【2020 諾貝爾物理學獎】廣義相對論與宇宙最黑暗秘密

諾貝爾獎有三個科學奬項,我們在學校也習慣以「物理、化學、生物」等不同科目去區分不同科學領域。這種分界當然能夠方便我們以不同角度去理解各種自然現象,但大自然其實是不分科目的。科學最有趣的是各種自然現象環環相扣,我們不可能只改變大自然的某一個現象而不影響其他。就好像蝴蝶效應,牽一髮而動全身。

廣義相對論間接推論暗物質存在的必要

廣義相對論是目前最先進的重力理論,它能夠解釋迄今為止所有實驗和觀測數據。然而,天文學家發現銀河系的轉速和可觀測宇宙的物質分佈,都顯示需要比觀測到的物質更加多的質量。這是物理學的其中一個未解之謎,有時會被稱為「消失的質量」問題。那些「應該在而卻看不到」的物質,就叫做暗物質(dark matter)。

有些物理學家猜測,會否根本沒有暗物質,而是廣義相對論需要被修改呢?他們研究「修正重力(modified gravity)」理論,希望藉由修正廣義相對論去解釋這些觀察結果,無需引入暗物質這個額外假設。可是從來沒有修正重力理論能媲美廣義相對論,完美地描述宇宙一切大尺度現象。

天文學研究向來難以得到諾貝爾獎,因為天文發現往往缺乏短期實際應用。然而過去十年之間,有關天文發現的研究卻得到了五個諾貝爾物理學獎。換言之,過去幾十年間改變人類對宇宙的基本認知的,有一半是來自於天文現象。其中有關廣義相對論的包括2017年的重力波觀測、2019年的宇宙學研究,以及2020年的黑洞研究。

不過很少人提及這三個關於廣義相對論的發現其實同時令暗物質的存在更加可信。因為這些發現測量得越精確,就代表廣義相對論的錯誤空間更小。換句話說,物理學家越來越難以靠修正重力去解釋「消失的質量」問題,所以暗物質的存在就越來越有其必要了。

換句話說,如果證明黑洞存在,其對科學的影響並不單止是為愛因斯坦的功績錦上添花,而是能夠加深人類對構成宇宙的物質的理解。

描述四維時空的圖

卡爾・薩根(Carl Sagan)講解二、三、四維空間。

談黑洞之前,我們首先要理解一下,物理學家是如何研究時空的。研究時空的一種方法,就是利用所謂的時空圖(spacetime diagram)。一般描述幾何空間的圖,在直軸和橫軸分別表示長和闊,形成一個二維平面。有時更可按需要加多一條垂直於平面的軸,代表高度。長、闊、高,構成三維空間。但如果要再加上時間呢?那麼就再在垂直於長、闊、高的第四個方向畫一條軸吧。咦?

怎麼了,找不到第四個方向嗎?這是當然的,因為我們都是被囚禁在三維空間之中的生物。如果有生活在四維空間裡的生物,牠們會覺得我們很愚蠢,問我們:「為什麼不『抬頭』?第四個方向不就在這邊嗎?」就像我們看著平面國的居民一樣,在二維生物眼中,牠們的世界只有前後左右,沒有上下。到訪平面國的我們也會問:「為什麼不『抬頭』?第三個方向不就在這邊嗎?」但牠們無論如何也做不到。

宇宙是三維空間,另外加上時間。如果要加上時間軸這個「第四維」的話,我們就必須犧牲空間維度。物理學家使用的時空圖就是個三維空間,直軸代表時間(時間軸)、兩條水平的橫軸代表空間(空間軸)。當然,把本來的三維空間放在二維的平面上,我們需要一些想像力。在時空圖上,每個點都代表在某時某地發生的一件事件(event),因此我們可以利用時空圖看出事件之間因果關係。一個人在時空中活動的軌跡,在時空圖上稱為世界線(world line)。

時空圖上的光錐。(Credit: H2NCH2COOH/Wikimedia Commons)

由於時間軸是垂直的,並且從時空圖的「下」向「上」流動。一個站在原地位置不變的人的世界線會是平行時間軸的直線。由於光線永遠以光速前進,光線的世界線會是一條斜線。而只要適當地選擇時間軸和空間軸的單位,光線的世界線就會是45度的斜線。因為沒有東西能跑得比光快,一個人未來可以發生的事件永遠被限制在「上」的那個由無數條45度的斜線構成的圓錐體之間,而從前發生可以影響現在的所有事件則永遠在「下」的圓錐體之間。這兩個「上」和「下」的圓錐體內的區域稱為那個人當刻的光錐(light cone),而物理學家則習慣以「未來光錐(future light cone)和「過去光錐(past light cone)」分別表示之。

所有東西的世界線都必定位於未來和過去光錐之內。在沒有加速度的情況下,所有世界線都會是直線。如果涉及加速,世界線就會是曲線。而廣義相對論的核心概念,就是重力與加速度相等,兩者是同一種東西。因此我們就知道如果在時空圖上放一個質量很大的東西,例如黑洞,那麼附近的世界線就會被扭曲。不單是物質所經歷的事件,連時空也會被重力場扭曲,因此時空圖上的格網線和光錐都會被扭曲往黑洞的方向。換句話說,越接近黑洞,你的越大部分光錐就會指向黑洞內部。因為你的世界線必須在光錐之內,你會剩下越來越小的可能逃離黑洞的吸引。

2020年的諾貝爾物理學獎一半頒給了彭羅斯(Roger Penrose),以表揚他「發現黑洞形成是廣義相對論的嚴謹預測」。在彭羅斯之前的研究,大都對黑洞的特性作出了一些假設,例如球狀對稱。這是因為以往未有電腦能讓物理學家模擬黑洞,只能用人手推導方程。但廣義相對論是非線性偏微分方程,就算不是完全沒有可能也是極端難解開的,所以物理學家只能靠引入對稱和其他假設去簡化方程。因此許多廣義相對論的解都是帶有對稱假設的。這就使包括愛因斯坦在內的許多物理學家疑惑,會不會是因為額外加入的對稱假設才使黑洞出現?在現實中並沒有完美的對稱,會不會就防止了黑洞的出現?

黑洞只是數學上的副產品嗎?

在一般的時空圖中,光錐會被重力扭曲;黑洞內的時間和空間會互換角色。(Credit: Johan Jarnestad/瑞典皇家科學院)

彭羅斯發現普通的高等數學並不足以解開廣義相對論的方程,因此他就轉向拓撲學(topology),而且必須自己發明新的數學方法。拓撲學是數學其中一個比較抽象的分支,簡單來說就是研究各種形狀的特性的學問。1963年,他利用一種叫做共形變換或保角變換(conformal transformation)的技巧,把原本無限大的時空圖(因為空間和時間都是無限延伸的)化約成一幅有限大小的時空圖,稱為彭羅斯圖(Penrose diagram)。

彭羅斯圖的好處除了是把無限縮為有限,還有另一個更重要的原因:故名思義,經過保角變換後的角度都不會改變。其實在日常生活中,我們經常都會把圖變換為另一種表達方式,例如世界地圖。由於地球表面是彎曲的,如果要把地圖畫在平面的紙上,就必須利用類似的數學變換。例如我們常見的長方形或橢圓形世界地圖,就是利用不同的變換從球面變換成平面。有些變換並不會保持角度不變,例如在飛機裡看到的那種世界地圖,在球面上的「直線」會變成了平面上的「曲線」。

扯遠了。回來談彭羅斯圖,為什麼他想要保持角度不變?因為這樣的話,光錐的方向就會永遠不變,我們可以直接看出被重力影響的事件的過去與未來。彭羅斯也用數學證明,即使缺乏對稱性,黑洞也的確會形成。他更發現在黑洞裡,一個有著無限密度的點——奇點(singularity)——必然會形成。這其實就是彭羅斯-霍金奇點定理(Penrose-Hawking singularity theorem),如果霍金仍然在世,他亦應該會共同獲得2020年諾貝爾物理學獎。

