【Ig Nobel搞笑諾貝爾】【物理】咖啡濺出的原因和解決辦法

大家有試過沖好咖啡後,開開心心地把咖啡倒進杯中,正在拿回辦公室享用的途中的時候,明明小心翼翼、身體沒什麼大動作,咖啡仍然會濺出嗎?發生這樣的情況時,簡單是沮喪至極了,積極工作的心情都會被地心吸力吸引的咖啡沖走。

在 2012 年,H. C. Mayer 與 R. Krechetnikov 發表過一份研究,並在同年獲頒搞笑諾貝爾物理學獎。他們發現咖啡杯幾何形狀、咖啡的性質、行走時的人體力學都是影響咖啡會否濺出的因素。有些後續研究分別從這幾方面深入分析,在這文章中我就介紹其中一個由 Jiwon Han 在 2016 年發表的研究,主要分析咖啡杯幾何形狀的貢獻。

這研究中的研究員發現分別使用咖啡杯與酒杯,灌入相同份量咖啡,再用機器以固定頻率水平搖動,兩者的咖啡淺出情況有所不同。當頻率為 4 Hz 時,咖啡杯內的咖啡波動幅度很大並會濺出杯外,相反酒杯內的咖啡卻只是處於週期波動狀態。當頻率下降至 2 Hz 時,情況卻恰恰相反:酒杯內的咖啡濺出而咖啡杯卻沒有。這情況令研究員懷疑杯的幾何形狀是影響咖啡波動幅度的重要因素。

經過一連串實驗之後,研究員發現原來令咖啡濺出的原因是共振。共振是指一個系統內的能量傳播集中在某頻率,結果就會大大增強了單一頻率內的能量。這種似於很多個小波浪疊合成一個大海嘯,利用波浪會互相疊加或抵消的特性就能較直觀地理解。

例如,假設我們有一個波長為 1 米的小波浪(由於波長反比於頻率,我們也可以選擇用頻率去理解,不過在海浪例子中用波長比較易理解)。現在,我們可以自由選擇把不同波長的波浪疊上去。怎樣才能最有效地加強波幅,得到一個海嘯般的大波浪呢?相信顯而易見的方法就是把一樣波長等於 1 米的波浪疊上去就可以了。

可以想像,雖然如果把不同波長的波浪也疊上去,在某些位置的確會加強了波幅,但在其他地方也會抵消了波幅。因此,只是相等於原本小波浪波長(1 米)的波浪,才能持續地加強波幅,造成大海嘯。

平常在大海中,不同波長的波浪不斷出現,雖然偶爾會有相同波長的波浪互相疊加,但是其他更多不同波長的波浪也會把疊加效應抵消掉。還有一個問題就是,波浪的前進方向不同也會使疊加效應只持續一瞬間就會消失。因此除非某地方發生大地震,我們才需要擔心發生海嘯,因為地震會以特定頻率集中釋放能量,使其製造出的波浪擁有特定波長。

不過,如果我們想像在一個小水池甚至一個杯子中的情況,結果就會有所不同。不同頻率或波長的波浪會繼續互相疊加和抵消,但波浪會碰到水池邊而反彈。這樣就會使波浪不斷重複疊加,最後導致不同波長的波浪都互相抵消掉了,只剩下對應於容器共振頻率的波浪不斷疊加。這就稱為共振。

每種物質都有其各自共振頻率,指該物體偏向吸收能量的頻率。例如我們常用的微波爐,也是因為食物裡面的共振頻率位於微波波段,所以用發射微波的方式加強水份子的振動幅度,從而加熱食物。

使用以上例子,我們就可以理解,不同形狀的杯在選擇吸收某一震動頻率的能量後,再傳給杯裡面的咖啡之中,就會使咖啡濺出杯外。

研究員的下一個目的就是找出為什麼人在行走時會出現哪些頻率。結果發現,人類在行走時會在前後、左右、上下三個方向以幾個頻率振動,而前後方向的震動的其中一個頻率與咖啡杯的共振頻率吻合。令人意外的是,這個頻率並非一直以來認為的人類步行時的手部上下擺動頻率大約 2 Hz(實驗發現是 1.7 Hz;人在 1 秒鐘內大概行 2 步),而是前後擺動的一個一階諧波(文章中誤寫為二階諧波),頻率約為3.5 至 4 Hz。

文章開頭介紹的實驗已經顯示咖啡杯的共振頻率是4 Hz。因此,研究結果顯示咖啡濺出的理由並不是上下擺動而是前後擺動,亦是支持共振才是咖啡濺出理由的原因。

研究員發現有幾個方法可以減低咖啡共振的機會:倒後行、在咖啡上加上一層薄的泡沫、使用口徑很小的杯,以及用手抓着咖啡杯頂部的拿杯方法。

在倒後行的實驗裏,研究員發現前後方向的一階諧波擺動差不多完全消失(這也是上下擺動並非共振原因的另一依據);加上泡沫能能夠產生阻尼抵抗咖啡的波動;咖啡杯口徑越少,其共振頻率就越高,而正常步行時不會產生高頻率振動。

最有趣的是最後一個方法:用手抓着咖啡杯頂部。到這裡為止的解釋都是基於,當用手握住咖啡杯杯耳時,整個手部連同咖啡杯可以類比成一個鐘擺,並用鐘擺的動力學模型去理解。但當使用手抓着咖啡杯頂部時,由於手腕和手臂之間能夠擺動,這就好比形成了一個雙鐘擺系統,多出來的自由度(手腕和手臂間的擺動)就會改變系統的共振頻率。

綜合上述方法,看來用手抓着咖啡杯頂部也是實際可行的嘛!這研究也解釋了為什麼泡沫咖啡比較不易濺出。當然,這研究只探討咖啡杯的幾何形狀,對其他因素例如咖啡的黏滯性都忽略不計。這些比較複雜的問題在 H. C. Mayer 與 R. Krechetnikov 的得獎研究中都有所分析。此文章只介紹了 Jiwon Han 對咖啡杯的幾何形狀的後續研究,有興趣的讀者可以參考文末的連結閱讀兩篇論文。

相關論文:

Han J. 2016, A Study on the Coffee Spilling Phenomena in the Low Impulse Regime, Achievements in the Life Sciences, 10, pp. 87-101

Mayer H. C. & Krechetnikov R. 2012, Walking with coffee: Why does it spill?, Phys. Rev. E, 85, 046117

關於同儕審查

同儕審查(Peer Review)其實是學術界一個「內行」的專有名詞,值得稍作解釋。

(本文以天文學慣例為主,其他領域可能有異)

首先,學者會做研究,然後把研究結果歸納寫成論文(Paper)。學者指包括在大學工作的學術專業(Academic Profession)人員(教授、講師、研究生等),或者是非大學的研究所的研究員(例如德國馬克斯.普朗克學會和美國太空總署的研究員),又或是私人機構的研究員(例如藥廠聘請的研究員),也可以是任何業餘的研究者(例如業餘天文學家經常在尋找小行星上作出重大貢獻)。

因此,論文的審查其實與論文作者隸屬的大學或單位無關。論文寫成後,作者會把論文稿件投到學術期刊(Academic Journal)。現在都是經由網絡投稿,從前則使用郵寄。學術期刊通常都會邀請來自世界各地的學者擔任編輯(Journal Editor),組成一隊專業的編輯團隊(聽說薪水少得可憐,但因為還未有期刊邀請過我做編輯,所以我也不清楚)。

收到論文稿件後,期刊的總編輯就會把它分派給其中一位編輯負責,該編輯的工作就是盡力邀請該論文相關領域的學者專家去審查其內容的正確性。被邀請的專家審查員(Expert Reviewer)都是義務性質的,因此如果他們因任何理由而拒絕幫忙(例如教學繁忙、不熟悉該領域,或者有利益衝突),編輯一般都會請該學者推薦相關的其他學者予其另行邀請。

因此,審查員其實就是論文作者的同行,甚至是競爭對手。這也是稱為「同儕」審查的原因。現在的期刊,除非是如《自然》(Nature)或《科學》(Science)等的「高檔」期刊,一般是很難邀請得到資深教授幫忙審查稿件的,因為他們通常教學、研究、行政事務繁重,所以部分審查員其實都是博士後研究員,亦時有聽聞甚至會有教授找博、碩士學生幫自己做審查工作(由於同儕審查過程中的論文理應是保密的,這其實是不太正確的行為)。

