地球依然在動

傳說伽利略接受宗教法庭審判、被迫簽下「地球不會動」的悔過書時,說過這一句說話:「地球依然在動。」(”And yet it moves.”)

科學之所以引人入勝,我認為其中一個原因是科學的客觀性。科學就是尋找大自然定律的學問,而大自然並不會因人類的意見或偏好而改變。很多現在我們認為理所當然的科學知識或常識,其實都是經過無數科學家的努力研究才能得出的結論。今次,我想討論一個人人皆知的常識:「人類究竟是如何得知地球並非靜止不動的?」

地球在動嗎?古時候並沒有人知道答案。在這個資訊發達、恆常有人駐守國際太空站上、每個人都知道答案的時代,我們又有否思考過,為什麼答案是如此這般呢?我希望藉著這個看似簡單的問題「為什麼我們感覺不到地球在動?」帶出一些思考的盲點。

這篇文章分為四個部分。地球會運動,而這運動由幾個部分組成:自轉、公轉,以及隨太陽環繞銀河系中心運行(其實還有自轉軸的進動和擺動,以及受其他行星重力影響等等問題,我有機會會再另文詳述)。我曾在一篇文章中討論過古人對「感覺到運動」的認知問題,這與古代宇宙學和天文學有關,為了文章的完整性我會再簡單講解。接下來,我會首先討論自轉的問題。然後我會稍為轉一轉重點,討論一下另一個同樣引人入勝的問題:為什麼在太空中感覺不到重力?這個離題是必要的,因為最後我們討論的地球公轉問題,需要用到其中的一些概念。在四個部分裡,我亦會在盡量不影響文章流暢性的情況下,盡力解釋一些有關係的物理概念。

一、為何感覺不到地球正在運動?——從古希臘地心說到伽利略船實驗

日出日落,斗轉星移,觀察天空是古人思考宇宙奧秘的主要方法。日月星辰晝夜都在天上移動,這種東升西落現象就好像大自然在顯示給人類說:萬物都環繞地球轉動。這個理論叫做地心說(Geocentrism)。相反,古希臘學者亞里斯塔克斯(Aristarchus of Samos)提出太陽才是宇宙中心,稱之為日心說(Heliocentrism)。

古希臘人很早就了解到地球不是平的。雖然日常生活感覺不到地面的曲率,但他們發現了幾件事情,是一個平的世界所解釋不了的。第一,從海岸上望向遠方海上的帆船,總是先看見桅桿和船帆後才能看見船身。再者,他們亦發現在山崖上能夠比在海邊更早看見船隻。反過來,在船上也總是先看見山崖再看見海岸,而且在桅桿上的水手也能夠比在甲板上的水手更早看見陸地。這是地球表面彎曲的最直接的證據。

第二,在月食的時候,月球上的黑暗面積,總是圓形的一個部分。如果月食成因是地球遮掩了投射在月亮上的日光,那麼只有當地球是球狀的時候,才能總是投影出圓形的影子。大家可以在家試試看,分別用一個足球和一塊圓形的紙板,利用燈光在牆上投射出影子。我們會發現,只有當燈光垂直照射紙板時,影子才會是圓形的。但在足球的情況下,無論從哪個方向投射燈光,影子都總是圓形的。

對於身處北半球中等緯度的人來說,北天極附近的星星永不落下。相反,南天極附近的星星永不上升。(注意只有身處南半球的人才能看見南天極)北天極的高度隨緯度改變。在平的世界裡,這是不可能的。Credit: Nature of the Universe Ch. 2, Department of Physics, University of Hong Kong

