的是：如果時間及空間確實根據以上方程組變換的話，會有甚麼有趣的事情發生？

首先，考慮一個「光鐘」，這是一個純粹由兩塊互相平行的平面鏡組成的計時器，有一束光在兩塊鏡之間來回反彈。然後我們定義這束光來回反彈一次的時間 Δt = 2h / c 為一個時間單位，故此我們就有了這樣一種有趣的計時器。

現在，我們讓這個光鐘在 S 座標系中以水平方向向右以均速 v 移動。所以我們就知道，如果我們稱光鐘為 S’ 座標系，就有 Δt’ = 2h / c。在 S 座標系當中，光就是以斜線行進的，根據畢氐定理，我們得到

(1)

使用簡單代數運算求得 Δt：

(2)

因為 v < c，所以分母必定小於 1 ，故此 Δt’ < Δt。換句話說，移動中的座標系的時間流逝得比較慢。這就是著名的時間遲滯 (Time Dilation) 。

除了移動中的人的時間在其他人眼中會變慢之外，移動中的物體看起來也會變短。這叫做長度收縮 (Length Contraction)。如果 L₀是物體靜止時的長度，L 是物體相對於觀測者以速度 v 移動時的長度，那麼我們就會得到

(3)

公式 (3) 的推導過程與公式 (2) 差不多，只要把光鐘轉個直角再考慮水平移動就可以了，有興趣的朋友可以自己當做練習試試推導。

以上兩個「違反直覺」的現象都已經被實驗觀測所證實了。其中一個重要的證明是關於宇宙射線的問題。每分每秒都有大量的宇宙射線攻擊著地球，這些射線多是帶電粒子諸如質子及電子等等，能量很高。幸好地球有磁場以及大氣層的保護，不然地球上就不可能有生命存在了。

一些粒子與大氣粒子碰撞後，會產生許多不同種類的粒子，向各個方向散射。這些粒子的壽命一般都非常短暫，就算在產生的一刻開始已經用接近光速前進，在它再衰變成其他粒子之前，前進的距離最多也只得幾百米。但是，雖然地球的大氣層厚度約為 100 公里，設置在地面上的儀器卻可以探測到它們！這完全是因為這些粒子以接近光速行進，相對論的效應就會變得很大。如果在靜止時這些粒子的壽命是 T，那麼根據時間遲滯現象，地面上的人就會測得它們的壽命為

(4)

其中 v 是粒子的速度。明顯地，當 v 非常接近 c 的時候，T’ 就會變得非常大，所以它們有足夠的時間可以穿過厚厚的大氣層落到地面。

我最後想介紹的是著名的愛因斯坦速度相加法則。在早前的討論中，我們已經明白到，在光速不是無限快的條件下，時間必須是「相對」的。亦即是說，對於不同運動狀態的觀測者，時間的流逝速率各有不同。同樣地對於空間來說也是如此。因此，我們就不能說兩個互相靠近的人的相對速度 v’，會簡單地為 v’ = v₁ + v₂，其中 v₁和 v₂分別為兩個人的速度。那麼 v’ 應該如何表達才對呢？其實簡單得很，只要把洛倫茲公式對時間微分就可以了。詳細的做法可以參考教科書，其結果為

(5)

因此可以看到在相對論下，相對速度 v’ 比較小。如果代入文章開頭的例子，你和光束互相衝向對方，就有

(6)

所以你會驚訝地發現，c + v 仍然是 c！這是當然的，因為相對論本身必須符合它的假設：光速不變。

其實狹義相對論還有許多有趣的題目可以討論的，例如著名的質能公式 E = mc^2、雙生子悖論、能量-動量四維向量、以及相對論性電磁場理論等等，或許在以後我會和大家深入討論。而愛因斯坦在 1916 年提出的廣義相對論 (general relativity)，則是一套把重力與加速度都包含在內的時空理論，能夠非常準確地描述我們身處的宇宙。廣義相對論所涉及的數學非常深奧，需要使用到十分抽象的黎曼幾何以及張量的概念，確實並非每個學生也能明白。在以後我會試試為大家說明廣義相對論的重要性。總而言之，在這篇文章中，我希望大家明白的事，是相對論其實並非一般人想像的那麼深奧難懂。至少，就狹義相對論而言，只需要中學程度的物理及數學知識就可以了。