審查員須在檢查論文後寫一個詳細的審查報告(Review Report),指出論文哪些內容必須改善,或哪裡有改善空間。報告內容可以純粹是建議性質,或者是論文作者必須作出的修改。有時候,當遇到語氣較重或不友善的審查員時,編輯或會刪減或修改審查報告的字眼,避免論文作者讀到太過苛刻的意見而感到難堪。

期刊通常都會給予審查員一個限期,審查員必須在限期內提交審查報告。限期根據不同期刊、領域都有所不同。一般天文學期刊的審查限期大約為四至六個禮拜。不過由於同儕審查屬義務性質,編輯亦無權強迫審查員在限期內完成審查並提交報告。遇到嚴重逾時未交的情況(經常都有⋯⋯),編輯也只能禮貌地催促。必要時,例如審查員突然「失蹤」,編輯也可以在同儕審查過程中途更換審查員。不過,由於邀請資深學者通常都很困難,除非情非得已,編輯都會盡可能避免更換審查員。

期刊會要求審查員在提交報告時一併給予接納論文與否的建議,包括直接接納(Direct Acceptance)、輕微修改後接納(Acceptance after Minor Revision)、大幅度修改後重新審閱(Review after Major Revision)、拒絕(Rejection)。不過,最終決定權其實在編輯手上。編輯可以直接無視審查員的建議,或者在審查員意見與論文作者有很大的出入時介入其中,又或者邀請多一位審查員給予獨立意見。

從前,通常每篇投稿論文都會有兩位或以上的審查員分別獨立審查,然後編輯會在考慮所有審查報告的建議後再作出決定。不過,由於現在審查員越來越難找,加上投稿論文越來越多,部分期刊的論文很多時候都只有一位審查員負責審查,所以審查的質素也就越來越參差。有時候,由於只有一位審查員,其權力會過大、又胡亂作出決定,而編輯又偏袒審查員或因其非該領域專家而無法作出公平的決定時,就可能會影響到科學的質素,遺害人類知識文明。

基本上,除了期刊的編輯外,包括論文作者在內的其他人是沒有辦法知道誰是審查員的。因為現在絕大部份期刊都是採用所謂的「單盲」(Single Blind)制度,即是審查員知道誰是作者,但作者並不知道誰是審查員。這樣做的本意是用來保障審查員能夠不受壓力地評核文章內容和質素,但有時候會被用來作打壓異見或者新的研究方法或結論之用,亦會對科學知識造成負面影響。

其中一個解決方法是所謂的「雙盲」(Double Blind)制度,即只有作為「中間人」的期刊編輯知道雙方身分,而審查員和作者都不知道對方是誰。但這在某些範疇比較難以實行,例如科學論文中少不免提到使用了哪所大學/研究所的設備,而且審查員也能夠從論文內容、行文風格、研究方法等輕易猜到誰是作者。

亦有人提出過雙方都公開姓名的方法。理由是當雙方都知道對方是誰的時候,審查過程中就會更加互相尊重,對事不對人。近年已經有學者發起這個方法,不過暫時未有期刊採用。不過有讀者指出,至少有些期刊已經會在同儕審查過程完結後公開雙方身分,這可以說是一大進步了。

歷史上有紀錄的首次同儕審查發生在1665年,倫敦皇家自然知識促進會(Royal Society of London for Improving Natural Knowledge,亦即著名的皇家學會)的《皇家科學會報》(Philosophical Transactions of the Royal Society) 。不過,當時的同儕審查是由編輯負責進行,而非另外邀請專家。

大名鼎鼎的愛因斯坦(Albert Einstein)移居美國之前,投稿的德國期刊都是沒有邀請專家作同儕審查的。後來,當他投稿一份關於證明重力波並不存在的論文到美國的期刊《物理評論》(Physical Review),期刊的編輯對論文內容有所保留,便把論文寄給一位專家審查——愛因斯坦在普林斯頓的同事羅伯遜(Howard Percy Robertson)。羅伯遜閱畢發現愛因斯坦的計算有誤,就寫了一個匿名的審查報告給他。

愛因斯坦並不知道羅伯遜就是審查員,而且他對期刊編輯「擅自」把他的論文寄給第三者的舉動非常生氣,就寫了以下信件給編輯以及退了稿:

“We (Mr. Rosen and I) had sent you our manuscript for publication and had not authorised you to show it to specialists before it is printed. I see no reason to address the – in any case erroneous – comments of your anonymous expert. On the basis of this incident I prefer to publish the paper elsewhere.”

愛因斯坦致《物理評論》(1936)

愛因斯坦退稿後把論文投稿給富蘭克林研究所(Franklin Institute)的《富蘭克林研究所期刊》(Journal of the Franklin Institute),一份名氣比較低的期刊。有趣的是,投給富蘭克林研究所的稿件經過大幅度修改,而且這些修改都是羅伯遜以同事身分建議的!愛因斯坦很高興羅伯遜幫忙發現了錯誤,而羅伯遜最後也沒有表露身分——他其實就是當初在同儕審查中指出愛因斯坦錯誤的人啦!

延伸閱讀:《Hate the peer-review process? Einstein did too

地球依然在動

傳說伽利略接受宗教法庭審判、被迫簽下「地球不會動」的悔過書時,說過這一句說話:「地球依然在動。」(”And yet it moves.”)

科學之所以引人入勝,我認為其中一個原因是科學的客觀性。科學就是尋找大自然定律的學問,而大自然並不會因人類的意見或偏好而改變。很多現在我們認為理所當然的科學知識或常識,其實都是經過無數科學家的努力研究才能得出的結論。今次,我想討論一個人人皆知的常識:「人類究竟是如何得知地球並非靜止不動的?」

地球在動嗎?古時候並沒有人知道答案。在這個資訊發達、恆常有人駐守國際太空站上、每個人都知道答案的時代,我們又有否思考過,為什麼答案是如此這般呢?我希望藉著這個看似簡單的問題「為什麼我們感覺不到地球在動?」帶出一些思考的盲點。

這篇文章分為四個部分。地球會運動,而這運動由幾個部分組成:自轉、公轉,以及隨太陽環繞銀河系中心運行(其實還有自轉軸的進動和擺動,以及受其他行星重力影響等等問題,我有機會會再另文詳述)。我曾在一篇文章中討論過古人對「感覺到運動」的認知問題,這與古代宇宙學和天文學有關,為了文章的完整性我會再簡單講解。接下來,我會首先討論自轉的問題。然後我會稍為轉一轉重點,討論一下另一個同樣引人入勝的問題:為什麼在太空中感覺不到重力?這個離題是必要的,因為最後我們討論的地球公轉問題,需要用到其中的一些概念。在四個部分裡,我亦會在盡量不影響文章流暢性的情況下,盡力解釋一些有關係的物理概念。

一、為何感覺不到地球正在運動?——從古希臘地心說到伽利略船實驗

日出日落,斗轉星移,觀察天空是古人思考宇宙奧秘的主要方法。日月星辰晝夜都在天上移動,這種東升西落現象就好像大自然在顯示給人類說:萬物都環繞地球轉動。這個理論叫做地心說(Geocentrism)。相反,古希臘學者亞里斯塔克斯(Aristarchus of Samos)提出太陽才是宇宙中心,稱之為日心說(Heliocentrism)。

古希臘人很早就了解到地球不是平的。雖然日常生活感覺不到地面的曲率,但他們發現了幾件事情,是一個平的世界所解釋不了的。第一,從海岸上望向遠方海上的帆船,總是先看見桅桿和船帆後才能看見船身。再者,他們亦發現在山崖上能夠比在海邊更早看見船隻。反過來,在船上也總是先看見山崖再看見海岸,而且在桅桿上的水手也能夠比在甲板上的水手更早看見陸地。這是地球表面彎曲的最直接的證據。

第二,在月食的時候,月球上的黑暗面積,總是圓形的一個部分。如果月食成因是地球遮掩了投射在月亮上的日光,那麼只有當地球是球狀的時候,才能總是投影出圓形的影子。大家可以在家試試看,分別用一個足球和一塊圓形的紙板,利用燈光在牆上投射出影子。我們會發現,只有當燈光垂直照射紙板時,影子才會是圓形的。但在足球的情況下,無論從哪個方向投射燈光,影子都總是圓形的。

對於身處北半球中等緯度的人來說,北天極附近的星星永不落下。相反,南天極附近的星星永不上升。(注意只有身處南半球的人才能看見南天極)北天極的高度隨緯度改變。在平的世界裡,這是不可能的。Credit: Nature of the Universe Ch. 2, Department of Physics, University of Hong Kong