第三個地球並非平的理由,就與日心說和地心說之爭很有關係了。我們知道,晚間出沒的星星與日間出現的太陽有個共通點,就是會從東邊升起、西邊落下。古天文學家早就發現,有些星星是從不落下的,它們只會環繞天空中一個假想的點轉動,那個假想的點就是北天極(同樣地在南半球的人也會看見另外一些星星環繞南天極轉動)。他們亦發現,越往北走(或在南半球越往南走),北天極(南天極)距離地平線的高度就越高,導致越來越多星星從不落下。在地球上的南極點或北極點觀察,則所有星星都不會落下。相反,越往赤道走,北天極(南天極)距離地平線的高度就越低,導致越來越多星星會東升西落。事實上,在地球的赤道上,所有星星都會東升西落,而北天極和南天極會剛好疊在地平線上。如果地球是平的話,就不可能出現這個情況,每個地方所看見的星空都應該是一樣的。同理,太陽的高度亦會隨緯度而改變。除非不同緯度的人看見的並非同一個太陽、同一堆星星,否則地球不可能是平的。

(注意,上一段文字裡的「東」和「西」並非單單指「正東方」和「正西方」,而是包含了東南、東北和西南、西北等方向。)

古希臘人知道了地球並不是平的而是球狀的,埃拉托色尼(Eratosthenes of Cyrene)更用實驗計算出了地球的直徑。古希臘人認為物質分為兩種,各自會有自然的運動傾向:天上的物質自然而然環繞地球運動、地上的物質自然地向宇宙中心落下。人們傾向接受地心說,因為除了眾星辰都「明顯」環繞地球運動外,如果地球真的環繞太陽運動的話,為什麼地上的物質又會向地心落下?這是古希臘人未能解釋的。

地心說一直稱霸西方思想,甚至在東方亦一樣。古中國天文學家認為地球是方形的平面,且天空則是半球形的,即「天圓地方」之說。西方反對日心說的最大理由是地球「明顯」靜止不動。人們說,如果地球在動,那麼當物件向下掉落時,不應該掉在腳邊,而應該掉在後方,因為物件正在空中向下跌時,地球向前移動了。他們認為,即使地球並非宇宙中心,「地上的物質自然地向宇宙中心落下」依舊應該成立,所以如果地球在動,物件就理應向後方掉落而非垂直掉落了。

直至1624年,伽利略(Galileo Galilei)提出了船實驗,才把這個攻擊日心說的主要理由消除。伽利略在行進中的船上觀察物件落下,發現與在陸地上時一樣掉在腳邊。這代表物件並不會原地垂直落下,而是會跟隨船隻一邊向前行進、一邊落下。在陸地上看,這個物件的軌跡是一條拋物線。這就代表地球並不一定是靜止的,因為這實驗證明了物件並非永遠向宇宙的中心掉落(地心說中的宇宙中心就是地球中心)。換句話說,伽利略發現了慣性定律,而慣性定律代表我們不能分辨得到地球是靜止的還是在作等速運動(速率和方向都不變)。所以,地球並不一定是宇宙中心。當然,地球的自轉和公轉運動並非等速運動,因此伽利略的船實驗只顯示了近似的慣性定律。

根據牛頓力學,我們知道地球和太陽之間以萬有引力互相吸引,其結果就是地球環繞太陽公轉。不過只有公轉並不足以解釋恆星、太陽、月亮、行星的周日運動(diurnal motion)和周年運動(annual motion)。地球必須自轉才能解釋所有這些天文數據。然而,這些都只是地球會動的間接證明。

下一節,我們會討論地球自轉對地球表面上的觀測者的影響,以及地球自轉的直接證據。

二、為何感覺不到地球自轉?——非慣性座標系裡的慣性力

為何我們感覺不到地球的自轉?這問題就像問為何我們感覺不到地球表面是彎曲的,答案是人類對比地球來說,實在太渺小了。就像我們必須望向很遠的海平線才能看見船帆先於船身出現的現象,我們亦必須走很遠的距離才能發現地球自轉對地球表面上生活的渺小人類所造成的影響。

氹氹轉。Credit: Zavijava2, Wikimedia Commons

大家有玩過公園裡的遊樂設施「氹氹轉」嗎?它是一個會旋轉的大圓盤,盤上有支架。如果我們捉住支架在地上圍著氹氹轉走,然後跳上去,我們會感覺好像有一股力想將我們推出去似的,如果我們放手的話就會被拋出去了。這就是我們經常說的「離心力」(centrifugal force)。如果各位在香港坐過會上高速公路的專線小巴,應該亦曾感受過這種刺激的感覺,根本不用去海洋公園坐過山車。