在奇點處,所有已知物理學定律都會崩潰。因此,很多物理學家都認為奇點是不可能存在宇宙中的,但彭羅斯的計算卻表明奇點不但可以存在,而且還必定存在,只是在黑洞的內部罷了。如果黑洞會旋轉的話(絕大部分都會),裡面存在的更不會是奇點,而是一個圈——奇異圈(singularity ring)。

黑洞的表面拯救了懼怕奇點的物理學家。黑洞的表面稱為事件視界(event horizon),在事件視界之內,你必須跑得比光線更快才能回到事件視界之外。因此沒有任何物質能夠回到黑洞外面,所以黑洞裡面發生什麼事,我們都無從得知。就是這個原因給予了科幻電影如《星際啟示錄(Interstellar)》創作的空間——在黑洞裡面,編劇、導演和演員都可以天馬行空。只要奇點永遠被事件視界包圍,大部分科學家就無需費心去擔心物理學可能會分崩離析了。甚至有些科學家主張,研究黑洞的內部並不是科學。

雖然如此,卻沒有阻礙彭羅斯、霍金等當代理論天體物理學家,利用與當年愛因斯坦所用一樣的工具——紙和筆——去研究黑裡面發生的事情。雖然或許我們永遠無法證實,但他們的研究結果絕非無中生有,而是根據當代已知物理定律的猜測,即英文中所謂educated guess。利用彭羅斯圖,我們發現不單奇點必定存在,而且在黑洞裡面,時間和空間會互相角色。

但這是什麼意思?數學上,時間和空間好像沒有分別,但在物理上兩者分別明顯:在空間中我們可以自由穿梭,但在時間裡我們卻只能順流前進。彭羅斯發現,帶領掉入黑洞的可憐蟲撞上奇點的並非空間,而是時間,因此我們也說奇點是時間的終點。亦因為在黑洞裡面掉落的方向是時間,向後回頭是不可能的,所以一旦落入黑洞,就只能走向時空的終結。

看見黑洞旁的恆星亂舞

環繞銀河系中心無線電波源人馬座A*公轉的恆星S2的完整軌跡觀測結果。(Credit: Johan Jarnestad/瑞典皇家科學院)

另一半諾貝爾獎由Reinhard Genzel和Andreas Ghez平分,以表揚他們「發現銀河系中心的超大質量緻密天體」。銀河系中心的確有一個超大質量的物體,而且每個星系中心都有一個。這些質量極大的物體,就是所謂的超大質量黑洞(supermassive blackholes)。

上世紀50年代開始,天文學家陸續發現了許多會釋放出無線電輻射的天體,稱為類星體(quasars)。之後其中一個類星體3C273被觀測確認是銀河系外的星系中心。根據計算,3C273釋放出的無線電能量是銀河系中所有恆星的100倍。起初,天文學家認為這些能夠釋放巨大能量的類星體,必然是些比太陽重百萬倍的恆星。但是理論計算結果卻表明,這麼重的恆星會是極不穩定的,而且壽命會非常短,因此類星體不可能是恆星。

為什麼這些類星體不可能是恆星?因為恆星的發光度是有極限的,而且正比於恆星的質量。這個極限稱為愛丁頓極限(Eddington limit)。如果恆星的發光度超出愛丁頓極限,光壓(radiation pressure,即光子對物質所施的壓力)就會超過恆星自身的重力,恆星就會變得不穩定。因此,天文學家逐漸改而相信類星體是位於星系中心的超大質量黑洞。這也令類星體多了一個名字:活躍星系核(active galactic nucleus)。

每個黑洞旁邊都有一個最內穩定圓形軌道(innermost stable circular orbit),依據黑洞會否旋轉而定,大概是黑洞半徑的3-4.5倍。比最內穩定圓形軌道更接近黑洞的範圍,環繞黑洞運行的物質都會因不穩定的軌道而墜落黑洞之中,並在墜落的過程中釋放出6-42%的能量,因此可以解釋活躍星系核的強大發光度。

另一方面,彭羅斯在1969年亦發現一個旋轉的黑洞能夠把能量轉給物質,並且把物質拋出去,這個過程稱為彭羅斯過程(Penrose process)。換言之,從黑洞「偷取」能量是有可能的。科學家估計,科技非常先進的外星文明有可能居住於黑洞附近,並利用彭羅斯過程從黑洞提取免費的能源。這個過程亦進一步支持超大質量黑洞能夠釋放巨大能量的理論。

由於E=mc^2,能量即是質量,因此被偷取能量的黑洞的質量就會減少。霍金在1972年發現一個不會旋轉的黑洞的表面積不可能減少。黑洞質量越大,其表面積就越大,因此不會旋轉的黑洞不會有彭羅斯過程。他亦發現,如果是個會旋轉的黑洞,其表面積是有可能減少的。因此霍金的結論支持了彭羅斯的理論。

Genzel和Ghez兩人的研究團隊已經分別利用位於智利的歐洲南方天文台(European Southern Observatory)的望遠鏡和位於夏威夷的凱克望遠鏡(Keck Telescope)監察了距離地球約25,000光年的銀河系中心區域將近30年之久。他們發現有很多移動速度非常快的恆星,正在環繞一個不發光的物體轉動。這個不發光的物體被稱為人馬座A*(Sagittarius A*,縮寫為Sgr A*)。Sgr A*會放出強大的無線電波,這點與活躍星系核的情況相似。

他們不單確認了這些恆星的公轉速率與Sgr A*的距離的開方成反比,Genzel的團隊更成功追蹤了一顆記號為S2的恆星的完整軌跡。這兩個結果都表明,Sgr A*必然是一個非常細小但質量達400萬倍太陽質量的緻密天體。這樣極端的天體只有一種可能性:超大質量黑洞。

霍金輻射 黑洞的未解之謎

諾貝爾物理學委員會在解釋科學背景的文件中亦特別提及霍金的黑洞蒸發理論以及霍金輻射(Hawking radiation)。現時仍然未能探測到霍金輻射的存在,未來若成功的話除了將再一次驗證廣義相對論以外,更會對建立量子重力理論(quantum gravity theory)大有幫助。就讓我們拭目以待吧!

重力波研究、宇宙學研究、黑洞研究,都是直接檢驗廣義相對論預言的方法。加上2019年4月10日公布的黑洞照片,大自然每一次都偏心愛因斯坦。相信愛因斯坦在天上又會伸出舌頭,調皮地說:「我早就知道了!」

延伸資料:

2020年諾貝爾物理學奬官方網頁

用微中子在晚間觀察太陽

大家都肯定知道只有在日間才會看到太陽,因為「看到太陽」就是「日間」的定義。在晚間,太陽落到地平線以下(或者準確一點地說,是地球自轉把我們帶到背向太陽的方向),所以我們就看不見太陽了。儘管偉大的北韓已經登陸過太陽,還是讓我寫寫如何在晚間「看」太陽吧!

充斥宇宙的鬼魅

只不過,這並不只適用於可見光的光線。基本上,所有粒子以及所有頻率的光線,從無線電、微波、紅外線、可見光、紫外線、X光到伽瑪射線,都不能穿透地球的地殼。然而,宇宙之間有一種粒子例外,能夠穿透整個地球而絲毫不受影響,那就是微中子(neutrino)了。其他粒子以及光線都不能穿透地球的原因,在於它們會與地球物質碰撞或者被物質裡的電子吸收。例如,帶電粒子和光線都會進行電磁交互作用。而微中子卻不會與任何物質進行電磁交互作用(微中子不帶電),他們只會與電子之類所謂的輕子進行弱交互作用。這種弱交互作用十分罕見,但卻是主宰放射性核衰變的力量。因此,對於微中子來說,地球根本就如同透明一樣。事實上,微中子可以穿透一塊厚度達一光年的鉛板而不會與任何粒子碰撞!