第三個地球並非平的理由,就與日心說和地心說之爭很有關係了。我們知道,晚間出沒的星星與日間出現的太陽有個共通點,就是會從東邊升起、西邊落下。古天文學家早就發現,有些星星是從不落下的,它們只會環繞天空中一個假想的點轉動,那個假想的點就是北天極(同樣地在南半球的人也會看見另外一些星星環繞南天極轉動)。他們亦發現,越往北走(或在南半球越往南走),北天極(南天極)距離地平線的高度就越高,導致越來越多星星從不落下。在地球上的南極點或北極點觀察,則所有星星都不會落下。相反,越往赤道走,北天極(南天極)距離地平線的高度就越低,導致越來越多星星會東升西落。事實上,在地球的赤道上,所有星星都會東升西落,而北天極和南天極會剛好疊在地平線上。如果地球是平的話,就不可能出現這個情況,每個地方所看見的星空都應該是一樣的。同理,太陽的高度亦會隨緯度而改變。除非不同緯度的人看見的並非同一個太陽、同一堆星星,否則地球不可能是平的。

(注意,上一段文字裡的「東」和「西」並非單單指「正東方」和「正西方」,而是包含了東南、東北和西南、西北等方向。)

古希臘人知道了地球並不是平的而是球狀的,埃拉托色尼(Eratosthenes of Cyrene)更用實驗計算出了地球的直徑。古希臘人認為物質分為兩種,各自會有自然的運動傾向:天上的物質自然而然環繞地球運動、地上的物質自然地向宇宙中心落下。人們傾向接受地心說,因為除了眾星辰都「明顯」環繞地球運動外,如果地球真的環繞太陽運動的話,為什麼地上的物質又會向地心落下?這是古希臘人未能解釋的。

地心說一直稱霸西方思想,甚至在東方亦一樣。古中國天文學家認為地球是方形的平面,且天空則是半球形的,即「天圓地方」之說。西方反對日心說的最大理由是地球「明顯」靜止不動。人們說,如果地球在動,那麼當物件向下掉落時,不應該掉在腳邊,而應該掉在後方,因為物件正在空中向下跌時,地球向前移動了。他們認為,即使地球並非宇宙中心,「地上的物質自然地向宇宙中心落下」依舊應該成立,所以如果地球在動,物件就理應向後方掉落而非垂直掉落了。

直至1624年,伽利略(Galileo Galilei)提出了船實驗,才把這個攻擊日心說的主要理由消除。伽利略在行進中的船上觀察物件落下,發現與在陸地上時一樣掉在腳邊。這代表物件並不會原地垂直落下,而是會跟隨船隻一邊向前行進、一邊落下。在陸地上看,這個物件的軌跡是一條拋物線。這就代表地球並不一定是靜止的,因為這實驗證明了物件並非永遠向宇宙的中心掉落(地心說中的宇宙中心就是地球中心)。換句話說,伽利略發現了慣性定律,而慣性定律代表我們不能分辨得到地球是靜止的還是在作等速運動(速率和方向都不變)。所以,地球並不一定是宇宙中心。當然,地球的自轉和公轉運動並非等速運動,因此伽利略的船實驗只顯示了近似的慣性定律。

根據牛頓力學,我們知道地球和太陽之間以萬有引力互相吸引,其結果就是地球環繞太陽公轉。不過只有公轉並不足以解釋恆星、太陽、月亮、行星的周日運動(diurnal motion)和周年運動(annual motion)。地球必須自轉才能解釋所有這些天文數據。然而,這些都只是地球會動的間接證明。

下一節,我們會討論地球自轉對地球表面上的觀測者的影響,以及地球自轉的直接證據。

二、為何感覺不到地球自轉?——非慣性座標系裡的慣性力

為何我們感覺不到地球的自轉?這問題就像問為何我們感覺不到地球表面是彎曲的,答案是人類對比地球來說,實在太渺小了。就像我們必須望向很遠的海平線才能看見船帆先於船身出現的現象,我們亦必須走很遠的距離才能發現地球自轉對地球表面上生活的渺小人類所造成的影響。

氹氹轉。Credit: Zavijava2, Wikimedia Commons

大家有玩過公園裡的遊樂設施「氹氹轉」嗎?它是一個會旋轉的大圓盤,盤上有支架。如果我們捉住支架在地上圍著氹氹轉走,然後跳上去,我們會感覺好像有一股力想將我們推出去似的,如果我們放手的話就會被拋出去了。這就是我們經常說的「離心力」(centrifugal force)。如果各位在香港坐過會上高速公路的專線小巴,應該亦曾感受過這種刺激的感覺,根本不用去海洋公園坐過山車。

但如果我告訴你,離心力其實並不存在呢?事實上,離心力屬於慣性力(inertial force),又稱為假想力(fictitious force),是「用錯」參考系觀察物理現象的產物。參考系是數學語言,即是用來計算物體位置、速度等的坐標系統。慣性參考系就是靜止不動或者以等速移動的坐標系。

簡單來說,雖然牛頓力學在日常情況下適用於任何參考系,但在非慣性參考系裡使用牛頓力學進行計算的話,就會出現慣性力。最常見的恐怕就是圓周運動。站在氹氹轉上的人在進行圓周運動,運動方向有所改變(注意物理學中的速度概念包含速率和方向),因而是個非慣性參考系。而站在地上看著氹氹轉的人則身處一個慣性參考系之中(事實上只是近似慣性參考系,因為地球也在動)。

在氹氹轉上的人所感受到的離心力,其實是因為氹氹轉在旋轉,但慣性定律卻說物體在不受外力的情況下只會沿直線前進,因此如果他不夠力捉住支架的話,就會被所謂的離心力拋出去了。在地上站著的人不會觀察到任何離心力,只會看見一個因捉不住支架而直線飛出去的人。順帶一提,捉住支架的力當然是真實的力,叫做向心力(centripetal force)。

現在我們可以回來地球自轉的問題上了。由於地球會自轉,身處地球表面的我們就是生活在非慣性參考系之中。就像在氹氹轉上的人感受到離心力一樣,我們都會因為慣性定律而感受到離心力。這個離心力會抵消掉部分重力,使我們在不同緯度感受到不同的體重!由於赤道與地球自轉軸的垂直距離最遠,而在南北兩極這個距離則為零,因此你站在赤道時的離心力會令你的重量對比站在南北兩極點時減少大約0.35%。

另一個我想簡單介紹的慣性力叫做科里奧利力(Coriolis force,簡稱科氏力),或者叫做科氏效應(Coriolis effect)。這是當我們在地球表面上移動時會感受到的慣性力。由於地球並非一個圓盤而是個球體,因此科氏力的方向並不在本地水平面上,而是與水平面有個角度。把這個力拆開,可以得到兩個方向的分力,分別為與水平面平行的分力(遺憾地,這個分力亦稱為科氏力),和與水平面垂直的、稱為Eötvös效應的分力。

平行本地水平面的科氏分力會使任何在北半球水平移動的物體向移動方向的右方(俯視時為順時針方向)偏轉,同時使任何在南半球水平移動的物體向移動方向的左方(俯視時為逆時針方向)偏轉。這就是颱風形成的原因,因而源自南半球和北半球的颱風會有相反的旋轉方向。Eötvös效應會在除離心力之外進一步改變我們感受到的重力。向東走時,Eötvös效應會進一步加強離心力,抵消更多的重力。反之,向西走時反而會加強了向下的力,就好像加強了重力般。

(有趣的是,源自北半球的颱風是逆時針方向旋轉的,與科氏效應相反。這是因為颱風的形成過程是三維的,有機會我再另文詳述。)

而我們在日常生活中感受不到上述離心力、科氏力和Eötvös效應的原因很簡單,就是因為人類相對地球的尺寸來說,太過渺小。只有在作長距離移動時,我們才能察覺到這些慣性力。例如炮彈的彈道計算就必須考慮地球的自轉、飛機飛行時會感受到科氏力、大規模的空氣流動會形成颱風等等。順帶一提,有都市傳說指科氏效應會導致南北半球上的坐廁沖水方向相反,但這是不正確的。因為對比地球尺寸來說,廁所實在太渺小了,作用在沖廁水上的科氏力比沖廁時水流的隨機擾動細微得多了,不會出現科氏效應。

歷史上首位直接測量到科氏效應的人是德國化學家懷斯(Ferdinand Reich)。在1831年,他從160米高的地方掉下物件,發現物件落下的地點向東偏差了2.8厘米。這是由於物件自由落下時的移動方向為地球中心,經過計算科氏力會指向東面。