拋開常識的學者：愛因斯坦 (Albert Einstein)

13.03.201503.11.2016 David Yu9 Comments

愛因斯坦 (Albert Einstein, 1879 – 1955) 從小就喜歡思考。有一次，他父親送他一個指南針，他看著永遠指向南北的針，感覺到大自然一定深藏奧祕，引起了他對自然現象的好奇。但其實他的天才並非早早就顯現出來。小時候的愛因斯坦鮮少說出完整的句子，所以父母以為他學習語言有問題；中學老師認為他不可能有出息；大學時期的物理成績並不好，加上他以刺激權威為樂，教授們都不喜歡這個又煩又懶的學生，所以愛因斯坦畢業後一直找不到工作。在他已婚並有所出、且快要山窮水盡的時候，才靠他的好友以人事關係幫他在瑞士專利局找到了一份二級專利員的工作。

他喜歡在早上就把一整天的工作做完，利用整個下午的時間在專利員的辦公室思考物理問題。其一中個最令他著迷的思想就是：「如果一個人能夠跑得跟光一樣快，會看到甚麼樣子的世界？」

愛因斯坦於 1905 年發表狹義相對論 (Special Relativity)。在這之前的十多年中，牛頓的絕對時空觀點早已令科學界困擾多年，牛頓力學體系已經搖搖欲墜了。著名的 Michelson-Morley experiment 的結果顯示並不存在一個「絕對靜止」的參考系「以太」。而且，由 James C. Maxwell 歸納出的電磁方程式組可以推導出光的速度永遠不變、與觀測者的運動狀態無關。這嚴重違反了人類對這個世界的認知，因為我們知道光是一種波動，而波動需要媒介來傳播；就如水波需要水、聲波需要空氣。

在牛頓的宇宙觀裡，時間與空間互不相干。假設你在地鐵裡用速度 $u$ 向前跑，你相對於地面的速度 $w$ 就會等於地鐵的速度 $v$ 加上 $u$ ，即

$w=u+v$ 。

愛因斯坦卻說這條看似理所當然的公式是錯的。如果你在地鐵中打開電筒，電筒發出的光以光速 $c$ 相對於地鐵車箱向前跑，但根據相對論，這束光相對於地面的速度不會是

$c+v$ ，

而是

$\dfrac{c+v}{1+\dfrac{cv}{c^2}}=c$ ！

所以光速不變這個概念是非常革命性的。當時大部分人都認為是 Maxwell 的電磁方程式錯了，但愛因斯坦卻不這麼想。他認為，我們常識中對「同時」的理解根本有誤。他發現，在光速不變的前提下，在 A 君眼中同時發生的兩件事，在 B 君看起來就不一定是同時的。換句話說，絕對的「同時」根本不存在！愛因斯坦的相對論解釋了牛頓的古典力學所不能解釋的現象，同時亦把「絕對時間」和「絕對空間」的概念拋棄了。在相對論之中，時間與空間有著微妙的關係，兩者並且結合在一起成為「時空」。任何想把時間與空間想像成獨立分開的兩種東西的概念，都與相對論違背。

本來愛因斯坦預期他的相對論會在科學界引起大地震，可是結果卻靜得可憐，長時間地連一封寄來查詢理論細節的信也沒有。後來發現這是因為世界上根本沒有多少人讀得懂相對論。雖然狹義相對論的數學並非特別深奧難懂，但愛因斯坦突然地拋棄了所謂的「常識」，此舉實在令科學界也摸不著頭腦。