但如果我告訴你,離心力其實並不存在呢?事實上,離心力屬於慣性力(inertial force),又稱為假想力(fictitious force),是「用錯」參考系觀察物理現象的產物。參考系是數學語言,即是用來計算物體位置、速度等的坐標系統。慣性參考系就是靜止不動或者以等速移動的坐標系。

簡單來說,雖然牛頓力學在日常情況下適用於任何參考系,但在非慣性參考系裡使用牛頓力學進行計算的話,就會出現慣性力。最常見的恐怕就是圓周運動。站在氹氹轉上的人在進行圓周運動,運動方向有所改變(注意物理學中的速度概念包含速率和方向),因而是個非慣性參考系。而站在地上看著氹氹轉的人則身處一個慣性參考系之中(事實上只是近似慣性參考系,因為地球也在動)。

在氹氹轉上的人所感受到的離心力,其實是因為氹氹轉在旋轉,但慣性定律卻說物體在不受外力的情況下只會沿直線前進,因此如果他不夠力捉住支架的話,就會被所謂的離心力拋出去了。在地上站著的人不會觀察到任何離心力,只會看見一個因捉不住支架而直線飛出去的人。順帶一提,捉住支架的力當然是真實的力,叫做向心力(centripetal force)。

現在我們可以回來地球自轉的問題上了。由於地球會自轉,身處地球表面的我們就是生活在非慣性參考系之中。就像在氹氹轉上的人感受到離心力一樣,我們都會因為慣性定律而感受到離心力。這個離心力會抵消掉部分重力,使我們在不同緯度感受到不同的體重!由於赤道與地球自轉軸的垂直距離最遠,而在南北兩極這個距離則為零,因此你站在赤道時的離心力會令你的重量對比站在南北兩極點時減少大約0.35%。

另一個我想簡單介紹的慣性力叫做科里奧利力(Coriolis force,簡稱科氏力),或者叫做科氏效應(Coriolis effect)。這是當我們在地球表面上移動時會感受到的慣性力。由於地球並非一個圓盤而是個球體,因此科氏力的方向並不在本地水平面上,而是與水平面有個角度。把這個力拆開,可以得到兩個方向的分力,分別為與水平面平行的分力(遺憾地,這個分力亦稱為科氏力),和與水平面垂直的、稱為Eötvös效應的分力。

平行本地水平面的科氏分力會使任何在北半球水平移動的物體向移動方向的右方(俯視時為順時針方向)偏轉,同時使任何在南半球水平移動的物體向移動方向的左方(俯視時為逆時針方向)偏轉。這就是颱風形成的原因,因而源自南半球和北半球的颱風會有相反的旋轉方向。Eötvös效應會在除離心力之外進一步改變我們感受到的重力。向東走時,Eötvös效應會進一步加強離心力,抵消更多的重力。反之,向西走時反而會加強了向下的力,就好像加強了重力般。

(有趣的是,源自北半球的颱風是逆時針方向旋轉的,與科氏效應相反。這是因為颱風的形成過程是三維的,有機會我再另文詳述。)

而我們在日常生活中感受不到上述離心力、科氏力和Eötvös效應的原因很簡單,就是因為人類相對地球的尺寸來說,太過渺小。只有在作長距離移動時,我們才能察覺到這些慣性力。例如炮彈的彈道計算就必須考慮地球的自轉、飛機飛行時會感受到科氏力、大規模的空氣流動會形成颱風等等。順帶一提,有都市傳說指科氏效應會導致南北半球上的坐廁沖水方向相反,但這是不正確的。因為對比地球尺寸來說,廁所實在太渺小了,作用在沖廁水上的科氏力比沖廁時水流的隨機擾動細微得多了,不會出現科氏效應。

歷史上首位直接測量到科氏效應的人是德國化學家懷斯(Ferdinand Reich)。在1831年,他從160米高的地方掉下物件,發現物件落下的地點向東偏差了2.8厘米。這是由於物件自由落下時的移動方向為地球中心,經過計算科氏力會指向東面。

