Pi 是永恆 (二)

上回我說亞視永恆。但我錯了,亞視已執粒。不過圓周率 $latex \pi$ 卻是真的永恆,不會錯。 今次我們來看看,在公元前兩百多年,阿基米德 (Archimedes) 是如何計算 $latex \pi$。阿基米德用的方法叫做窮盡法 (method of exhaustion),但我喜歡叫它做三文治方法。以下就讓我們試試把 $latex \pi$ 像夾三文治般夾出來。 首先,想像有一個半徑為 $latex R$ 的圓形,在圖的內外各畫一個緊貼著的正方形。由下圖中可以看出,外面較大的正方形邊長為 $latex 2R$、裡面較小的正方形對角線就是圓形的直徑,長為 $latex 2R$。 我們想要知道圓周,那就可以計算 $latex \pi = C/(2R)$ = (圓周/直徑) 了。由上圖可知圓周 $latex C$ 比內正方形週界 $latex p$ 長、比外正方形週界 $latex P$ 短。因此 $latex p \le C \le P$。 那麼,$latex p$ 和 $latex P$ 分別有多長?在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》文中我們學會了用三角函數去表示三角形邊長之比。看上圖可知 $latex b…… Continue reading Pi 是永恆 (二)

Pi 是永恆 (一)

亞視永恆。但有些東西可以比亞視更永恆。 我們都學過圓周率,而且我們都知道圓周率的名字叫做 $latex \pi$。在學校裡,我們必定學過一條公式,就是如何用一個圓形的半徑去計算它的周長,即是圓周: $latex C=2\pi R$。 上式告訴我們「圓周 $latex C$ 除以兩倍半徑 (即直徑) $latex 2R$ 等於 $latex \pi$」,大概就是我們對 $latex \pi$ 的第一個印象吧!我們在學校也學過,上式中的 $latex \pi$ 是一個常數。換句話說,無論一個圓形有多大,它的圓周 $latex C$ 和直徑 $latex 2R$ 之間的比例都是不變的。 有史記載第一個證明 $latex \pi$ 是常數的人,有說是阿基米德。他使用極限 (limit) 的數學概念,以逼近法把 $latex \pi$ 好像夾三文治一樣夾出來!從而證明它是一個常數,計算出 $latex \pi$ 在 3.1408 和 3.1429 之間,準確至兩個小數位。事實上,$latex \pi$ 是無窮無盡的,即是它擁有無限個小數位,怎樣計也永遠計不完。現代的超級電腦,可以把 $latex \pi$ 計算至萬億個小數位。可是,萬億個小數位距離無限,仍然是無限遠。 我們知道這些都是事實。可是,我們又有沒有想過,為。什。麼? 在這一連幾篇文章中,我會用兩個不同的方法去證明 $latex \pi$ 是一個常數,即是證明所有圓形的圓周率都是一樣的。換句話說,我們會證明所有圓形的圓周與直徑的比例都是一樣的。然後我會介紹其他與圓形和…… Continue reading Pi 是永恆 (一)