慕尼黑德意志博物館裡的傅科擺。拍攝於2013年。

那麼,有沒有辦法在不作長距離移動的情況下,證明地球會自轉?答案是肯定的。在1851年,法國物理學家傅科(Jean Bernard Léon Foucault)用一個非常簡單的實驗,證明了地球確實會自轉。他用一條67米長(好吧,這也很長就是了⋯⋯)的線吊著一個28公斤重的鉛球,形成一個很長很重的擺,掛在巴黎先賢寺的天花版上。慣性定律也適用於鐘擺,保證擺動平面不會轉動(擺動平面不變與物理學中的角動量守恆原理有關)。因此,鐘擺的擺動平面不會改變,但因地球自轉,在地球表面上觀察,就會好像是有個力距轉動了擺動平面。這個實驗設備稱為傅科擺(Foucault pendulum),是世上每個科學博物館的必備展品。很多人會在早上很早就到博物館去,就是為了看工作人員開始擺動傅科擺的一刻。

現在我們理解到,古希臘時代的差不多兩千年後,懷斯與傅科的實驗終於直接證明了地球會動。

三、太空中真的是無重力嗎?——萬有引力貫穿宇宙空間

理解了我們的渺小不足以察覺地球自轉、並討論了證明地球自轉的直接實驗證據後,我們來討論一下一個稍為離題的問題:為何太空中「無重力」?這個概念大概是被科幻電影等大眾文化所灌輸的。我希望直接指出這是個錯得非常離譜的概念。這樣做的話,我們必須討論一下物理學裡的重力概念。

關於「物件為何會往下掉落」這個問題,從古希臘時期已經有過很多理論,其中最著名的一個莫過於上述對宇宙之間的物質作二分法的例子:天上的物質會環繞地球轉動、地上的物質會向宇宙中心(地球中心)墜落。這個理論並沒有解釋為什麼宇宙間會有兩種不同特性的物質,也沒有解釋到底是什麼力量驅使天上物質運動以及地上物質的下墜傾向。

直至哥白尼(Nicolaus Copernicus)過世的1543年,即亞里斯塔克斯提出日心說的差不多1,800年後,他出版了《天體運行論》(On the Revolutions of the Heavenly Spheres),重新提倡日心說。不過,哥白尼的日心說其實並不比托勒密(Claudius Ptolemy)在公元2世紀出版的《至大論》(Almagest)裡描述的地心說更科學。兩者解釋天文數據的能力相當,複雜程度也相差不遠。這是因為哥白尼的日心模型依然認為天體環繞太陽的軌道必然是正圓形的,所以仍必須使用一大堆複雜的、假想出來的數學規則,才能以地心模型同等的精準程度描述天體運行的觀測數據。

即使在17世紀初,繼承第谷(Tycho Brahe)成為丹麥皇家天文學家的克卜勒(Johannes Kepler)發表了他的三大行星運動定律、發現行星軌道形狀是楕圓形之後,科學界仍未普遍接受日心說。再者,克卜勒第一定律指太陽位於行星的楕圓形軌道的兩個焦點的其中之一,這也並不正確。事實上,行星並非環繞太陽運動,而是環繞整個太陽系的質心(centre of mass)運動。所以嚴格來說,地心說和日心說都不正確。而且克卜勒亦沒有到解釋行星環繞太陽運行背後的原因。

「天上的物質vs.地上的物質」這概念,最後被牛頓(Isaac Newton)所打破。他提出的萬有引力定律,不單指出了所有物質之間都會相互吸引,更解釋了這種吸引力的來源就是物件的質量(mass)。因此,所有擁有質量的東西都會互相吸引,並且這種吸引力同時適用於地上的和天上的物質。使用牛頓萬有引力定律,結合牛頓運動定律,就能夠推導出克卜勒行星運動定律。因此,牛頓不單發現了重力的解釋,更一舉統一了宇宙間的物理學。「最基本的大自然定律應該是全宇宙適用的」更成為了現代科學研究的一個重要指標。

牛頓萬有引力定律說,兩個物體之間的吸引力與兩者質量的乘積成正比,並與兩者質心之間的距離的平方成反比。換言之,質量越大,吸引力越強;相隔距離越遠,吸引力越小。但重要的是,這個吸引力只會在無限遠時歸零。因此,在太空中(尤其是在距離地球很近的太空站或太空船軌道)地球的重力根本不是零。再者,如果太空中沒有重力,那麼太陽如何吸引八大行星繞其運動?地球又怎能吸引月球環繞我們轉動?所以「太空中無重力」是對力學非常離譜的誤解。

萬有引力從地球、太陽、月球,以及所有天體表面貫穿宇宙空間,因此可說重力在宇宙中無處不在。可是回到最初的問題,為何太空人在太空船、太空站又會漂浮著,就好像沒有重力的樣子?

牛頓的炮彈思想實驗。Credit: Brian Brondel, Wikimedia Commons

牛頓在1687年出版了《自然哲學的數學原理》(Mathematical Principles of Natural Philosophy),裡面描述了一個思想實驗:想像有一個能夠以任何力度發射炮彈的炮台。如果力度很小,那麼炮彈會以拋物線在不遠處落在地面上。如果加強力度,炮彈就能夠飛得遠一些。因此把發射力度逐漸加強,炮彈就能飛得越來越遠才落在地面上。我們也知道地球表面是彎曲的,因此如果炮台發射炮彈的力度很強,那麼發射出去的炮彈就會飛越一段很長的距離才下降少許。然而,因為地球表面是彎曲的,炮彈下降同時地面亦會向下彎曲。所以,如果發射力度足夠大的話,炮彈的下降率就能夠「追上」地面下降率,結果就是炮彈永遠不會碰到地面(假設忽略空氣阻力),環繞地球一圈後從炮台後方擊中自己。

(思想實驗(Gedankenexperiment)指只在腦海中進行的實驗,並不一定有在現實中進行過。當然,思想實驗並不是真的實驗,並不能夠用來作為科學理論的證據。不過很多物理學家都愛用思想實驗去幫助他們跟據已知物理定律想像未知的結果。有時候,透過改變思想實驗的參數而得出不同的想像結果,能使我們對物理概念有更深入的了解。)

正在環繞地球運行的人造衛星、太空望遠鏡、國際太空站,以及地球的天然衛星月球,都是上述那顆炮彈。他們其實一直都在萬有引力的控制之下,不斷地「跌落」地球,只是由於速率非常快,所以就永遠跌不到落地面、只能環繞地球運行了。而國際太空站連同裡面的太空人都正在以同一速率前進和「下跌」,因此就看似在太空站中「漂浮」起來了。順帶一提,飛機突然關掉引擎作自由落體,裡面的人也會看似「漂浮」起來,太空人就是這樣訓練如何在太空中「無重力」狀態下工作的。

因此,太空中根本就不是無重力(weightless)。萬有引力貫穿整個宇宙空間,太空人會「漂浮」只不過是無重力感(weightlessness)的錯覺罷了。有些電影會有剛飛出大氣層的太空船裡面的人突然漂浮起來的場景,但這完全是大錯特錯。

德國物理學家夫琅和費(Joseph von Fraunhofer)在1814年使用棱鏡和望遠鏡觀察太陽光譜(注意:這是非常危險的實驗,會對眼睛造成永久損害!),發現太陽大氣的吸收光譜線。經過分析,部分譜線與在地球上找到的元素的光譜線吻合,直接證明天上的物質與地上的物質皆由同樣的元素構成。

四、為何感覺不到地球公轉?——牛頓:重力平衡向心力;愛因斯坦:如何分辨重力場和加速度

終於來到本文最後一個問題:為何感覺不到地球公轉?前港大理學院院長郭新教授去年曾經指出,Google對於這個問題所列出的結果當中,找不到一個是正確的。那些答案大多都只是用慣性定律解答「因為我們不能在慣性參考系中確認自己是否正在移動」。可是地球環繞太陽公轉並非慣性運動,所以地球並非慣性參考系,因此用慣性定律去解釋是不嚴謹的。正確的答案是太陽吸引地球以及地球上所有人類的力,完美平衡了地球(和地球上的人)公轉所需的向心力。這是用牛頓力學就能理解的。

我剛剛再Google了一次,發現只有一篇文章寫出了比牛頓力學更深刻的解釋。這個解釋與上一節中討論過的炮彈思想實驗有關,只不過這次我們要討論這個思想實驗更深刻的意義。這就要由愛因斯坦(Albert Einstein)的另一個思想實驗說起。

愛因斯坦可說是利用思想實驗的專家。在1907年,即是他發表狹義相對論的兩年後,他想像有一部升降機,裡面有個可憐的人。突然,吊著升降機的纜繩斷掉,升降機向下自由落體。根據上一節的討論,升降機裡面那個人會「漂浮」了起來,因為他正與升降機一起以相同的速率和加速度向下墜落。有趣的是,如果他仍然有時間思考的話,他會發覺,自己並不能夠分辨究竟是在重力場中自由落體,還是在遠離任何星體的宇宙空間裡真真正正地漂浮著!