慕尼黑德意志博物館裡的傅科擺。拍攝於2013年。

那麼,有沒有辦法在不作長距離移動的情況下,證明地球會自轉?答案是肯定的。在1851年,法國物理學家傅科(Jean Bernard Léon Foucault)用一個非常簡單的實驗,證明了地球確實會自轉。他用一條67米長(好吧,這也很長就是了⋯⋯)的線吊著一個28公斤重的鉛球,形成一個很長很重的擺,掛在巴黎先賢寺的天花版上。慣性定律也適用於鐘擺,保證擺動平面不會轉動(擺動平面不變與物理學中的角動量守恆原理有關)。因此,鐘擺的擺動平面不會改變,但因地球自轉,在地球表面上觀察,就會好像是有個力距轉動了擺動平面。這個實驗設備稱為傅科擺(Foucault pendulum),是世上每個科學博物館的必備展品。很多人會在早上很早就到博物館去,就是為了看工作人員開始擺動傅科擺的一刻。

現在我們理解到,古希臘時代的差不多兩千年後,懷斯與傅科的實驗終於直接證明了地球會動。

三、太空中真的是無重力嗎?——萬有引力貫穿宇宙空間

理解了我們的渺小不足以察覺地球自轉、並討論了證明地球自轉的直接實驗證據後,我們來討論一下一個稍為離題的問題:為何太空中「無重力」?這個概念大概是被科幻電影等大眾文化所灌輸的。我希望直接指出這是個錯得非常離譜的概念。這樣做的話,我們必須討論一下物理學裡的重力概念。

關於「物件為何會往下掉落」這個問題,從古希臘時期已經有過很多理論,其中最著名的一個莫過於上述對宇宙之間的物質作二分法的例子:天上的物質會環繞地球轉動、地上的物質會向宇宙中心(地球中心)墜落。這個理論並沒有解釋為什麼宇宙間會有兩種不同特性的物質,也沒有解釋到底是什麼力量驅使天上物質運動以及地上物質的下墜傾向。

直至哥白尼(Nicolaus Copernicus)過世的1543年,即亞里斯塔克斯提出日心說的差不多1,800年後,他出版了《天體運行論》(On the Revolutions of the Heavenly Spheres),重新提倡日心說。不過,哥白尼的日心說其實並不比托勒密(Claudius Ptolemy)在公元2世紀出版的《至大論》(Almagest)裡描述的地心說更科學。兩者解釋天文數據的能力相當,複雜程度也相差不遠。這是因為哥白尼的日心模型依然認為天體環繞太陽的軌道必然是正圓形的,所以仍必須使用一大堆複雜的、假想出來的數學規則,才能以地心模型同等的精準程度描述天體運行的觀測數據。

即使在17世紀初,繼承第谷(Tycho Brahe)成為丹麥皇家天文學家的克卜勒(Johannes Kepler)發表了他的三大行星運動定律、發現行星軌道形狀是楕圓形之後,科學界仍未普遍接受日心說。再者,克卜勒第一定律指太陽位於行星的楕圓形軌道的兩個焦點的其中之一,這也並不正確。事實上,行星並非環繞太陽運動,而是環繞整個太陽系的質心(centre of mass)運動。所以嚴格來說,地心說和日心說都不正確。而且克卜勒亦沒有到解釋行星環繞太陽運行背後的原因。

「天上的物質vs.地上的物質」這概念,最後被牛頓(Isaac Newton)所打破。他提出的萬有引力定律,不單指出了所有物質之間都會相互吸引,更解釋了這種吸引力的來源就是物件的質量(mass)。因此,所有擁有質量的東西都會互相吸引,並且這種吸引力同時適用於地上的和天上的物質。使用牛頓萬有引力定律,結合牛頓運動定律,就能夠推導出克卜勒行星運動定律。因此,牛頓不單發現了重力的解釋,更一舉統一了宇宙間的物理學。「最基本的大自然定律應該是全宇宙適用的」更成為了現代科學研究的一個重要指標。