太陽亦會產生微中子,而每秒鐘都有多達600,000,000,000,000顆來自太陽的微中子穿透我們的身體!不過,並不只有太陽才會產生微中子。理論上,宇宙間非常多物理過程都會產生這種鬼魅一般的粒子,例如在能量極高的恆星爆炸之中(例如超新星爆發或伽瑪射線暴);或者來自釋放出巨大能量的星系中心的超高質量黑洞;也有來自宇宙大爆炸所產生的微中子充斥於宇宙之間,只不過因為它們的能量太低,以現在人類的科技根本不可能探測得到;另外,人類所建造的核反應堆也會產生微中子。

守「水」待「ν」

我們會問:那麼天文學家是如何觀測到微中子的?既然連整個地球也阻擋不到它們,何況區區一支望遠鏡?關鍵就在於望遠鏡有多大,以及觀察的時間長短。雖然每顆微中子都非常難以捕捉,但有這麼多微中子的話,只要把微中子望遠鏡造得非常巨大,假以時日,總會有一兩顆微中子落入陷阱裡的。天文學家於是就建造了幾個非常巨大的微中子望遠鏡,採取守株待兔的策略。或者,應該叫做守「水」待「ν」(希臘字母ν是代表微中子的物理學符號)。為什麼呢?這個比喻跟探測微中子所使用的方法有關。一般來說,天文學家需要在地底深處建造一個非常巨大的水池,用以探測與水池中的水分子碰撞的微中子。

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冰立方南極微中子天文台結構圖,整個結構都位於南極冰層以下。留意圖中右下角與艾菲爾鐵塔尺寸比較。(Credit: IceCube Science Team – Francis Halzen, Department of Physics, University of Wisconsin)

其中一個比較著名的微中子望遠鏡位於南極冰層之下,稱為冰立方南極微中子天文台(IceCube South Pole Neutrino Observatory)。如果幸運地(對微中子來說或許是不幸? )一顆微中子與冰分子碰撞,就會產生電子和渺子(即前述的輕子)。因為光在介質之中速度會減慢,這些輕子在水或者冰之中的速度就會比光更快。當物質在介質之中的速度比在介質中傳播的波動速度更快,就會產生衝擊波(最常見的例子就是船隻在水面激盪起的V字型波浪)。當粒子跑得比光更快時所產生的衝擊波就叫做切倫科夫輻射(Cherenkov radiation)。整個冰立方南極微中子天文台其實就是數千個分布於範圍超過一立方公里的光電倍增管,用來探測切倫科夫輻射。所以,倚靠探測這些切倫科夫輻射,天文學家就能進行反向計算,推測出微中子來自宇宙中哪個方向了。

很久以來,天文學家都只能確認一些來自太陽以及超新星1987A的微中子。這是因為微中子碰撞事件十分罕有,通常每次只有一顆微中子被觀察得到,所以微中子源的位置的誤差就非常大。往往在誤差範圍之中有非常多可能產生微中子的天體,因此很難查明哪一個天體才是真正的源頭。最近,冰立方南極微中子天文台終於證實其中一顆微中子來自於3,700,000,000光年以外的一個活躍星系核TXS0506+056。宇宙十分巨大,相對於TXS0506+056,我們與太陽甚至超新星1987A的距離簡直微不足道。這次探測意義重大,代表了微中子天文學正漸漸發展,能夠與傳統電磁輻射天文學一同探測宇宙中極其遙遠的天體。

找太陽嗎?看看你的腳下!

說到這裏,還未解釋如何能夠在晚間觀察太陽呢。大家有沒有想過,為什麼這些微中子望遠鏡要在地底建造呢?其實並非只有微中子,來自大氣層上方的宇宙射線裏面的各種粒子亦會產生切倫科夫輻射,因此放在地底的原因就是要隔絕這些雜訊。且慢,別誤會,我們想要隔絕的雜訊並非來自頭頂上方,而是想要隔絕來自腳下地球另一邊的雜訊!如果電腦分析顯示一個信號來自南極大氣層上方,那麼不管這個訊號是否來自微中子,都一律會被當成雜訊,因為要把來自這個方向的粒子分類是極其困難的。因此,建造於南極的微中子天文台,只有來自腳下的北半球上方的訊號,才是天文學家們分析的對象,所以我們就可以利用微中子望遠鏡來於晚間觀察太陽了。

微中子望遠鏡可是比超人的透視眼厲害不知道多少倍的啊!

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冰立方南極微中子天文台地面上的資料分析站,也是天文學家的居所。地下的顏色顯示許多光電倍增管探測到一顆來自TXS0506+056的微中子所放出的切倫科夫輻射。這顆能量約為290兆電子伏特的微中子在2017年9月22號穿過地球,碰巧撞上南極冰層裡面其中一個冰分子。(Credit: IceCube South Pole Neutrino Observatory)

封面圖片:畫家筆下一顆微中子與冰分子碰撞,產生藍色的切倫科夫輻射。(Credit: IceCube South Pole Neutrino Observatory)

延伸閱讀:

IceCube South Pole Neutrino Observatory

立場報導《南極地底探測儀 錄得 37 億光年黑洞微中子訊號

玻璃中的天文物理:約瑟.馮.夫琅和費(Joseph von Fraunhofer)

宇宙間一切物質,包括天上都星辰和地球上的生命,都是由同樣的原子所構成。原子的數量非常、非常多,我們每呼吸一口氣,就有比可見宇宙裡所有恆星的數量更多的原子進入我們的身體。原子有不同種類,構成地球上一切生命的主要原子是碳、氧、氫、氮等等,而構成恆星的也差不多都是這幾種原子,只不過各種原子數量的比例跟人體不大相同而已。

牛頓使我們知道,宇宙間一切都遵守相同的物理定律。可是,同時代的人卻不知道天上的恆星是否也由同樣的物質所構成。不,在二十世紀以前,原子亦並未被證實存在。天文學剛與迷信占星分道揚鑣,利用星光研究天體的運行秩序,而物理學則剛被伽利略和牛頓等人發明,利用物理定律研究地球上的現象。那麼,天上的現象呢?

牛頓死後60年,約瑟.馮.夫琅和費在巴伐利亞慕尼黑附近的斯特勞賓(Straubing)出生。由於父母雙亡,他在11歲時就要到慕尼黑的一間玻璃工廠工作。工廠的老闆非常刻薄,更不准他上學,而他只能住在老闆家中。不幸地,或者應該說幸運地,這房子在夫琅和費14歲時的一個晚上倒塌了,夫琅和費被困於瓦礫之中。當時的巴伐利亞候選帝馬克西米利安一世(Maximilian I)帶領營教,把夫琅和費教了出來。

馬克西米利安買書給夫琅和費,並派人協助他的一切所需。馬克西米利安的介入使工廠老闆不得不讓夫琅和費上學。後來,夫琅和費成為了出色的光學物理學家,他製造的玻璃鏡片品質在當年使巴伐利亞領先全世界,已經成為巴伐利亞國王的馬克西米利安一世繼續支持夫琅和費的研究,更把他的玻璃鏡片製造技術列為國家機密。

1814年,夫琅和費把棱鏡放在望遠鏡前面觀察太陽(這是相當危險的,讀者千萬不要模仿),這就是世上第一台光譜儀。白色光線穿過棱鏡分成彩色光譜,是牛頓當年的發現。夫琅和費更進一步,他透過光譜儀觀看太陽光譜,發現裡面有很多黑色的線。換句話說,太陽光譜並不是連續的,而是有著許多「空隙」。太陽光譜中的這些黑線,被稱為夫琅和費線。

夫琅和費亦發現,在火焰發出來的光之中也可以看見黑線。他繼續研究,發現其他恆星的光譜裡亦含有黑線,但黑線的位置各不相同。因此,他認為黑線並非地球大氣的影響,而是來自恆星本身。天上的物質,原來與地球上的物質一樣。

夫琅和費是首個發現和研究恆星光譜的人。今天,研究恆星光譜並應用物理定律去解釋天體構造的學科,就是天體物理學。夫琅和費結合天文與物理,創造了天體物理學這門新學問。可是,夫琅和費並不能解釋這些黑線的成因,要一直到19世紀中期,科學家才發現黑線是原子的吸收光譜。原子中的電子會吸收特定頻率的光線,由於不同原子的電子結構都不同,所以如果各恆星中蘊含的元素有所分別,它們的吸收光譜也就彼此相異了。

夫琅和費因早年在玻璃工廠惡劣環境下工作而導致重金屬中毒,於1826年病逝,年僅39歲。如果夫琅和費沒有在玻璃工廠工作,會不會有更多發現?或許,那樣他就不會得到馬克西米利安的協助,利用玻璃鏡片發現天文和物理的關聯?