愛因斯坦又想像,如果這部升降機和裡面的人真的在空無一物的宇宙深處之中,但升降機以與地球重力加速度同等數值的加速度向「上」加速,那麼裡面的人就會被升降機的地板向「上」推,他會感覺到與身處地球表面一樣的體重。如果他看不到升降機外面的環境,他就不可能分辨自己究竟是在外太空被升降機地板向「上」推,還是與升降機一起靜止地立在地球表面之上!

National Geographic紀錄片《Genius》裡的一幕,描述了愛因斯坦的升降機思想實驗。

愛因斯坦後來稱這個思想實驗為他「一生中最快樂的思想」。根據這個思想實驗,他最終成功在1915年發表完整的廣義相對論。透過這個思想實驗,愛因斯坦驚訝地發現,在局部的情況下,沒有任何實驗能夠分辨重力場和加速度。因此,他下結論說,兩者是等價的。換句話說,重力場就是加速度,加速度就是重力場,兩者是同一個東西。這個發現被稱為等效原理(equivalence principle)。

地球與地球上生活的所有人類一起正在向太陽墜落。當然,就好像上一節討論的太空站環繞地球公轉一樣,地球也永遠不會落到太陽之上。

等效原理說,我們不可能在局部情況下分辨到底地球是在遠離太陽重力場的宇宙空間中,還是正在向太陽墜落。因此,我們不可能感覺到地球正在環繞太陽公轉,因為如果我們能夠感覺到地球公轉的話,就等於說我們能夠分辨重力場和加速度!所以根據等效原理,我們就能夠輕鬆地解釋為何感覺不到地球在公轉。

有一點要注意的是,等效原理只在「局部」(locality)成立。局部的意思是無限小的空間。然而升降機是有一定尺寸的,而且萬有引力的方向是向心、並不平行的。因此,如果在升降機的兩側各放一個蘋果,我們就可以從兩個蘋果相距的距離分辨出升降機到底是在真正無重力的宇宙空間中,還是正在地球重力場中作自由落體。隨著時間過去,如果升降機真的在宇宙中,真的沒有重力作用於兩個蘋果之上,它們之間的距離就應該維持不變;如果升降機是在自由落體,指向地球中心的重力就會作用於兩個蘋果之上,而這兩個力並不是平行的,因此它們之間的距離就應該漸漸縮短。

當然,在現實中是不可能進行這個升降機思想實驗的。但我們仍然能夠從一些自然現象中找出端倪。例如潮汐漲退就是由於月球和太陽作用在地球的不同部分上的重力有所不同而引起的。所以潮汐就是地球真正位於重力場裡的證據。不過,這仍只代表地球在重力場之中,並不代表地球正在公轉,地球也可能是在直線向太陽墜落。然而,若加上地球自轉和星星、太陽、月亮的周日和周年運動,我們就能得出地球公轉的結論。同理,我們感覺不到整個太陽系都在環繞銀河系中心公轉的原因,也是基於等效原理。

最後,如果想用天文觀測證明地球會公轉的話,其實並不太困難。我們可以利用視差法(parallex),在相距半年的時間觀察同一顆星星相對背㬌星空的位置,我們會發現會有細微的變化。這就好像輪流遮住左眼和右眼看同一件物件,會發現物件相對背㬌的位置有所改變。

希望這篇文章能幫助各位釐清關於地球運動的一些物理概念。

鳴謝:感謝小肥波、Edward Ho、Patrick Tsang、Michael Or、TN Kwok的意見和幫助proofread。

延伸閱讀:
Prof. Sun Kwok answers some of the common misconceptions in science》- Sun Kwok
Ask Ethan: Why Can’t We Feel Earth Flying Through Space?》- Ethan Siegel

封面圖片:國際太空站上拍攝的地球,在北卡羅萊納州上有一個颱風。颱風的形成是地球自轉的證據。Credit: NASA

慣性

在我所教導的一門科學通識課程 Our Place in the Universe 裡討論過一個問題:

自古希臘時期,對於宇宙的模樣有兩個主要的觀點:地心說(Geocentrism)和日心說(Heliocentrism)。地心說指地球是宇宙的中心,所有天體都環繞地球運動,而日心說則指太陽才是中心。直到16世紀,西方社會大多認為地心說是正確的。這基於幾點主要原因。一則太陽和所有天體東升西落是一般人每天也看得見的現象;二則天主教廷認為地心說符合聖經,不允許人們討論日心說。

三則比較複雜。當年的學者普遍認為物質分成兩種:地上的和天上的。地上的物質必然向著宇宙的中心(即地球的中心)掉落(縱使他們並不認為地球會運動,但已經了解到地球是球狀的),而天上的物質則環繞宇宙中心運行,不會掉落。因此,假使地球真的在運動(這並不必然代表太陽是宇宙中心),那麼當一個人站在原地不動、掉落一個物件時,該物件理應掉在該人的「後方」,因為在物件掉落的過程中,地球已經運行到另一個位置了。而我們都知道,每次掉落東西時,物件都只會落在自己的腳邊。因此,他們認為地球並不會運動,運動的是太陽。

第一點其實比較容易提出相反的意見,因為西方學者在很早以前就已經知道幾何學上不難建構出一個日心說模型,能夠解釋行星和恆星在天上的運動。他們知道,恆星之間不會移動,只會有每日東升西落的集體運動,而行星卻除了東升西落之外,相對背景星空亦會移動,甚至有時候會出現逆行的情況。事實上行星和恆星的運動方式不同,就是區別出行星的原因,行星(planet)本意指「遊蕩的星星」。到了16世紀,哥白尼提出的日心說模型為了解釋日漸精準的天文觀測(依然只靠肉眼,望遠鏡仍未被用於天文觀測之上),其複雜程度其實與地心說模型(主要是2世紀的托勒密理論)不遑多讓。至於第二點其實是對第一點的補足和對異見的禁制。既然地心說可以解釋天文數據,又得到聖經的背書,那麼它就一定是正確的,因為因上帝啟示而寫出的聖經是不會有錯的。誰提出相反觀點,誰就是異端,需要接受宗教法庭的審判。因此,令社會上大多數人都避談日心說的主因,是天主教廷的極權白色恐怖。

至於第三點,人們本以為這是個無懈可擊的論點,因為即使拋開上述兩點,地球不動這個經過實驗驗證的結論似乎也是堅不可破。然而17世紀的伽利略做了個很簡單的實驗,證明這個論點有一個根本性的問題。

伽利略的實驗非常簡單,你我也可隨時重複這個實驗:在一艘行進中的船上掉落一個物件。結果所有人都知道,就是物件會掉落在腳邊,就如同站在地面上靜止不動時,掉落物件的結果一樣。然而,如果我們不是與伽利略一起在船上,而是站在岸上看著伽利略在船上做這個實驗,我們看見的物件軌跡就不是一條直線,而是一條拋物線,因為船正在行進當中。

因此,基於同樣道理,即使地球在行進當中,掉下的物件都會與地球一同前進。伽利略發現了慣性定律

這裡有一點要注意。我留意到有些同學會以為這實驗證實了地球在運動,但這是個錯誤的結論。伽利略這實驗所證明的,只是上述「認為日心說是錯誤的第三點理由」並不成立。既然船是在地球表面運動,那麼無論假設地球動或不動也好,物件都應該掉落在船的後方。因此,物件隨船的行進方向掉落的這個結果,只代表地球並不一定不動而已。話雖如此,這個結論在當年的人們來說是震撼性的,因為它顛覆了古希臘(主要以亞里士多德和托勒密為首)的物理理論。

慣性(inertia)的發現,可說是現代物理學正式誕生的一刻。牛頓力學和愛因斯坦的相對論,都把慣性參考系放在一個特殊的地位,與其他非慣性參考系分隔開來。簡單地說,慣性就是一個物體維持其運動狀態的傾向。或者(不太嚴謹但又不太離譜地)我們可以說動量(momentum)就是量化慣性的方法。直到愛因斯坦在1915年發表完整的廣義相對論,才對慣性和非慣性參考系之間的異同有更深的了解。