牛頓萬有引力定律說,兩個物體之間的吸引力與兩者質量的乘積成正比,並與兩者質心之間的距離的平方成反比。換言之,質量越大,吸引力越強;相隔距離越遠,吸引力越小。但重要的是,這個吸引力只會在無限遠時歸零。因此,在太空中(尤其是在距離地球很近的太空站或太空船軌道)地球的重力根本不是零。再者,如果太空中沒有重力,那麼太陽如何吸引八大行星繞其運動?地球又怎能吸引月球環繞我們轉動?所以「太空中無重力」是對力學非常離譜的誤解。

萬有引力從地球、太陽、月球,以及所有天體表面貫穿宇宙空間,因此可說重力在宇宙中無處不在。可是回到最初的問題,為何太空人在太空船、太空站又會漂浮著,就好像沒有重力的樣子?

牛頓的炮彈思想實驗。Credit: Brian Brondel, Wikimedia Commons

牛頓在1687年出版了《自然哲學的數學原理》(Mathematical Principles of Natural Philosophy),裡面描述了一個思想實驗:想像有一個能夠以任何力度發射炮彈的炮台。如果力度很小,那麼炮彈會以拋物線在不遠處落在地面上。如果加強力度,炮彈就能夠飛得遠一些。因此把發射力度逐漸加強,炮彈就能飛得越來越遠才落在地面上。我們也知道地球表面是彎曲的,因此如果炮台發射炮彈的力度很強,那麼發射出去的炮彈就會飛越一段很長的距離才下降少許。然而,因為地球表面是彎曲的,炮彈下降同時地面亦會向下彎曲。所以,如果發射力度足夠大的話,炮彈的下降率就能夠「追上」地面下降率,結果就是炮彈永遠不會碰到地面(假設忽略空氣阻力),環繞地球一圈後從炮台後方擊中自己。

(思想實驗(Gedankenexperiment)指只在腦海中進行的實驗,並不一定有在現實中進行過。當然,思想實驗並不是真的實驗,並不能夠用來作為科學理論的證據。不過很多物理學家都愛用思想實驗去幫助他們跟據已知物理定律想像未知的結果。有時候,透過改變思想實驗的參數而得出不同的想像結果,能使我們對物理概念有更深入的了解。)

正在環繞地球運行的人造衛星、太空望遠鏡、國際太空站,以及地球的天然衛星月球,都是上述那顆炮彈。他們其實一直都在萬有引力的控制之下,不斷地「跌落」地球,只是由於速率非常快,所以就永遠跌不到落地面、只能環繞地球運行了。而國際太空站連同裡面的太空人都正在以同一速率前進和「下跌」,因此就看似在太空站中「漂浮」起來了。順帶一提,飛機突然關掉引擎作自由落體,裡面的人也會看似「漂浮」起來,太空人就是這樣訓練如何在太空中「無重力」狀態下工作的。

因此,太空中根本就不是無重力(weightless)。萬有引力貫穿整個宇宙空間,太空人會「漂浮」只不過是無重力感(weightlessness)的錯覺罷了。有些電影會有剛飛出大氣層的太空船裡面的人突然漂浮起來的場景,但這完全是大錯特錯。

德國物理學家夫琅和費(Joseph von Fraunhofer)在1814年使用棱鏡和望遠鏡觀察太陽光譜(注意:這是非常危險的實驗,會對眼睛造成永久損害!),發現太陽大氣的吸收光譜線。經過分析,部分譜線與在地球上找到的元素的光譜線吻合,直接證明天上的物質與地上的物質皆由同樣的元素構成。

四、為何感覺不到地球公轉?——牛頓:重力平衡向心力;愛因斯坦:如何分辨重力場和加速度

終於來到本文最後一個問題:為何感覺不到地球公轉?前港大理學院院長郭新教授去年曾經指出,Google對於這個問題所列出的結果當中,找不到一個是正確的。那些答案大多都只是用慣性定律解答「因為我們不能在慣性參考系中確認自己是否正在移動」。可是地球環繞太陽公轉並非慣性運動,所以地球並非慣性參考系,因此用慣性定律去解釋是不嚴謹的。正確的答案是太陽吸引地球以及地球上所有人類的力,完美平衡了地球(和地球上的人)公轉所需的向心力。這是用牛頓力學就能理解的。

