Tag: cosine

上回介紹了三角學的基本函數 sine 和 cosine 與圓形的關係。在下回介紹圓周率 $latex \pi$ 之前，有一項非常重要的結果必須首先介紹。 對於一條任意畫的線，只要它是可以一筆過不斷開地畫出來和沒有尖角的 (嚴謹的數學概念叫連續的和可微分的)，那麼我們就可以定義一個叫做斜率的東西： 換句話說，斜率就是描述該線段相對於橫軸的斜度而已，即是講一道斜坡相對於平地有多斜。從上式定義之中，可見斜率以小數或分數來表示的。日常生活中，通常我們都習慣用角度表示斜率，不過這對我們的討論沒有影響。 數學中一個非常重要的技巧就是微積分 (calculus)。微積分是牛頓 (Isaac Newton) 和萊布尼茲 (Gottfried Leibniz) 在同一時期分別獨自發現的。現在我們用的微積分符號是萊布尼茲的版本。如果沒有微積分，今天我們日常生活中各式各樣便利的現代發明都不可能存在。微積分可說是人類史上最重要的數學發現。 故名思義，微積分就是微分和積分的運算。在我們的討論裡不會用到微積分的運算，大家只需要記住：微分就是計算無限短的線段的斜率的方法。至於積分我們會在以後再講。 在上回圖中，我們知道了 sine 和 cosine 函數的圖形。現在我們問，它們的斜率是多少？換句話說，我們問： 有學習過微分運算的讀者，必定能夠立即說出答案： 上式中我們使用了 $latex \textrm{d}$ 代替 $latex \Delta$，以表示無限小的改變。這只是數學慣用符號而已，只要我們記得現在所做的一切都是在趨向無限短的線段上做的，那麼兩個符號在概念上就是一樣的。 現在，讓我們來試試不使用微分運算去找出 sine 和 cosine 的斜率吧！首先考慮上圖。圖中有一半徑為 $latex R$ 的圓形，圓心為 O 點。把 $latex R$ 從水平逆時針畫出一角度 $latex \theta$，連起 O 點和 A 點。再繼續逆時針畫出一細小角度 $latex \Delta\theta$，連起 O 點和 B 點。所以…… Continue reading 三角 X 斜率 X 微積分