在傳播科學知識的過程中,我也發現了人的另一種「慣性」。那是一種思考的慣性。我發現(包括我自己在內)人會以習慣的方式去思考問題。換句話說就是雖然最終結論可能是一致的,但各人會以不同的思路出發,著重重點可能都不相同。不過這是完全沒有問題的。正因為不同的人會有不同的思維模式,世界上人與人之間的交流才會這麼豐富和有趣。

最常見利用不同思路達到一致結論的領域,應該是數學和科學。數學有邏輯上的絕對性,科學亦有大自然作為最高法院,兩者的真確性並不受人類的意見所左右。這就好像用兩種方法證明同一個數學定理,或者用兩種實驗證實同一個科學理論。

但令我不解的是,有種思考慣性是會傾向把事實扭曲來迎合個人立場。當事實與他們的認知不同的時候,他們會更堅定地相信自己的想法,否認事實或者用各種陰謀論去解釋事實與他們的信念之間的落差。心理學裡,這叫做 backfire effect。

我舉一個例子。有些人到現在仍然相信地球是平的、是宇宙的中心,他們會用上述第三點去反駁「地球環繞太陽運行」的客觀科學事實,但他們同時亦能理解物理學中的慣性定律。他們也會利用牛頓力學駕駛車輛,卻不理解這在一個平的世界上會導致什麼不同的結果;會運用應用了廣義相對論的全球衞星定位系統,卻不相信人類曾上太空;會相信自己 Google 出來的陰謀論是正確的,卻認為同樣能被 Google 出來的科學資訊都是謊言。這種對固有想法的「慣性」有可能是人類演化遺留下來的自我保護機制,不惜犧牲事實、邏輯和理性也要「捍衛」自己的信念,甚至認為自己才是「理性」的,其他人要不是被陰謀論所欺騙,就是參與陰謀論的一份子,迫害他們這群「覺醒者」。

發現物理學的慣性定律是人類邁向現代文明的里程碑。我希望人人都能拋開對固有想法的「慣性」,保有理性的自由意志,開創人類未來新的一頁。

封面圖片:1636年 Justus Sustermans 所畫的伽利略人像。

延伸閱讀:
重力是什麼?愛因斯坦的廣義相對論》——余海峯

重要的不是有沒有可能發生 而是有多可能發生

我很少把重點寫在文章的開頭。

在科學中,重要的並不是一個理論有沒有可能是正確的,而是該理論有多可能是正確的。因此,在科學中要下結論,最重要的是計算理論正確的機會率。即使在難以客觀估計絕對機率的情況下,科學家亦應該比較各種理論的相對可能性。比較後,縱使不知道最有可能的一個是否真的就是對大自然現象的正確解釋,至少我們必須如實報告:哪個比較有可能、哪個又比較沒什麼可能,支持各種論點的證據是什麼,以及又是如何計算出/比較出那些機率的。

我們很可能聽過一句說話:「在排除了所有可能性後,剩下的無論再不可能,也是真相。」這句說話的邏輯當然正確,但有時候我們在引用這句說話去佐證自己的論點時,都會忽略了一個重點:是否真的已經窮盡了所有可能性?

我舉一個較簡單的例子:很多不明飛行物體的報告,目擊者都會從完全不確定——目擊的是「不明的」物體——突然跳到完全確定的結論——「那就是飛碟!」要知道,從「不明的」、未能辨別的物體,到「就是飛碟!」之間,相隔著一道鴻溝啊!比如說,那是自然現象(例如雲與光線造成的錯覺)或者是人類飛行器具如直升機或飛機,這些源自地球的解釋都比外星飛碟等源自地外的解釋更有可能。

另一個相似但比較複雜的例子,是幾年前天文學家發現了一顆恆星的不尋常閃爍現象。很多媒體大肆報道,稱「天文學家發現了外星建築物的證據」。但其實只要去讀讀原論文,作者們事實上提出了四、五個可能的自然解釋,比較了各種解釋的機率,甚至在文章中連「外星人」一詞都根本沒有出現過。他們只是作出了「現階段不知道是什麼原因導致恆星不尋常閃爍」的結論,卻被媒體寫成「因為不知道是什麼,所以是外星文明」的炒作報導。

再說一些比較貼近人類生活的例子。近來我看了不少世界各地奇怪案件的調查資料,其中有些令人費解:負責這些案件的調查員都偏愛比較不可能的解釋,然後稱這些解釋是「有可能發生的」。就算假設調查員都是公正的(這點當然不一定),這種調查方式也是極有問題的。原因就如同上述例子,在「真相」與「有可能發生的事」之間,往往仍然有著許多未能被排除的「更有可能發生的」可能性。例如有一宗,一個男孩在山上被發現雙手被反綁在背後,然後在一個斜坡上吊頸而亡,竟然被認為是自殺而結案。科學上,當然未能排除這個可能性,但同時都未能排除其他他殺的可能性,他殺可能性的機率亦不太可能較自殺的低。科學鑒證亦是科學,必須遵守科學的研究方法。

事實上,日常生活許多事情都可以運用這個科學原則。例如飯煮得不好吃,是廚師功力不足,還是廚具有問題?或者是否食材本身有問題?理性地比較各種可能性的機率,才能幫助我們找出問題的源起,能夠幫助我們作出合理的決定,以解決問題。習慣科學式的思維,也能夠幫助我們分析身邊社會發生的事情。

希望大家在亂世中都能保持科學的獨立思考。

延伸閱讀:

人類並沒探測到外星巨型結構》——余海峯

四季與曆法

我們知道一年有四個季節:春季、夏季、秋季、冬季。你知道為什麼嗎?

很多人以為這是因為地球繞太陽的軌道是楕圓形的,因此地球有時離太陽近一些,就是夏季;有時離太陽遠一些,就是冬季。然而,這個理論有著致命性的缺陷。如果季節成因真與地日距離有關,那麼無論身處地球上哪裡,季節都應該是一樣的。可是,事實上南北半球的季節卻是相反的。當北半球是夏天,南半球就是冬天,反之亦然。

(北半球霸權:事實上,當地球位於軌道上最接近太陽的位置,即「近日點」時,北半球正是冬季啊)

哪麼,究竟為什麼一年有四季?原來這是由於地球的自轉軸是傾斜的,而自轉軸傾斜的方向在一年中都不變。對於生活在北半球的人,在夏天時太陽以較高的角度直射地面,因此就比較熱;而在冬天,太陽照射角度比較接近地平線,地面吸收的熱能就比較少,所以就較寒冷了。

一年四季中有許多節日,但大部分其實都與文化有關,跟天文學沒有什麼關係。之不過,你又知道原來有幾個特別日子,在天文學中有著重要意義嗎?

每年3月20或者21號叫做「春分」,在這一天,無論我們身處地球哪裡,太陽的日照時間都剛剛好是12個小時。耐在春分之後的北半球,每一天的日照時間都比12個小時更長,而且越來越長,直到6月20或21號,叫做「夏至」的這一天。這天是北半球日照最長的一天,而相反地在南半球則是日照時間最短的一天。在夏至之後,北半球的每一天會越來越短,南半球則越來越長。

然後是9月22或23號,稱為「秋分」的一天。這天是春分的相反,在這一天,無論我們身處地球哪裡,太陽的日照時間都剛剛好是12個小時,而秋分之後日照時間都比12個小時更短,而且越來越短。最後就是「冬至」,在每年的12月21或22號。冬至可說是夏至的相反,在這天是北半球日照最短、南半球則是日照時間最長的一天。在冬至之後,北半球的每一天會越來越長,南半球則會越來越短。

在農曆中,這四天就是所謂的「四時八節」中的「四時」,是廿四節氣中最重要的四個節氣。在西曆中,這四個日子亦由於其天文學上的重要性,同樣被特別稱之為equinox(分)和solstice(至):春分vernal equinox、夏至summer solstice、秋分autumnal equinox、冬至winter solstice,而節氣則稱為solar term。

有趣的是,春分、秋分、夏至、冬至在農曆和西曆中都是重要的節日,但在農曆中它們並不會每年出現在固定的日期,而在西曆之中它們卻固定在上述日子。這跟兩種曆法分別如何處理月份有關。

