上回我說亞視永恆。但我錯了，亞視已執粒。不過圓周率 $latex \pi$ 卻是真的永恆，不會錯。 今次我們來看看，在公元前兩百多年，阿基米德 (Archimedes) 是如何計算 $latex \pi$。阿基米德用的方法叫做窮盡法 (method of exhaustion)，但我喜歡叫它做三文治方法。以下就讓我們試試把 $latex \pi$ 像夾三文治般夾出來。 首先，想像有一個半徑為 $latex R$ 的圓形，在圖的內外各畫一個緊貼著的正方形。由下圖中可以看出，外面較大的正方形邊長為 $latex 2R$、裡面較小的正方形對角線就是圓形的直徑，長為 $latex 2R$。 我們想要知道圓周，那就可以計算 $latex \pi = C/(2R)$ = (圓周/直徑) 了。由上圖可知圓周 $latex C$ 比內正方形週界 $latex p$ 長、比外正方形週界 $latex P$ 短。因此 $latex p \le C \le P$。 那麼，$latex p$ 和 $latex P$ 分別有多長？在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》文中我們學會了用三角函數去表示三角形邊長之比。看上圖可知 $latex b…… Continue reading Pi 是永恆 (二)
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Pi 是永恆 (一)
亞視永恆。但有些東西可以比亞視更永恆。 我們都學過圓周率，而且我們都知道圓周率的名字叫做 $latex \pi$。在學校裡，我們必定學過一條公式，就是如何用一個圓形的半徑去計算它的周長，即是圓周： $latex C=2\pi R$。 上式告訴我們「圓周 $latex C$ 除以兩倍半徑 (即直徑) $latex 2R$ 等於 $latex \pi$」，大概就是我們對 $latex \pi$ 的第一個印象吧！我們在學校也學過，上式中的 $latex \pi$ 是一個常數。換句話說，無論一個圓形有多大，它的圓周 $latex C$ 和直徑 $latex 2R$ 之間的比例都是不變的。 有史記載第一個證明 $latex \pi$ 是常數的人，有說是阿基米德。他使用極限 (limit) 的數學概念，以逼近法把 $latex \pi$ 好像夾三文治一樣夾出來！從而證明它是一個常數，計算出 $latex \pi$ 在 3.1408 和 3.1429 之間，準確至兩個小數位。事實上，$latex \pi$ 是無窮無盡的，即是它擁有無限個小數位，怎樣計也永遠計不完。現代的超級電腦，可以把 $latex \pi$ 計算至萬億個小數位。可是，萬億個小數位距離無限，仍然是無限遠。 我們知道這些都是事實。可是，我們又有沒有想過，為。什。麼？ 在這一連幾篇文章中，我會用兩個不同的方法去證明 $latex \pi$ 是一個常數，即是證明所有圓形的圓周率都是一樣的。換句話說，我們會證明所有圓形的圓周與直徑的比例都是一樣的。然後我會介紹其他與圓形和…… Continue reading Pi 是永恆 (一)
古希臘的科學 (五) 撐起地球的支點