封面圖片:夫琅和費展示他的光譜儀。(Richard Wimmer “Essays in Astronomy”)

《復仇者聯盟3:無限之戰》中最強的是雷神索爾?(不戴手套的話)

此文章為我的泛科專欄《動漫物理學》文章,原文於 2018 年 5 月 8 日刊於泛科學

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如果你已看過《復仇者聯盟3:無限之戰》,想必已經知道⋯⋯

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好了,如果你還未看過,請馬上點擊「上一頁」。

電影中,身為奧丁之子的雷神索爾為了打敗薩諾斯(Thanos,也譯為滅霸、魁隆)為眾人復仇,與銀河守護隊的火箭浣熊和格魯特來到尼德威阿爾(Niðavellir)找矮人鐵匠幫忙鑄造新的雷神之鎚「風暴毀滅者(Stormbreaker)」。

根據威漫官方資料,舊的雷神之鎚「妙爾妮爾(Mjölnir)」是由「Uru金屬」鑄造的。天體物理學家尼爾.德格拉斯.泰森(Neil deGrasse Tyson)猜測Uru金屬可能是中子星的核心物質,即超導超流簡併態,不過後來一位北歐神話教授指出這是錯誤的猜測。(順帶一提有趣的是,泰森曾在DC超人電影中飾演他自己XD)

然而,尼德威阿爾上的矮人幫忙薩諾斯鑄造無限手套之後,就被全部殺害,剩下的一人也被奪去雙手,只能以金屬義肢代替,失去了鑄造武器的能力。這個工廠以一顆「垂死的恆星」作為能量來源,可是工廠已停止運作,而失去雙手的矮人亦無法修理。索爾必須修好工廠,並協助矮人鑄造出風暴毀滅者。

雖然這些劇情好像很公式化,但也正好令我們能試試估計一下察索爾的力量到底(至少)有多強!

官方並沒有解釋「垂死的恆星」到底是指什麼,不過從覆蓋著恆星的工廠大小,我們可以假設這是一顆中子星。中子星是恆星演化的其中一個終點。高質量恆星的核心形成鐵元素時,會失去抵抗重力的氣體和輻射壓力,恆星外殻就會坍縮,與密度極高的核心碰撞反彈,在幾秒鐘內釋放出比整個銀河系所有恆星更多的輻射。這個過程就是超新星爆發。

超新星爆發後,恆星大部分質量都會被拋到宇宙深處,成為孕育下一代恆星、行星,甚至生命的星塵。剩下來的核心有可能變成中子星,直徑通常只有約20公里,大概一個紐約市的大小,可是質量卻相當於一兩個太陽。由於中子星密度極高,它的表面溫度也非常高,大約為60萬度。

密度高也就代表重力強。從電影中估計,索爾打開覆蓋中子星的閘門時,離開中子星的距離頂多只有幾百米。假設該中子星與我們的太陽一樣重,並且半徑為10公里,那麼在其表面100米高的距離,重力就是地球表面的1千3百億倍!能夠在1千億倍的重力下徒手打開能抵受中子星重力的巨大閘門,索爾的力量已經不是任何生物能夠比較的吧!

「最強復仇者」明顯是索爾啊,東尼.史塔克!

我們知道一個物體所輻射出的光譜與其表面溫度有關,這就是馬克斯.普朗克(Max Planck)在1900年發現的黑體輻射定律(Blackbody Radiation Law)。例如我們都知道在煮食時,溫度較高的火的顏色偏藍,較低溫的火則偏紅,因為黑體輻射光譜的峰值會隨溫度移向偏藍、較高能量的光。又例如我們的太陽表面溫度約為6千度,其黑體輻射光譜峰值位於綠色可見光。

  • 一個小小的測驗題:既然太陽光譜峰值在綠色,為什麼我們見到的太陽是橙紅色的?

表面溫度為60萬度的中子星,其黑體輻射光譜峰值已遠遠超出可見光範圍,位於X射線的波段之內。因此,中子星釋放的能量,絕大部分是X射線。X射線能量非常高,是比紫外線更致癌的輻射。索爾是有帶特製的防曬油的吧?

利用斯特凡—波茲曼定律(Stefan-Boltzmann Law),我們可以計算出不同表面溫度的恆星釋放出的輻射功率。而根據計算,中子星表面的黑體輻射功率為每平方米7千萬億億億瓦!與之比較,地球每平方米接受太陽照射的功率只有,呃,1千多瓦……

  • 除了黑體輻射,其實中子星還有以其他方法產生的輻射,例如由極強磁場產生的同步輻射等,在此暫且不提。

就算不計其極強的重力,索爾能夠抵受7萬億億億倍的太陽光輻射而不被烤成一堆基本粒子,根本就已經是逆天強橫好不好!而且實際上,根據廣義相對論,中子星附近的時空會被扭曲至極端狀態,反方向輻射也會照到索爾身上,因此實際數字會比以上計算更多!

物理證明,最強復仇者雷神索爾,實至名歸!

人人都不能拿起雷神之鎚,因為它是來自中子星的超導材料!?

此文章為我的泛科專欄《動漫物理學》文章,原文於 2018 年 1 月 2 日刊於泛科學

根據北歐神話,雷神索爾(Thor)擁有一把名叫妙爾尼爾(Mjölnir,也稱雷神之鎚)的鎚子。在美國 Marvel 漫畫和電影之中,地球上只有索爾能夠拿起妙爾尼爾(不過後來各式各樣的人,像是幻視和美國隊長都可以拿起來或是讓他動一下。),並且能夠放出強勁的閃電攻擊。

古代神話當然沒有給予任何科學解釋。根據 Neil degrasse Tyson 的猜測,妙爾尼爾可能是以中子星的物質製成的。中子星究竟是什麼?為何能夠賦與妙爾尼爾這麼神奇的力量?

  • 編按:根據Marvel Comics的設定,妙爾尼爾是用「uru金屬」所製成、它是由鐵匠Etri用一顆垂死之星的中央所鍛造而成的。因此 Neil Tyson推測妙爾尼爾如果是用中子星物質所製成,它的重量的確重到「凡人」無法拿起啊。

那麼,神秘的中子星是怎麼誕生的呢?

創造妙爾尼爾的起源,是個關於恆星誕生和死亡的故事。很久很久以前,在非常廣大的宇宙空間裡面,有一片非常巨大的星際塵埃雲。這片星雲裡的物質來自宇宙大爆炸之後產生的原子,其中絕大部份都是氫。

星雲內某個區域氫原子比較密集,而這個區域的重力比較強;隨時間過去,區域附近的氫原子慢慢地互相越靠越近,逐漸形成一顆原恆星。最後,附近以光年計的氫原子都落入這個原恆星之中。原恆星越來越巨大、溫度與密度越來越高,直到有一刻,氫原子核因為互相太過靠近而熔合在一起成為氦原子核。核熔合會放出強烈的能量,恆星就這樣誕生了。

這顆恆星的質量是太陽的幾倍至幾十倍,經過幾千萬到幾億年,這顆巨大的恆星裡面的氦又會結合成碳、氧、矽等等比較重的原子。直到開始熔合成鐵之時,由於鐵不會再熔合,恆星逐漸失去核熔合放出的能量所造成的壓力。沒有壓力抵抗重力,恆星就會變得不穩定。最後,它的核熔合燃料會消耗坮盡,完全失去來自內部的壓力,開始向內坍縮。

當恆星外殼坍縮到撞上核心時,物質會被反彈開去。這次反彈非同小可,極大量物質以非常接近光速被拋向外太空。這就是威力大得足以使整個星系百億顆恆星的光統統比下去的爆炸——超新星爆發。

  • 超新星是某些恆星在演化接近末期時經歷的一種劇烈爆炸,而在這段藝術家製作的縮時影片中集合了許多遙遠的星系,偶爾可以看見超新星,而且每顆爆炸的恆星,其亮度都短暫的超越了其所在星系的亮度。

很多物質會被超新星爆發拋向外太空,在這過程中又會結合成更多比鐵更重的元素。被超新星爆發拋出的原子,就會成為下一代恆星和行星的原材料。構成我們的太陽系的物質都是來自於這樣的超新星殘骸。太陽系中所有行星、地球上所有物質、生物,都來自超新星爆發;所以,我們都是名符其實的宇宙星塵(超浪漫的啊)。

但妙爾尼爾也會讓地球變成中子星?!