愛因斯坦在發展狹義相對論的同時，亦為物理學的許多分支做了很多開性創性的工作。例如分子運動論、量子論等等，都留有他的足跡。那道舉世聞名的質能關係方程式

$E=mc^2$

也是在此其間導出的，此方程式可謂直接影響了二十世紀的整個科學發展：解釋幅射、太陽能量來源；促成核能、原子彈、氫彈的發展等等。以上他的每一個工作，保守估計都至少值得獲得一個諾貝爾獎。不過，愛因斯坦後來在 1921 年獲頒的諾貝爾物理學獎，並非因為他的相對論，而是因為他在應用量子論解釋光電效應的貢獻。

愛因斯坦並沒有滿足於狹義相對論。他深明這個理論只能應用於慣性坐標之間，可是現實中絕大部份的坐標系都是加速坐標系 (例如地球)，所以他意識到必須要找出一套新理論，以解釋一切慣性與加速坐標系中的運動定律。他幾乎是獨力地與新發展的高等數學「張量分析」在黑暗之中搏鬥了十年之久，最後才於 1916 年完成人類歷史上最偉大的科學進程之一：廣義相對論 (General Relativity)。

因為愛因斯坦的母親不承認他與第一任妻子 Mileva Marić 的婚姻，而且 Marić 十分憎恨德國，她在 1914 年把兩個孩子由柏林帶到瑞士去了。對於與孩子的分離，愛因斯坦感到非常傷心，因為他堅持留在德國做他的物理研究；不過，他與他的表妹 Elsa E. Löwenthal 的曖昧關係，亦已經一發不可收拾。

儘管離婚已是遲早的事，愛因斯坦仍對德軍的暴行以及廣義相對論的發展非常關心。當德國入侵中立國比利時後，德軍的文宣部說服了 93 位學者簽署一份聲明，內容為「同意德軍的侵略行為是保護日耳曼文化的必要舉動」，簽署人裡竟包括愛因斯坦的好朋友、量子論的創始人之一、1918 年諾貝爾物理學獎得主馬克斯．普朗克 (Max K. E. L. Planck)！幾天之後，愛因斯坦簽署了一份反戰爭、建立統合歐洲的和平聯合聲明，但包括他在內的 100 位受邀聯署學者中，只有 4 位簽了名。

1914 年的諾貝爾物理學獎由愛因斯坦的好朋友 Max von Laue 獲得，以表揚他發現 X 光的繞射現象。其實愛因斯坦在同年也因「相對論、擴散現象及重力現象」被提名諾貝爾物理學獎，但評審委員會中有人認為相對論尚未得到實驗驗證、有人認為愛因斯坦的名聲過高、也有人根本看不懂相對論。

愛因斯坦強硬批評大部分德國人都是瘋子，厭惡虛偽的科學家同行。1915 年，同樣也是和平主義者的法國作家 Romain Rolland 與愛因斯坦見面。Rolland 在見面後總結說在當時的德國「他 [愛因斯坦] 是少數幾位保有自由思想、不具奴性的人。」

愛因斯坦是一位積極的筆友。他樂於回答任何人關於任何事的信件，而且每一封都親自認真回信。他也會花時間去幫助那些有求於他的人，例如幫助學生找工作、回答小孩子關於宇宙、物理等等問題。不過在 1915 年秋天的其中 5 個星期裡，他突然把所有的演講邀請推掉，信也不回、飯也不吃地在自己的書房中瘋狂工作。有一次，他的未來繼女 Margot Einstein 發現他竟然把蛋放到湯裡去煮，原因是愛因斯坦想吃蛋又想喝湯，但卻沒有閒暇去剝蛋殼！

到了 11 月尾，愛因斯坦簡直興奮不已，因為他就要發現能夠描述整個宇宙的新理論了。在他的狹義相對論裡，時空是平直的、而且所有有慣性坐標系都是等價的。但他的新理論「廣義相對論」描述的是更一般性的彎曲時空結構，是一個能描述一切坐標系的理論！只要指定一套時空度規、並給定能量與物質的密度在時空中的分佈，就能夠計算出時空的曲率、曲率如何隨時間改變。相對論大師 John A. Wheeler 曾說：「時空告訴物質如何運動；物質告訴時空如何彎曲」。