阿基米德：看見國王的新衣 又是另一個無人不識的古希臘學者。阿基米德 (Archimedes，公元前287－212年 ) 在西西里島東南角的希臘城市敘古拉 (Syracuse) 生活。如果說只是很少數的天才科學家能夠同時精通理論與實驗，阿基米德很可能是這些天才中的第一人。他對科學的著名貢獻多不勝數，就算是從未學習科學的人亦必定略知一二。 我們就由阿基米德最著名的「裸跑故事」說起吧。傳說當年國王希倫二世 (King Hieron II) 懷疑工匠在製造王冠時偷工減料，以銀代金。但是由於王冠是要獻給眾神的，因此不能將它破壞。由於阿基米德博學多材，而且絕頂聰明，於是希倫二世給了他這個難題：測量王冠的純度，條件是不能破壞它。阿基米德回家洗澡時，看見水因自己的體重而溢出來，發現了浮力定律，他意識到這就解決了國王的難題。他因此高興得光著身子跑到皇宮向國王報喜，一邊大喊「Eureka! Eureka!」，意即「我發現了！我發現了！」，可想而知他當時的心情是多麼的興奮，竟然連衣服也忘記了！ 所謂的浮力定律，就是描述固體浸入液體時所能受到多少浮力的理論。阿基米德在他的著作《論浮體》(On Floating Bodies) 中清楚說明了這個定律：「任何比液體輕的固體在置於液體中時，它所浸入的部分所排出的液體重量，會等於此固體的重量。」阿基米德找來一塊與王冠一樣重的純金塊，與王冠分別放入水中，發現王冠所溢出來的水比較多，證明了工匠在王冠中混入了密度較黃金低的銀。 阿基米德在當時的社會享負盛名。當時有一艘大船在完工後，因為太重所以無法搬運下水。阿基米德因為充分了解槓桿原理，曾誇口說：「給我一個支點，我就能移動地球。」(“Give me a place to stand on, and I will move the Earth.”) 希倫二世見他這樣「牙擦」，便想出個難題考考他，對他說：「你連地球都能搬動，區區一艘船難不到你吧？」本來希倫二世是想挫挫他銳氣的，可是阿基米德竟然製造了一個起重機，在國王及市民的圍觀下，坐在岸邊，輕鬆地用手轉動他的起重機，無人能搬動的大船應聲下水。可想而知，眾人定必都看得口瞠目呆。自此，希倫二世就說阿基米德是世上最聰明的人，「只要是他說的都是對的」。 除了起重機，阿基米德為了方便農民澆水，就發明了「阿基米德螺旋提水器」(The Archimedes Screw)，香港科學館就有展出這個機器的模型。這個機器後來演變為現代的螺旋推進器。他亦發展了天文學使用的十字測角器，製造了一部測量太陽相對地球角度的儀器。他曾經在著名的著作《數沙者》(The Sand Reckoner) 中發展出一種記載大數的方法，亦即是後來的指數記數法。他以此方法推算出宇宙中沙粒的總數不多於1063粒，並根據阿里斯塔克斯的日心說估計宇宙的大小為1014「斯塔德」，約為兩光年，即十八萬九千億公里，大約等於來回地球和月球三千萬次。 阿基米德不只是一位著重科學理論的工程師，也是一位偉大的數學家。他非常熟悉歐幾里得的幾何學，而且早在公元前三世紀就已經有了極限 (limit) 的數學概念。他曾經使用「漸近法」(method of exhaustion) 求得圓周率π的數值在3.1408與3.1429之間，與實際的近似值3.1416吻合；他曾經研究「等速螺線」，即是所謂的「阿基米德螺線」(Archimedean spiral)；他研究了許多不同形狀的重心問題；他發現了球的表面積為該球大圓面積的 4 倍 (即 4*pi*r^2)；又導出圓柱體的內接球體的體積是該圓柱體體積的 2/3 ，這一個發現按照他的遺願被刻在他的墓碑之上。 阿基米德是被羅馬士兵殺死的。在他晚年時，羅馬企圖入侵敘古拉城，傳說他以一人之力就抵擋了羅馬的大軍。他發明了「阿基米德之爪」(The Claw of Archimedes)，是一個連著放入水中的爪的巨型起重機，阿基米德以它抓起羅馬人的軍艦吊到半空，再將之摔成碎片。他又以多面反射鏡把陽光聚焦，燒燬敵軍軍艦。他所製造的巨型投石器不知令多少羅馬士兵葬身海底。怪不得連敵方的將軍馬塞拉斯 (Marcus Claudius Marcellus，公元前268–208年…… Continue reading 古希臘的科學 (五) 撐起地球的支點
余海峯 David | 物理喵 phycat 