恆星核心未必會被超新星爆發炸得完全粉碎。如果剩下的物質太多,沒有任何力量能夠抗衡重力坍縮,它就會變成黑洞,是通向時空終點的不歸路。然而,如果殘留下來的核心質量介乎約0.6至2倍大陽質量的話,原子核裡的質子就會和電子合併成為中子,中子與中子之間產生的壓力足夠抵抗重力坍縮。一顆中子星就此誕生了。

中子星非常細小,尺寸大約等於一個紐約市。想像把整個太陽塞進這麼細小的空間裡,就能夠大致想像中子星的密度有多高。在地球上,每茶匙物質只有幾克重;而在密度極高的中子星上,每茶匙物質卻可重達幾億公噸。

如果妙爾尼爾是由中子星物質所造成的話,地球上的人類沒有一個能拿得起,也是合情合理的。然而,妙爾尼爾明顯被輸入了超越現代科學所能理解的法術,否則妙爾尼爾應該會直接衝破地殼,沉到地球核心,更遑論索爾能把妙爾尼爾掛在牆上、放在桌上了。

這樣的話,地球上的一切物質亦會跟著坍縮落到由妙爾尼爾之上,變成一顆中子星。

妙爾尼爾其實是科學家夢寐以求的室溫超導體?!

普通物質在導電的時候,電子會在原子之間流動,過程中會因為有電阻而流失能量,如果沒有持續輸入能源,電流就會停止。上世紀以來,科學家陸續發現了很多物質在極低溫度下,其電阻值會變成零,稱之為超導體。超導體裡的電流能夠在不消耗能量的情況下流動,如果能夠找到在室溫中也能保持超導特性的物質,將是科學家和工程師夢寐以求的材料啊。

在中子星裡的中子,由於彼此非常靠近,就會出現一些量子力學效應。其中一個神奇的特性,就是中子會變成所謂的超流體,能夠自由地在中子星裡流動。中子星之中亦存在著一些未有變成中子的原子核,由於原子核裡的質子帶有電荷,中子星裡的物質其實是處於超流、超導狀態!

以中子星物質製成的妙爾尼爾,應該也有著超導特性吧。這也就能解釋為什麼索爾能夠使用妙爾尼爾放出強大的閃電,在電影《復仇者聯盟》中索爾曾用這一招消滅了不少來自外太空的侵略兵團。看來,雷神索爾的落雷攻擊比基路亞和比卡超的更強啊,不愧為北歐神話的戰神!不過,這麼厲害的武器,索爾應該不會把它交給科學家研究吧。

很可惜妙爾尼爾已經在《雷神索爾:諸神黃昏》之中被破壞了,不論是科學家和索爾都要好好繼續努力啊!

一些關於霍金的文字

霍金是繼愛因斯坦後,另一位名字深入大眾文化的物理學家。

霍金的宇宙誕生、時間開端理論,認為宇宙誕生一刻並非時間的「開端」。這理論聽起來非常奇怪難懂,而且似乎違反直覺。你會說:「宇宙」所指當然就是時間和空間,因此於宇宙誕生瞬間,時間當然才「開始」存在啦!故此,討論宇宙誕生「之前」發生了什麼事是沒有意義的,因為在那「時候」,連時間都尚未誕生。

大家可能會覺得很古怪,宇宙誕生一刻要是並非時間的開端,那麼時間的開端在哪𥚃?原來在霍金的理論中,時間並非只有一個「維度」;我們日常經歷的時間叫做「實時間」,但宇宙誕生「之前」的時間是「虛時間」。在這裡,「實」和「虛」是數學描述,是數學中的「實數」和「虛數」(即開方負一)的意思。

這個非常前衛的理論,引起了不少包括專業物理學家在內的人熱烈討論。當然,霍金的理論有堅實的數學支持。但是無論一個理論的數學構造如何合理、美麗、引人入勝,若然沒有實驗數據或觀測證據支持,就永遠不能證實。霍金的虛時間理論當然仍未有任何數據或觀測支持,因此物理學家和宇宙學家,仍只把它看待成一個不錯的、有可能是正確的、有待驗證的理論。

然而,霍金卻在他的暢銷科普書籍《時間簡史》中把虛時間概念寫得如像已經被證實了一樣,引起了不少物理學家的迴響。身為理論物理學家,霍金的工作就是要建構出一個合理的宇宙模型。可是,合理並不保證與現實相符。檢驗各種合理的宇宙模型,並不在霍金的工作範圍之內。因此,有人認為他此舉是誤導大眾,也有人認為他只是以理論物理學家的角度出發去做科普,無傷大雅。

我在大學物理系的一位老師就曾經說過,霍金寫的是科普「毒物」。這個評論或許有些太過重了,但卻不無道理。如果霍金寫的書籍首要對象是專業的物理學家,那並無不可。然而,更多讀者是業餘因興趣而讀霍金著作的,未必有足夠知識下判斷。更甚者,對於有意進入物理系、以研究為目標的學生們,更可能造成先入為主誤導的反效果,限制了他們的想像力。

那麼,究竟理論物理學家是否不應寫科普?我認為這並非職業問題、也不是內容的問題,而是在於表達方式。霍金的書籍,的確沒有明確表示哪些理論是已經證實的內容、哪些是未經證實的猜測。以我自己來說,最初讀《時間簡史》的時候,我亦曾誤會,以為所有內容在科學界都是已有共識的。當然,從著書的角度看,寫書推廣自己的理論亦為無可厚非。

霍金的另一個著名研究範疇,是黑洞。黑洞的愛因斯坦於 1915 年發表的廣義相對論的一個結論,質量極高的天體產生的重力強得光也無法脫離。一直以來,物理學家都認為在黑洞中心,時空會被重力扭曲至極致,成為一個密度無限大的點,稱為奇點。然而,由於光速是宇宙極速,沒有任何東西或資訊能夠從黑洞裡面跑出來,因此我們無從觀察黑洞裡面究竟是否如物理學家所預期的一樣。

霍金與彭羅斯關於黑洞奇點的數學研究,指出符合廣義相對論的宇宙模型之中,黑洞和宇宙誕生一刻都必定存在奇點。換句話說,虛時間亦可能在黑洞中心的奇點「之後」延續下去。關於虛時間的這些理論,以現時人類科技水平,根本沒有任何辦法檢驗這個理論。所以,很多物理學家對於霍金的奇點理論抱持懷疑態度。

然而,霍金研究黑洞的並非只有奇點。黑洞吸引大量物質,物理學家認為這些關於這些物質的資訊會永遠消失於我們的宇宙——黑洞的事件視界之外。霍金推導出了一道方程式,把黑洞的表面積與其「儲存」的資訊量——熵——拉上關係,資訊量越多,表面積就越大。物理學界被霍金這個發現震驚了,原來黑洞裡的資訊狀態竟能以某種方式表現在黑洞表面之上!對比起霍金關於奇點的理論,這個黑洞熵理論並沒有涉及無限大。雖然這個理論仍未被天文觀測所證實,物理學界普遍接受這個理論。

量子力學和廣義相對論是現代物理學的兩大支柱,可是兩者卻水火不容。量子力學以機率描述微觀粒子世界,廣義相對論以絕對的因果關係描述巨觀的宇宙結構。若要數霍金最了不起的成就,就是他在黑洞表面的時空結合兩者,發現了所謂的霍金輻射。霍已輻射理論指出,黑洞會不斷放出粒子,而這些粒子竟然帶有過往被黑洞吞噬的資訊!黑洞的熵因而下跌,因此黑洞的表面積,即黑洞的尺寸亦同昨會縮小。霍金更計算出霍金輻射的速率,發現黑洞尺寸越小,霍金輻射速率就越高。因此,黑洞非但會「蒸發」,而且這個過程會隨黑洞越縮越小而變得越來越快。

天文學家一直希望直接觀察黑洞,以證實(或證偽)這個霍金輻射理論。這亦是霍金一生發表過的眾多理論之中,最有望被現代科學家檢驗的一個。很多理論物理學家更在接受了霍金輻射存在的前提下,繼續這個研究方向。最近研究方向普遍認為,如果霍金輻射的確存在,那麼黑洞表面就會形成一道由極高能量粒子構成的「火牆」,沒有任何物件能安然無恙地跨越黑洞的事件視界,顛覆了物理學界一直以來對黑洞的認識。霍金輻射告訴我們:黑洞並不黑!