我們常說的西曆,其實叫做格里曆(Gregorian calendar),是世界通用的曆法。格里曆是一種陽曆(solar calendar)。陽曆的意思是,太陽在一年中相對背景星空的位置(黃道)在曆法中的日期是固定的。換句話說,由一個節氣到下年同一節氣之間的日子排列方式是固定的。這就是為什麼格里曆對於閏年的處理很簡單,而且新年都必定在同一天,因為每天都會對應於太陽在黃道的某個位置。亦因此,春分、秋分、夏至、冬至的日期不會相差多於一天。

至於農曆,很多人以為是陰曆(lunar calendar),但其實它並不是陰曆。陰者,太陰也,即月球。陰曆就是根據月球的月相而製成的曆法,例如伊斯蘭曆就是陰曆的一種。月相是太陽、月球、地球之間的相對位置造成的,但由於月球環繞地球運動(陰曆的根據)與地球環繞太陽運動(陽曆的根據)並無關係,因此陰曆裡的四季更替並不是固定在某幾個月的。

農曆其實是一種陰陽曆(lunisolar calendar)。故名思義,它結合了陰曆和陽曆,同時考慮到地日互動和地月互動對曆法的影響。因此農曆新年在陽曆中的日期雖然會浮動,但最多浮動約一個月的時間,不會發生陰曆新年日期浮動整整半年的效應。廿四節氣(包括春分、秋分、夏至、冬至)在農曆中的日期亦會浮動,因為節氣是根據太陽在黃道的位置(即地球繞太陽運行的位置)來決定的,而農曆月份的時間長度則是依據月相來決定的。因此,農曆的置閏方法十分特別,即我們可能聽過的「19年7閏」和「5年3閏」規則,而且是置閏月而非閏日。關於農曆置閏的詳細規則,請參考延伸閱讀文章。

日常使用的曆法其實藏著很多有趣的天文知識,以後有時間再慢慢與大家討論。

封面圖片:Sandro Botticelli 15世紀畫作Hl. Augustinus in betrachtendem Gebet, Detail

延伸閱讀:

略談農曆曆法,以及置閏的規則》——Curtis Lai

救不救小貓頭鷹?科學與訴諸自然

*** 17 Apr2020 5pm更新 ***
感謝王偉雄教授提醒,我混淆了訴諸自然(appeal to nature)和自然主義謬誤(naturalistic fallacy)兩種不同的謬誤,特此更正,抱歉引起誤會。

在邏輯學101中,有一課是要學習各種不同的謬誤,即理解因果時所犯的錯誤。其中之一,叫做訴諸自然(appeal to nature)。訴諸自然可以這樣描述:因為某事情符合自然,所以某事件就應該被作為(即某事件是好的/對的)。而「符合自然」通常指「沒有受人類影響」。

(這裡發一下牢騷:作為物理學家,我認為「自然」一詞包含宇宙間所有東西,包括人類行為在內的所有事情都必然符合自然,因此把人類排除在外,對我來說有點難理解。不過,這只是定義「自然」一詞的分歧,在此就不多作討論。為免混淆,在本文中我使用「宇宙定律」代替「自然定律」)

邏輯並非科學,但在科學當中,必然需要邏輯。作為科學家,我需要謹記,即使一件事情是自然的,我仍只能夠描述該事情如何發生,而不能用科學去判斷該事件應否發生。科學並無分好與壞,因為科學只不過是一套有效理解宇宙定律的方法。當然,作為一個人,我仍然可以跟據自己的想法去判斷一件事情應否發生,無需亦不能引用任何科學作為依據。

例如,我知道殺人是不對的,並非因為科學告訴我如此這般,而是因為我所習慣的道德標準告訴我如此這般。如果我引用「科學」,說「科學告訴我們,人是應該老死/被獅子老虎吃掉的,因此殺人是不對的」,那麼雖然我同樣抵達「殺人不對」的結論,可是我就犯了訴諸自然,因此我的論點並不成立。

近日有一則新聞,有個人偶然見到幾隻小貓頭鷹將被蛇吞食,就救了牠們。事後,有人說他拯救了貓頭鷹,所以是好事、正確的;亦有人說蛇吃貓頭鷹是生物學上的定律,他救貓頭鷹因而是違反自然,所以是壞事、不正確的。兩邊吵得起勁,究竟哪邊論點才正確?

我相信任何一個稱職的科學家,當他們以科學家身分去回答這個問題時,答案只應是「不知道」。你會說有沒有搞錯,讀這麼多書,這樣簡單的道理也不知道?

作為科學家,我只可以告訴大家「蛇吃貓頭鷹是生物學上的定律,」——然後就是一條分界線,分開科學和非科學——「所以這是正確/不正確的。」只能夠是跟據個人意見、喜好、想法得出的結論。

「科學的好處在於,不管你信不信,它都是正確的」這句出自天體物理學家與科學普及工作者Neil deGrasse Tyson的名言,顯然是有些少(「只有些少?!」)自大,但不無道理。他的意思,在我這樣一個同是天體物理學家的人看來,是「科學『方法』的好處在於,不管你信不信,它都是『有效』的」。科學是一個自我修正的方法,它的研究對象是宇宙本身。科學家問:「某現象如何發生?」然後就觀察宇宙,尋找答案。因此,科學能夠告訴人類如何以數學來越來越接近描述出正確的宇宙定律。

可是,我們必須注意,科學做的僅僅是描述,而非判斷。科學不能幫助我們判斷一件事情的好壞、正確不正確,因為這不是科學問的問題。亦因此,訴諸自然是一個謬誤。

剩下的問題,就是作為一個人,我們的意見、喜好、想法,或者習慣的道德標準。而這是沒有「放諸四海皆準」的定律可遵從的。就連殺人對不對也沒有辦法達到一個所有人類的共識,因為這因不同地方的法律和文化而異。我們為什麼可以認為自己能夠代表宇宙判斷,「救出將被蛇吃掉的小貓頭鷹」對不對?注意,我並不是說「應該/不應該救」,而是我們不能以自然與否去「判斷應該/不應該救」。

以我個人喜好,我是偏愛貓頭鷹多一些,因為我覺得貓頭鷹比較可愛,因此如果是我,我會(在確保自身安全下,因為我愛自己的性命多於貓頭鷹)救貓頭鷹。反過來說,其他人也可以偏愛蛇多一些,因此不救貓頭鷹。甚至,有些人亦可以偏愛「自然」多一些,希望「不干擾自然」,因此不救貓頭鷹。這幾種觀點都沒有問題,因為這些全都是基於個人意見、喜好、想法,或者習慣的道德標準。

只不過,我們就必須接受,這些只是基於個人意見、喜好、想法,或者習慣的道德標準所得出的結論「應不應該救」,因此,為何我們自以為可以據此判斷他人「救不救」此一行為是「對不對」?

一變四 四變十二 宇宙演化永恆真理

一變四
四變十二
來到這禮拜更加諷刺

作為科學家,我並不相信報應,但我相信物理上的因果。除了生物學上的病毒傳染會「一變四四變十二」,天文學上亦有「一變四四變十二」,而且這個過程更直接影響地球上的生命,甚至整個宇宙的演化。

恆星是一個巨大的煉金術熔爐。構成恆星的元素,絕大部分是氫(原子量為1)。由於恆星自身的重力,恆星裡的氫會互相擠壓。好像擠壓一個氣球一樣,壓力和溫度會上升。當溫度提昇至約1,500萬度,氫原子核就能夠突破彼此的電磁力,透過量子穿隧效應結合在一起。

在這個溫度下最的過程是「質子-質子連鎖反應」(氫原子核其實就是一個質子)。簡單來說,就是四個氫結合成一個氦(原子量為4)。

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質子-質子連鎖反應。圖源:Wikimedia Common

一變四

不過要注意的是,這個過程並非一步登天。事實上,首先兩對氫核各自結合成氘(氫的同位素),然後這兩個氘再各自與一個氫結合成氚(氫的另一款同位素)。最後,這兩個氚結合成氦,並同時放出兩個氫。這兩個氫能夠繼續連鎖反應。

不過,當太陽差不多用盡體內的氫元素,更多有趣的事情就會發生。其細節很複雜,如果我們只簡略說重點的話,大概就是首先因氫核不足,太陽核心的核反應放出的能量漸漸變少,重力開始將恆星中心壓縮。

本來太陽只有中心部分才會發生核反應,但恆星外圍的氫亦因壓力和溫度增加,亦開始發生核反應,因此恆星中心會向內壓縮,外圍卻會膨脹。這時,太陽就進入所謂的紅巨星階段,尺寸變得比地球軌道更大,因此地球要不是被燒得灰飛煙滅,就是因太陽重力場改變而向外移動。無論如何,因太陽變得非常熱,地球海洋會完全蒸發,所有生物都難逃一死。

