亞視永恆。但有些東西可以比亞視更永恆。 我們都學過圓周率，而且我們都知道圓周率的名字叫做 $latex \pi$。在學校裡，我們必定學過一條公式，就是如何用一個圓形的半徑去計算它的周長，即是圓周： $latex C=2\pi R$。 上式告訴我們「圓周 $latex C$ 除以兩倍半徑 (即直徑) $latex 2R$ 等於 $latex \pi$」，大概就是我們對 $latex \pi$ 的第一個印象吧！我們在學校也學過，上式中的 $latex \pi$ 是一個常數。換句話說，無論一個圓形有多大，它的圓周 $latex C$ 和直徑 $latex 2R$ 之間的比例都是不變的。 有史記載第一個證明 $latex \pi$ 是常數的人，有說是阿基米德。他使用極限 (limit) 的數學概念，以逼近法把 $latex \pi$ 好像夾三文治一樣夾出來！從而證明它是一個常數，計算出 $latex \pi$ 在 3.1408 和 3.1429 之間，準確至兩個小數位。事實上，$latex \pi$ 是無窮無盡的，即是它擁有無限個小數位，怎樣計也永遠計不完。現代的超級電腦，可以把 $latex \pi$ 計算至萬億個小數位。可是，萬億個小數位距離無限，仍然是無限遠。 我們知道這些都是事實。可是，我們又有沒有想過，為。什。麼？ 在這一連幾篇文章中，我會用兩個不同的方法去證明 $latex \pi$ 是一個常數，即是證明所有圓形的圓周率都是一樣的。換句話說，我們會證明所有圓形的圓周與直徑的比例都是一樣的。然後我會介紹其他與圓形和…… Continue reading Pi 是永恆 (一)
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畢氏定理 X 圓 X 三角學
大家知道畢氏定理、圓、三角學這三樣東西有著密切的關係嗎？ 首先，我們來考慮一個直角三角形： [圖一] 根據前文討論過的畢氏定理，我們就有 a2 + b2 = c2。 現在來考慮一個圓形。我們可以如何定義一個圓形呢？ 「指定一點叫做圓心 O ，向任一方向伸延一長度 R，然後將這長度 R 繞 O 轉一圈，那麼 R 的頂點畫出來的形狀就定義為『圓』，並且 R 稱為這圓的半徑。」 好了，我們現在有了三角函數和圓的定義，就來看看它們之間有什麼關係吧！首先，我們把 O 放在二維平面上，並使 O 與 (x, y) = (0, 0) 重疊。我們問，一個半徑為 R 的圓形，如何以 (x, y) 座標表達呢？看看下圖，我們在圓周上隨意選一點 (x, y) = (a, b)，並與 O 點連接，因此 (x, y) = (a, b) 和 O 之間的長度就是半徑 R。 [圖二] 然後在 (x, y)…… Continue reading 畢氏定理 X 圓 X 三角學
加菲證明畢氏定理
我又做標題黨了，這個加菲並不是加菲貓，而是美國第二十任總統占士．加菲 (James Abram Garfield)。 畢氏定理說，一個直角三角形中，直角 (即 90 度) 的兩條鄰邊長度各自二次方相加等於斜邊長度的二次方： [上圖應為「畢氏」，懶改，注意。謝 Alan Chiu 指正！] 加菲總統的證明很簡單，我們只需要知道幾件事實： 三角形內角總和是 180 度； 直線上的角度總和是 180 度； 三角形、正方形、梯形面積計算方法。 以上事實的證明十分簡單，就留給有興趣的讀者自行證明吧！事不宣遲，我們來證明畢氏定理吧： 我們首先沿 a 邊向上畫多一個一樣的直角三角形，不過這次把它順時針轉 90 度來畫。最後，我們好像下圖中把右上角和右下角的兩點連起來，得到了一個梯形： 現在，我們問，圖中叫做 x 的角度是多少？給大家一分鐘。 答案是 90 度，即是一個直角。為什麼？如果叫 c 邊與 b 邊的夾角做 y，那麼 c 邊與 a 邊的夾角就是 90 度 – y，因為三角形內角總和是 180 度。接著，看看左邊垂直的 (a + b) 邊，因為直線上的角度總和亦是 180 度，我們就有 所以，圖中打斜的是一個等腰直角三角形，兩條邊長是 c。換句話說，這個三角形的面積就是一個邊長為 c 的正方的一半。…… Continue reading 加菲證明畢氏定理
余海峯 David | 物理喵 phycat 