霍金過世,很多人(包括科學家在內)都為霍金未能親眼目睹霍金輻射被天文觀測所證實而感到惋惜。霍金的理論物理研究雖然未有為他贏得諾貝爾獎,然而很多現代物理學理論都是建築在他的研究之上,就好像那個黑洞火牆理論一樣。就如同愛因斯坦沒有因相對論獲獎、卻造就了往後眾多研究者因他的相對論而得到這科學桂冠一般,不難想像,往後想必亦會有研究者因證實霍金某理論而獲獎。

牛頓:「如果說我看得比較遠,那是因為我站在巨人肩膀上。」對比他的身驅,這或許是對霍金的科學貢獻和意志的最高稱頌。

超越肉體、黑洞和時間:霍金(Stephen Hawking)

此文章為立場邀稿,原文於 2018 年 3 月 16 日刊於立場科哲

3 月 14 號,我們可能會想到白色情人節、圓周率日,甚至你可能知道這是愛因斯坦的生日。但由 2018 年起,這一天將加上另一個意義。3 月 14 號將永遠成為我們悼念現代宇宙學、理論物理學大師史提芬.霍金(Stephen Hawking)的日子。

1942 年出生的霍金,患有俗稱「漸凍人症」的肌肉萎縮性脊髓側索硬化症。他在 21 歲時被診斷患上此症,醫生說他只有兩年壽命。最終,他多活了 55 年,為世界帶來極度豐碩的研究成果。他的一生除了專注理論物理研究外,更不遺餘力參與科學普及,成功把理論物理學和宇宙學帶入普羅大眾家中。

霍金相信人死後就如電腦關機一樣,什麼也沒有。不過,且讓我們想像,他已經脫離了身體和萬有引力的枷鎖,飛向了宇宙之外。也許,他已經加入了以往偉大科學家的行例,正與愛因斯坦、費曼、薩根、牛頓、伽利略等舉杯𣈱談天文物理,得知了宇宙終極的萬有理論,笑說人類科學家一直搞錯研究方向呢。

《時間簡史》——理論物理普及先驅

很多人初次聽說過霍金的名字,相信都是因為他寫的科普《時間簡史》。他寫這部科普著作的時候,理論物理學界並不太流行科學普及。很少專業的理論物理學家會在研究中抽出時間來做科學普及,更別說寫一整本書。

其實,當時除了整個學術氛圍並不鼓勵搞科普之外(很多人覺得這是浪費科學家的研究時間),對於某些範疇的科學家,他們的研究項目往往需要保密,因此科普也非易事。幾個著名從事科學普及的理論物理學家和天文學家,如費曼、溫伯格和薩根等人,就幸運地沒有這個限制,成為了出色的科學家兼科學教育家。

霍金寫的《時間簡史》是一部關於最前沿理論物理學和宇宙學的書籍。在討論理論物理學時,少不免需要用到數學方程式去幫助讀者理解。然而,看過書稿的出版社編輯認為書裡每多一道方程,銷量就會減半。霍金重新審視書稿後,最終版本的《時間簡史》裡面只有一道方程式:愛因斯坦的質能等價公式 E = mc^2。

最後,《時間簡史》在 1988 年出版,成為了史上最暢銷的科學普及作品,被譯成超過 40 種語言。從此,霍金成為繼愛因斯坦後其中一個家傳戶曉的科學家。

霍金的宇宙——時間超越「開始」和「終結」

霍金聞名於如何把廣義相對論與量子力學結合,並應用黑洞和宇宙起源。

1965 年,霍金根據彭羅斯對黑洞中心存在奇點的研究,套用於整個宇宙之上,寫成他的博士論文。其後於 1970 年,霍金與彭羅斯合作研究,得出宇宙必然始於奇點的結論。奇點是個物理學概念,因極高密度的物質和能量而導致無限大的時空曲率。

愛因斯坦於 1915 年推導出廣義相對論場方程式組,能夠描述整個宇宙的演化。在相對論中,時間和空間結合在一起成為時空,而且時空並非宇宙的背景,時空就是宇宙本身。根據廣義相對論,物質和能量會令時空變得彎曲,其曲率就是我們日常感受到的重力(即萬有引力)。愛因斯坦本認為宇宙應該是穩態的,它不會變化、永恆存在。

然而,哈勃發現了宇宙正在膨脹。因此,越往未來的宇宙越大、越往從前的宇宙則越小。所以,在從前的某個時刻——大概 137 億年前——宇宙的尺寸應該為零。換句話說,所有物質和能量都被壓縮在尺寸為零這一點——奇點。

物理學家對此感到非常不安。廣義相對論不能應用於奇點,因此很多物理學家認為宇宙不可能存在奇點。而霍金卻指出,如果宇宙遵守廣義相對論的方程式,任何一個宇宙學物理模型都會導致一個結論:宇宙的確誕生於奇點。

可是,沒有任何物理定律能夠用來描述在奇點發生的事,因此奇點存在於宇宙誕生一刻就好像代表了物理定律雖然適用於宇宙任何地方和時間,卻於宇宙開端失效。

霍金提出了「虛時間」理論嘗試解決這個問題。他認為雖然我們所經歷的「實時間」(real time)在奇點終結,但時間的另一個分量「虛時間」(imaginary time)卻能繼續走下去。因此,宇宙本身雖然源自大爆炸,大爆炸卻非時間的起點。

對此怪異概念,霍金嘗試以地球作為比喻:我們能夠由南極或北極作為座標的起點,畫出整個地球;這卻不代表南北兩極就是地球的盡頭。地球沒有盡頭,就好像時間一樣,因為時間並不止有實時間這一個維度,而是有著虛時間,在宇宙誕生的奇點「延伸」出去。

霍金說,談論宇宙大爆炸「之前」發生了什麼事是毫無意義的。這就好比談論「南極以南」、「北極以北」,毫無意義。

霍金輻射——黑洞不是終點

霍金的另一個重要研究領域是黑洞。黑洞是廣義相對論直接導致的結果,任何時空如果存在太多物質和能量,時空曲率(即重力)就會變得非常之強,強到連光線也無法逃脫。光速是宇宙的終極速度,根據相對論,加速至光速需要無限能源,因此連光也不能逃的黑洞意味一切的終結。在黑洞裡面的東西,沒有可能回到宇宙中來。

黑洞的邊界,稱為事件視界(event horizon)。由於沒有任何東西能夠從事件視界裡面跑到外面,因此我們不可能確定黑洞裡面是什麼樣的。根據廣義相對論的方程式,黑洞裡外並無二致,太空人根本不會察覺到自己穿過了事件事界。理論上,黑洞中心應該存在一個奇點(彭羅斯的研究亦支持這一點),可是沒有方法能夠確認這一點。

霍金在 1970 年發現,黑洞的表面積與黑洞的熵成正比。熵是物理學概念,是一個系列統計學上有多「凌亂」的量化值。而熵在資訊理論中有另一個意義,是該系統能夠儲存多少資訊的量度。由於沒有東西能夠從黑洞跑出來,黑洞裡面的資訊量必定只能增加,不能減少,因此霍金指出黑洞只可以不斷變大,不會縮小。