1905 年發表的狹義相對論把人們對區分時間與空間的「常識」概念改正過來，愛因斯坦於 1916 年發表的廣義相對論把重力描述成時空的幾何性質而非一種力，再次顛覆人類的「常識」。經過了 11 年在黑暗中摸索的孤獨旅程，愛因斯坦終於看到耀眼的陽光，能如何教他不興奮呢？只需要把一組十式的「愛因斯坦方程」(Einstein Equations) 配合指定的時空度規，任何宇宙的過去與未來都能夠計算出來。

當然，很多人質疑廣義相對論的正確性，因為科學理論必須接受實驗驗證。廣義相對論所提供的驗證方法對當時的技術來說是非常大的挑戰。基本上，廣義相對論有以下幾種驗證方法：測量重力紅移、光線偏折及時間延滯效應。現在，這三種效應已經被天文學家一一發現，而且與愛因斯坦的計算相當吻合。

在此不得不提英國的天文學家愛丁頓 (Arthur S. Eddington) 觀察日全食時太陽附近的星光，確認了光線偏折效應一事。當時是 1919 年，正值第一次世界大戰。當愛丁頓得悉愛因斯坦的理論預測光線會被太陽的重力彎曲時，他就帶隊跑到西非外海的索布拉爾 (Sobral) 去等待日全食的來臨。由於平時太陽光相對於星光極其猛烈，若非於日全食時月球把太陽遮蔽起來之時，根本無法觀察太陽附近的星光。

1919 年 5 月 29 日早晨，愛丁頓以為計劃要告吹了，因為天上下著傾盆大雨。幸好到了下午 1 時 30 分雨停了，只是還有雲。愛丁頓努力地拍攝許多照片，希望能夠拍到太陽附近的星光偏折。6 月 3 日，結果出來了：在拍得的照片中，有一張與愛因斯坦的預測吻合！在科學裡，一個證據並不足以支持一個理論，但愛丁頓這個廣義相對論狂熱擁護者卻立即對外公布：「廣義相對論已經被證實了！」

當愛因斯坦的一個學生知道了愛丁頓的觀測結果之後，便告訴愛因斯坦：他的理論被證實了。愛因斯坦卻說：「我早就知道我的理論是正確的。」

學生大惑不解，問：「萬一觀測結果與你的理論不符呢？」

愛因斯坦答道：「那樣的話，我會為上天感到惋惜。我的理論是正確的。」足可見愛因斯坦對他的廣義相對論的正確性表現的信心。

關於這個故事，還有一段小插曲。話說愛因斯坦的好友普朗克當時也都是徹夜未眠，因為他想知道愛因斯坦的理論究竟是對還是錯的。愛因斯坦聽說了，就說：「如果普朗克相信廣義相對論是正確的話，就會跟我一樣，早早上床睡覺。」

愛因斯坦在第二次世界大戰時，因為擔心納粹德國會製造出原子彈，所以他曾寫信致羅斯福總統要求美國搶先研究製造原子彈。到戰後才發現，當時的德國根本無法造出原子彈，因為大多數的科學家已經被希特拉趕走了。那天早上，當愛因斯坦聽到原子彈已經把日本廣島夷為平地，他就呆坐在家，久久未能平復心情。之後，他說：「如果早知道這樣，我寧願去當一個鐘錶匠。」

從此以後，愛因斯坦極力主張廢除核武，導致他被 50 年代著名的 FBI 胡佛探長 (John Edgar Hoover) 認為他是共產黨間諜。理所當然，胡佛始終無法找到任何證據捉拿愛因斯坦。