扯遠了。回來討論太陽中心的核反應。因體積變小,溫度和壓力再次提高,直至點燃另外一個核反應「碳循環連鎖反應」。碳循環連鎖反應亦是把氫結合成氦的連鎖反應,只不過這次需要一個碳原子核幫手——太陽內部只有微量的碳,來自前一兩代的恆星殘骸,不過已經足夠了。

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碳循環連鎖反應。圖源:Wikimedia Common

質子質子連鎖反應的效率正比於溫度的4次方,而碳循環連鎖反應的效率則正比於溫度的16次方。這個恐怖的數字顯示,太陽裡的核反應將會失控地加速,核反應所產生的能量根本來不及散失到太空之中,因為一個光子要從太陽中心走到太陽表面需時以百萬年計。

這意味著,太陽中心溫度將不斷提高。當溫度達到1億度,另一個核反應「三氦核連鎖反應」就會接手,將三個氦結合成一個碳(原子量為12)。

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三氦核連鎖反應。圖源:Wikimedia Common

四變十二

三氦核連鎖反應由兩個步驟組成:先由兩個氦結合成一個鈹,然後這個鈹再跟一個氦結合成一個碳。三氦核連鎖反應的效率正比於溫度的40次方。

太陽中心的溫度將不斷提高,逐步點燃其他的核反應。加上各種不穩定同位素的核衰變反應,太陽共可合成80種元素。太陽能夠合成的最重元素是釙。

比太陽更重的恆星,有可能合成更重的元素,直至所有比鐵輕的元素都合成鐵了,恆星中心就會變成一顆鐵球。由於鐵的核結合能——即每個核子(質子和中子)結合時釋放了的能量——是所有元素之中最高的,結合鐵需要輸入能量而非放出能量。因此恆星中心的核反應會停止,沒有壓力[1]能夠抵抗重力,中心會急速向內坍塌,然後反彈,造成超新星爆發(II型超新星)。整個過程不足一秒。

超新星爆發之中,所有合成過的元素都會被光分解成氫,然後又在極高溫度裡再次重複核反應,合成宇宙中可以自然找到的所有元素。地球上的生命需要的各種元素,大都來自於超新星爆發[2]。而恆星以至星系的演化過程,又受各種元素的比例所影響。因此,整個宇宙的演化,都取決於主宰這些核反應的物理定律。

一變四,四變十二,宇宙演化永恆真理。

P.S. 都係聽返《喜氣洋洋》。飲杯!

[1]事實上,簡併壓力會再抵擋重力一段時間,不過要解釋的話就過於離題,有興趣的讀者可參考《星海璇璣》第五章第三節「恆星的死亡筆記」,或我的文章《恆星的死亡筆記

[2]2017年,人類觀察到首個來自雙中子星結合所釋放的重力波。近年研究發現,許多以往被認為源自超新星爆發的重元素——例如金,比較可能是來自於這類雙中子星結合事件的。可參考LIGO網頁的解說

第四次世界大戰

愛因斯坦的相對論推導出質動等價方程E=mc^2,發現物質的質量蘊含巨大能量。莉澤.邁特納以此解釋奧圖.漢的實驗數據,原子核分裂前後總質量不相等,因而發現核反應能夠釋放能量,後世稱她為原子能之母。

二次大戰,愛因斯坦寫信敦促羅斯福總統製造原子彈。最終,美國展開曼哈頓計劃,先於納粹德國造出原子彈,並投下於日本廣島和長埼,使兩座城市被夷為平地,終結了戰爭。

細小的原子竟然能夠釋放出如此巨大的能量,舉世震驚。愛因斯坦得知廣島被毀,驚訝得說不出話來,心情良久才平靜下來,說:「早知如此,我寧可當個鐘錶匠。」

當然,問題並不在於愛因斯坦發現質能等價、不在於誰向羅斯福進言、不在於原子能的應用,亦不在於造出原子彈的人。科學無分好壞,問題在於擁有科技的人如何使用。曼哈頓計劃的粒子物理學家Kenneth Bainbridge目睹原子彈試爆後說:「Now we are all sons of bitches.」

曼克頓計劃中,費曼負責帶領一隊美國頂尖高中生進行原子彈爆炸的理論計算。他回憶道,戰後他過了一段時間才發覺自己有份造出史上最恐怖的武器。他看著街上的修路工人,心想:「還建設什麼?一切都徒勞無功。」他以為世界很快就會毀滅於核戰之中。

後來,有位記者問愛因斯坦:「第三次世界大戰會用什麼武器來打?」愛因斯坦答道:「我不知道第三次世界大戰會用什麼武器來打,但我知道第四次世界大戰會用石頭和木棍來打。」

愛因斯坦的回答常被用來說明核武器的恐怖。但我覺得,愛因斯坦預言會發生第四次世界大戰,才最令人不寒而慄。愛因斯坦看穿人類不會從歷史中學習,認為即使經歷毀滅文明的核戰爭,人類仍會繼續互相殘殺。

核戰爭之所以從未(仍未?)發生,是基於所謂的「確保互相毀滅」原則:擁有核武的雙方都深明對方能夠毀滅自己,而且雙方都沒有能力防禦。因此只要其中一方發射核彈,雙方都必定毀滅。由於雙方都不願被毀,雙方就都不會使用核武。這也是博弈論中的一種平衡點:正因為知道能夠互相毀滅,所以才不會互相毀滅。

但這種平衡,只在雙方皆擁有毀滅對方的能力,以及無法防禦對方攻擊的條件下,才有可能成立。如果其中一方有著壓倒性的武力優勢,而且沒有自我約束的能力的話,毀滅另一方就很自然變成「Why not?」歷史上這情況累見不鮮,問題不是會不會發生,而是何時發生。

現實非理論,並不只有兩個完全敵對的陣營,因此政治往往很難預測。在這充滿變數的世代,我們只能做好應做的事、出應出的力,不放棄,希望可以保存性命,有天會看見曙光。

圖:1946年7月1號《時代雜誌》封面。

談教育

作為三年前才剛剛PhD “fresh grad”(見工時真的曾被如此稱呼🤡),在國父孫文革命時期曾入讀的母校香港大學當一個小小的講師,的確沒有什麼專業資格談論教育。

然而,眼見有人把教育妖魔化,指「中學教出『暴徒』、大學教出『曱甴』」,我必須嚴正駁斥。

我相信,教育的目的不單是學習知識。教育是一個讓學生成長的過程,而學習知識是這個過程的其中一部分。

我不會說「學習知識嘛,自己讀書不就可以?」書本很難把所有細節和重點一一列舉,必須要有師生互動、同學間的討論,方能事半功倍。然而,這亦不代表學習知識是教育的唯一意義。

教育的另一個目的,在於把學習到的知識抽絲剝繭、融會貫通,盡可能在生活中實踐。好的教育,必須引導學生分析問題、鼓勵學生批判思考、培養學生敢於發言。

學生應該「聽話」嗎?不必然是,也不必然不是。學習課本上的知識時,「聽老師的話」很大機會是有效率的,因為老師面對同一問題的經驗通常都比學生更多。但這也並不必然,許多科學上的革新思想都是學生「不聽話」而想到的,例如愛因斯坦推翻牛頓二百多年的運動定律。

這就涉及為什麼我認為「聽話」不必然是好的。在討論、辯論、尋求進步的過程中,需要的就是打破舊有框架的勇氣。普朗克提出光量子假說,不但解決了長久以來的黑體輻射問題,亦開創了量子論。當然,打破框假亦不必然代表正確,就例如很多嘗試推翻愛因斯坦廣義相對論的嘗試亦未曾成功。

但這就代表革新是不智的嗎?非也。雖然在革新的過程中,失敗的次數定必比成功的更多(成功只有一次),但如果不去嘗試的話,就永遠無法成功。因此,教育必須鼓勵人們去嘗試:嘗試失敗,而非只着眼於灌輸課本上的知識,要學生一生循規蹈矩,但到頭來一事無成,這是不會帶來進步的。

作為家長或者老師,如果你是真心希望人類社會有良好的教育的話,是應該支持及鼓勵學生提出反對聲音、去做一些上一代人沒有做過的事。這才是進步的來源。

因此,我認為那些刻意詆毁香港鼓勵學生多元探索的教育制度、誣蔑大、中、小學教師對尋求社會進步所付出的努力的人,才是真正的居心叵測。

我也認為,社會是屬於接受過良好教育而做出該做的事的下一代的,而非我們這些沒有做過該做的事的上一(幾)代的。