在科學發現的歷史上,經常出現峰回路轉的情節。1974 年,霍金把廣義相對論和量子力學結合,應用於黑洞事件事界附近,發現了一個驚人的結果。

廣義相對論描述大尺度宇宙的行為,而量子力學則描述在基本粒子般的微小尺度所發生的事情。然而,物理學家嘗試尋找結合兩者的理論——量子重力,卻一直徒勞無功。然而,在黑洞附近的時空扭曲之極端,讓霍金得以暫且結合廣義相對論和量子力學,並發現原來黑洞會「蒸發」。

根據量子力學,真空其實並非一無所有,而是充滿許多「虛粒子對」。這些虛粒子對是經由量子穿隧效應(quantum tunnelling)從虛無之中產生,在極短時間之內出現在我們的宇宙中,隨即互相碰撞湮滅消失,化回虛無。

霍金發現,在黑洞事件視界附近的這些虛粒子對的其中一方可能會越過事件視界,無法與其伴侶湮滅。落入黑洞的粒子帶有負能量,因此黑洞的總質量就會減少,導致黑洞逐漸縮小;失去伴侶的另一方,就會朝反方向逃逸。從遠方觀看,就好像黑洞減少自己的質量從而輻射出粒子一樣,因此這現被稱為霍金輻射。

由於黑洞的熵(即資訊量)亦與其表面積成正比,黑洞縮小就代表黑洞裡的資訊減少。這就等於說,以往認為被黑洞吸入而與我們這邊的宇宙斷絕關係的資訊,以霍金輻射的方式逃離了黑洞,回到宇宙中來了!

霍金曾以此理論比喻生命,他說:

如果你感覺身處黑洞裡,不要放棄。那裡總有出路。

If you feel you are in a black hole, don’t give up. There’s a way out.

霍金:生命總有出路

21 歲就患上漸凍人症的霍金,並沒有放棄過他的生命,與疾病戰鬥到最後一刻。霍金的身體雖然殘障,但他的思緒早已超越身軀、超越重力、達到黑洞的深處和宇宙的開端。

霍金教授,感謝您的教導。現在您已經自由了,擺脫了這個物理宇宙的束縛。再會。

Why Shall We Bayesian: Parameter Estimation

Let’s say we have data points plotted on the x-y plane. We want to draw a line or curve best fit to the data points. In other words, we aim to draw a curve as close to all the data points through the error bars as possible. Since the shape of the curve is described by mathematical variables that are called parameters, this process is called parameter estimation.

In Astronomy and Astrophysics, such a curve is called the model. A model can be motivated from theory or from observation. There is no fundamental difference in fitting a theoretical model or an empirical model.

Here comes the question: how can we draw this best-fit curve? We have the conventional frequentist approach: we guess a reasonable set of parameters, compute the difference between the curve and the data points, and then minimise (by some efficient algorithms) the difference by changing the shape of the curve, i.e., drawing a new curve. The process is repeated, which is called the “fitting” process, or regression. The curve is said to be “best fit” if the difference is smaller than or approximately equal to certain ad hoc values, usually known as the “goodness of fit”.

In frequentist statistics, we obtain a point estimation, e.g., the polynomial coefficients of a polynomial curve. Note that the resulting point estimation depends on the choice of the goodness-of-fit function.

In contrast, the main idea of Bayesian statistics is extremely simple. We don’t need any goodness of fit. What we have is the one and only one formula, the Bayes Rule:

(Probability of the model is true given the observed data) = (Probability of observing the data given the model is true) x (Probability of the model being true).

[up to a normalisation constant called the evidence, under the condition that the integration of the probability of all possible values must equal to 1]

The left hand side is called the posterior, which contains all the information inferred from the data, summarised in a probability distribution of the model parameters. The first term on the right is called the likelihood, and the second term is called the prior. The posterior is completely determined from the likelihood and the prior.

The likelihood is a probability function that connects the physical parameters to the statistical parameters. We need to choose the likelihood function by ourselves, according to the physical processes under consideration. For instance, are we looking at a Poisson process? Are the error bars distributed as a Gaussian? etc.

The prior is a probability function chosen from expert knowledge. In other words, the prior is a probability distribution for each parameter under consideration.

The point is that once the likelihood and the prior are chosen, the shape of the posterior is fixed. There is no fitting process, no iteration, no loops for the code. Instead, we need to find an efficient way to draw the shape of the posterior. Often it is of multi-dimensions, so that we need methods more clever than brutal force.

Fortunately, the so-called Markov chain Monte Carlo comes to rescue. It is a kind of algorithm to efficiently sample the parameter space of the posterior. Once the posterior is displayed, the error bars can be obtained readily by locating the highest posterior density interval (HPDI). The HPDIs are the intervals of possible parameter values containing the highest density of probability. In contrast, frequentists have to rely on performing simulations to obtain the so-called confidence intervals, which are not even the same thing as error bars.

There are a lot of statistical reasons to argue for Bayesian statistics against frequentist statistics. In my viewpoint the main reason is that Bayesian statistics is simple. It directly answers the fundamental question of “how likely is a scientific theory to be true, given the data?” without the need to introduce any extra concepts. Simple. Only the Bayes Rule.

I will illustrate the advantages of Bayesian statistics in the up-coming posts of this “Bayesian Astrostatistics” series.

宇宙膨脹可能均速、也可能加速

愛因斯坦在 1916 年正式發表廣義相對論之前,宇宙被普遍認為是物理世界的一個背景舞台。廣義相對論描述時間、空間、物質、能量的互動,把宇宙由背景變成了主角。

愛因斯坦原本並不相信宇宙能夠膨脹或者收縮。縱使他知道他親手推導發現的方程式顯示了一個必然結果:宇宙不是在膨脹就是在收縮,他覺得這是不可能的。數學邏輯本身不可能出錯,但愛因斯坦也相信自己的推導沒有錯。因此,他只好在他的方程式加入一個人為的、不影響方程式正確性的項,就是所謂的宇宙常數 (cosmological constant)。

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愛因斯坦場方程式 (Einstein field equations)。這是一組十式獨立的方程式,描述時空、物質和能量的互動,其數學解能告訴我們宇宙如何演化。紅色方格內的項就是宇宙常數。

由於重力只能吸引、不能排斥,宇宙不可能是靜止的。想像一個拋向半空的球,它不是正在上升就是在下降,除了由上升變成下降的一瞬間和撞到地面之外,球在重力的影響下必然在運動。在星系的巨大尺度,宇宙只由重力支配,因此亦必然在運動。

引入宇宙常數的愛因斯坦以為這樣就能解決他的問題:使宇宙靜止。宇宙常數有著與重力相反的性質:使物質互相排斥。愛因斯坦認為充滿物質的宇宙在重力的影響下會收縮,因此加入宇宙常數去平衡重力的吸引,希望得到一個靜止的宇宙。

可是,哈勃 (Edwin Hubble) 發現星系正在互相遠離,而且越遙遠的星系後退的速度就越快。這只能有兩個解釋:要麼地球是宇宙的中心、要麼宇宙正在膨脹。當愛因斯坦知道哈勃的發現後,他後悔在廣義相對論方程式裡加入了人為的宇宙常數 (流傳他說過這是他「一生中最大的錯誤」的故事應該是假的)。哈勃更邀請愛因斯坦到他位於美國加州的巨型天文望遠鏡,讓愛因斯坦親眼看到宇宙膨脹的證據。

“Historically the term containing the ‘cosmological constant’ ƛ was introduced into the field equations in order to enable us to account theoretically for the existence of a finite mean density in a static universe. It now appears that in the dynamical case this end can be reached without the introduction of ƛ.” – Albert Einstein

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哈勃 (中) 和愛因斯坦 (左) 使用威爾遜山天文台 (Mount Wilson Observatory) 的 100 吋望遠鏡觀察宇宙。這是當時世界最大的望遠鏡。(Credit: Caltech Archives)