不過，愛因斯坦也是人，也會犯錯，而且會犯下歷史上眾多科學家都會犯的錯：對舊有概念的固執。他從廣義相對論方程導出了一個結果：宇宙若不是正在收縮，就是正在擴張。愛因斯坦認為這是不可能的，他認為宇宙是永遠存在的，沒有起點也沒有終點。因此，在不影響數學的正確性下，他在他的愛因斯坦方程裡加入了一個常數項，用來抵消重力，使宇宙變得平衡，不會擴張也不會收縮。

其實這樣的宇宙是極不穩定的。只需要一點非常細微的擾動，宇宙就會向其中一方傾倒。情況就好像把一個保齡球放在筆尖上，理論上保齡球是可能停在筆尖上的，可是只需要一點小小的風就能使保齡球滾下來。想必愛因斯坦也認識到這一點，可是他就是無法拋開成見，堅持加入這個常數項。後來，愛因斯坦去到哈勃 (Edwin Hubble) 工作的天文台參觀望遠鏡，哈勃給他看宇宙膨脹的證據。愛因斯坦接受了自己的錯，說這是他一生中最大的錯誤。

不過，這個愛因斯坦一生最大錯誤的常數項被現在的科學家稱為「宇宙常數」(cosmological constant) 或「黑暗能量」(dark energy)，無數觀測已經證明宇宙常數的確存在。錯有錯著，歷史又再一次證明愛因斯坦是對的，儘管這並非愛因斯坦的原意。

愛因斯坦也是量子力學 (quantum mechanics) 的始祖之一。他的諾貝爾獎得獎論文描述的光電效應 (photoelectric effect) 打破人們對光是一種波動的常識：他證明了光同時亦是粒子！這個現象現在稱為波粒二象性 (wave-particle duality)，是量子力學的基本原理。可是，廣義相對論與量子力學卻偏偏互不相容！換句話說，要不是量子力學是錯的、或廣義相對論是錯的、或兩者都是錯的。

愛因斯坦雖然有份為量子力學打下基礎，後來卻變得不相信量子力學，例如他與兩個物理學家共同提出的愛因斯坦-波多爾斯基-羅森悖論 (EPR paradox) 就是為了推翻量子力學的。可是，事實證明愛因斯坦又錯了，EPR 悖論的假設「局域論」(locality) 是不存在的。

廣義相對論認為宇宙是「局域」的，只有無限接近的兩個點才能有因果關係，因此推翻了牛頓重力理論中的「超距作用」(action at a distance)。但量子力學卻說，兩個相距非常遠的粒子也能夠互相影響，因此量子力學與廣義相對論的假設是不相容的。

越來越多證據顯示，量子力學應該是正確的，廣義相對論需要被修正或者被新的重力理論代替。愛因斯坦一生都在尋找量子力學的錯處，結果是一個都找不到。直到今天，所有量子力學實驗都只是不斷地在證明它本身的而且確沒有錯。現在有些理論物理學家在尋找所謂的「萬有理論」(Theory of Everything)、M 理論 (M Theory, M for Mother/Matrix)、「統一場論」(Unified Field Theory) 等等，希望把廣義相對論修正／代替，使得量子力學與重力能夠結合為一。

愛因斯坦晚年一直在研究統一場論。在他死前，人類只發現了自然界四種基本力的其中兩種：重力交互作用 (gravitational interaction) 和電磁交互作用 (electromagentic interaction)。他不知道除此以外還有強交互作用 (strong interaction) 和弱交互作用 (weak interaction)。所以愛因斯坦根本沒有足夠的資訊去進行統一場論的研究，歷史注定要他失敗。

愛因斯坦帶給人類非常多。相對論、光電效應、證明原子存在 (他的博士論文解釋了布朗運動)、 $E=mc^2$ 、宣揚和平及主張廢除核武、不受約束的思維等等，都非常值得我們思考、學習。他的朋友都說，愛因斯坦永遠都像一個小孩子，對世界的好奇心從未改變。如果我們都能夠從他身上學習到一少部分，世界或許會變得更美好。

謝謝你，愛因斯坦。生日快樂。

余海峯 David | 物理喵 phycat

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Tag: Special Relativity

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