在今天,宇宙常數有一個更性感的名字,叫做暗能量 (dark energy)。1998 年,三位天文學家 Saul Perlmutter、Brian Schmidt 和 Adam Riess 帶領的研究發現宇宙不單正在膨脹,而且膨脹正在加速。這是一個非常重大的發現,連諾貝爾物理獎也罕有地在 2011 年頒給這三位天文學家 (因為天文學研究很難有實際應用)。暗能量、或者宇宙常數,因而在上世紀末重新復活。一個正在加速膨脹的宇宙,比一個靜止的宇宙需要更巨大的宇宙常數 (事實上,即使有宇宙常數,宇宙亦不可能靜止)。

宇宙加速膨脹變成了標準的教科書內容。宇宙加速膨脹的證據來自觀察遙遠星系中的超新星爆發。超新星爆發是一顆恆星死亡的訊號。超新星也有不同的種類,其中一種叫做 Ia 型的超新星爆發時所釋放的能量是 (差不多) 固定的,所以透過測量 Ia 型超新星爆發的視亮度就能計算出其距離。原理就如蠟燭火光,放在比較遠的距離看起來就會比較暗、放在比較近的距離看起來就會比較明亮。

Saul Perlmutter、Brian Schmidt 和 Adam Riess 帶領的研究發現,相對於一個均速或減速膨脹的宇宙,Ia 型超新星爆發的視亮度比預期的暗太多了。換句話說,這些 Ia 型超新星位於比預期更遙遠的距離;換句話說,宇宙在加速膨脹。

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不同的宇宙模型 (左至右):減速、均速、加速膨脹。(Credit: The Cosmic Perspective/Jeffrey O. Bennett, Megan O. Donahue, Nicholas Schneider, and Mark Voit)

這是上世紀的發現,他們的研究用了七十多顆 Ia 型超新星。現在,Ia 型超新星的樣本數目已達當年的十倍之多。隨著數據量增加,天文學家亦逐漸開始使用更合適的統計方法更新 Ia 型超新星的宇宙膨脹研究。例如 J. T. Nielsen、A. Guffanti 和 S. Sarkar (2016) 的研究與及其他幾個獨立研究均發現,大量的 Ia 型超新星爆發的數據與均速膨脹的宇宙都吻合。他們認為當年使用的統計方法過於簡單,未必適用於少量數據。

不過,他們的研究同時亦指出,加速膨脹的宇宙同樣與 Ia 型超新星爆發的數據吻合。換句話說,我們最多只能說宇宙可能正在均速或加速膨脹,並不能排除其中一個可能性。在加速膨脹的宇宙模型裡,天文學家需要比全宇宙所有物質和能量的總和大約 14 倍之多的暗能量才能解釋觀測結果。如果宇宙膨脹並沒有加速,那麼暗能量可能並沒有我們以為的那麼多、或者根本不需要暗能量。

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Nielsen et al. (2016) 的論文顯示均速 (紅色線) 和加速 (藍色線) 膨脹宇宙模型都可以解釋 Ia 型超新星爆發的觀測數據。

Nielsen et al. (2016) 的論文並沒有如某些媒體所寫的「證明宇宙沒有加速膨脹」。我們必須小心分辨媒體的可信性,而且即使是有公信力的媒體,也不可能避免所有錯漏。在看科學新聞時,如果對報導有所懷疑,最好的做法就是直接找原論文來看、或請教相關的研究專家。

愛因斯坦究竟有否犯下「一生最大錯誤」,仍有待大自然提供更加多的科學數據。

Nielson et al. (2016) 論文:Scientific Reports 6, Article number: 35596 (2016)

後記:

宇宙學家朋友 Godfrey 讀過此文後,贈與一些補充資料。

宇宙常數和暗能量的概念有點不同。宇宙常數可以是正數、零、或負數,當負數時其影響與重力相反。宇宙常數是一種真空能量 (vacuum energy),其密度不會隨宇宙體積變大而減小。可是,物質和能量的總和不會增加,因此質能密度會隨宇宙體積變大而減小。所以在平直 (flat) 的膨脹宇宙之中,如果宇宙常數非零,無論數值多少最後也必定能支配宇宙演化。

另外,Ia 型超新星並不是宇宙加速膨脹的唯一證據,例如宇宙微波背景 (cosmic microwave background) 也顯示宇宙可能在加速膨脹。諾貝爾奬得主 Adam Riess 更親自寫了一篇文章解釋誤解,他說宇宙加速膨脹的可能性只是由 99.99999% 降至 99.97% 而已,與某些傳媒誇張頭條相去甚遠。

Adam Riess 在 Scientific American 的文章:Have Astronomers Decided Dark Energy Doesn’t Exist?

封面圖片:宇宙演化模型 (Credit: NASA/WMAP Science Team)

延伸閱讀:

讀論文》- Edward Ho

淺談 E=mc^2:愛因斯坦 137 歲誕辰》- 余海峯

你也能懂相對論》- 余海峯

科學家巡禮:拋開常識的學者.愛因斯坦 (Albert Einstein)》- 余海峯

重力波:2016年邵逸夫天文學奬

隨著今年2月11日美國激光干涉重力波天文台 (LIGO) 公布人類首次直接探測到重力波之後,其理論和實驗的先驅研究者羅奈爾特・德雷弗 (Ronald Drever)、基普・索恩 (Kip Throne) 以及雷納・韋斯 (Rainer Weiss) 在5月11日得到了邵逸夫天文學奬。

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三位得奬者的邵逸夫奬官方照片。

第一次直接探測重力波在廿一世紀的今天的意義,就好比在十七世紀時伽利略首次用望遠鏡看夜空一樣。電磁力與重力都是已知四種基本力的兩種。可是,對比於人類自演化以來已經非常熟悉的重力,人類觀察宇宙的手段卻一直局限於電磁波,也即是光。就連在1933年才首次被費米提出的弱力,也已經早被天體粒子物理學家利用來觀察宇宙的微中子了。

為什麼重力波一直未能被應用於天文觀測?原因非常簡單:因為重力實在太弱了。在原子的尺度裡,重力比弱力足足弱了29個數量級,即是小數點後跟了28個0。LIGO在2015年升級為Advanced LIGO之前,地球上跟本沒有一個儀器能夠探測到來自宇宙深處最強的重力波。

究竟什麼是重力波?我們需要簡單介紹一下愛因斯坦在 1916 年發表的廣義相對論。廣義相對論徹底推翻牛頓重力理論,把重力由牛頓時代一直被認為是一種不需要時間傳遞的超距力,以複雜但極其優美的數學重新描述為時間和空間的漣漪。換句話說,重力需要時間傳遞。廣義相對論說時空能夠被物質或能量所扭曲,因此時空原來一直都積極參與物理世界的演變,而非一成不變的背景舞台。

我們來看看時空被物質扭曲的情況。想像時空是一張彈床的表面,如果上面有兩個重量相當的保齡球,它們就會互相圍繞轉動。就好像在水中用兩隻手指互繞轉動形成向外擴散的波浪般,彈床表面亦會形成波浪。說回重力,當兩個黑洞互相圍繞公轉,時空亦會因它們對時空施加的循環拉扯而形成向外擴散的波浪。這個重力的波浪,就叫做重力波。

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兩個極高質量天體互相環繞運轉,在時空中產生漣漪。Credit: LIGO Lab

愛因斯坦的廣義相對論預言的時空扭曲效應,例如重力透鏡、宇宙膨脹、黑洞等等,都已經一一被天文觀測所證實。重力波這個最後的廣義相對論預言,在2016年,即愛因斯坦發表廣義相對論100週年被證實,也可說是一個美麗的巧合。

我們知道,每一個科學家在發現的過程中,都是站在許許多多巨人的肩上的。重力波的發現亦不例外。人類終於能夠以重力去觀察宇宙,歷代數不清的科學家、工程師和技術員,全部都功不可沒。或許,就如費曼說過,科學家在研究的過程中已經得到來自大自然最大的奬勵,就是發現的樂趣。無論如何,讓我們在恭賀得奬者的同時,也感謝所有為探測重力波貢獻過的人。

封面圖片:NASA 的重力波模擬圖。

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