我剛剛再Google了一次,發現只有一篇文章寫出了比牛頓力學更深刻的解釋。這個解釋與上一節中討論過的炮彈思想實驗有關,只不過這次我們要討論這個思想實驗更深刻的意義。這就要由愛因斯坦(Albert Einstein)的另一個思想實驗說起。

愛因斯坦可說是利用思想實驗的專家。在1907年,即是他發表狹義相對論的兩年後,他想像有一部升降機,裡面有個可憐的人。突然,吊著升降機的纜繩斷掉,升降機向下自由落體。根據上一節的討論,升降機裡面那個人會「漂浮」了起來,因為他正與升降機一起以相同的速率和加速度向下墜落。有趣的是,如果他仍然有時間思考的話,他會發覺,自己並不能夠分辨究竟是在重力場中自由落體,還是在遠離任何星體的宇宙空間裡真真正正地漂浮著!

愛因斯坦又想像,如果這部升降機和裡面的人真的在空無一物的宇宙深處之中,但升降機以與地球重力加速度同等數值的加速度向「上」加速,那麼裡面的人就會被升降機的地板向「上」推,他會感覺到與身處地球表面一樣的體重。如果他看不到升降機外面的環境,他就不可能分辨自己究竟是在外太空被升降機地板向「上」推,還是與升降機一起靜止地立在地球表面之上!

National Geographic紀錄片《Genius》裡的一幕,描述了愛因斯坦的升降機思想實驗。

愛因斯坦後來稱這個思想實驗為他「一生中最快樂的思想」。根據這個思想實驗,他最終成功在1915年發表完整的廣義相對論。透過這個思想實驗,愛因斯坦驚訝地發現,在局部的情況下,沒有任何實驗能夠分辨重力場和加速度。因此,他下結論說,兩者是等價的。換句話說,重力場就是加速度,加速度就是重力場,兩者是同一個東西。這個發現被稱為等效原理(equivalence principle)。

地球與地球上生活的所有人類一起正在向太陽墜落。當然,就好像上一節討論的太空站環繞地球公轉一樣,地球也永遠不會落到太陽之上。

等效原理說,我們不可能在局部情況下分辨到底地球是在遠離太陽重力場的宇宙空間中,還是正在向太陽墜落。因此,我們不可能感覺到地球正在環繞太陽公轉,因為如果我們能夠感覺到地球公轉的話,就等於說我們能夠分辨重力場和加速度!所以根據等效原理,我們就能夠輕鬆地解釋為何感覺不到地球在公轉。

有一點要注意的是,等效原理只在「局部」(locality)成立。局部的意思是無限小的空間。然而升降機是有一定尺寸的,而且萬有引力的方向是向心、並不平行的。因此,如果在升降機的兩側各放一個蘋果,我們就可以從兩個蘋果相距的距離分辨出升降機到底是在真正無重力的宇宙空間中,還是正在地球重力場中作自由落體。隨著時間過去,如果升降機真的在宇宙中,真的沒有重力作用於兩個蘋果之上,它們之間的距離就應該維持不變;如果升降機是在自由落體,指向地球中心的重力就會作用於兩個蘋果之上,而這兩個力並不是平行的,因此它們之間的距離就應該漸漸縮短。

當然,在現實中是不可能進行這個升降機思想實驗的。但我們仍然能夠從一些自然現象中找出端倪。例如潮汐漲退就是由於月球和太陽作用在地球的不同部分上的重力有所不同而引起的。所以潮汐就是地球真正位於重力場裡的證據。不過,這仍只代表地球在重力場之中,並不代表地球正在公轉,地球也可能是在直線向太陽墜落。然而,若加上地球自轉和星星、太陽、月亮的周日和周年運動,我們就能得出地球公轉的結論。同理,我們感覺不到整個太陽系都在環繞銀河系中心公轉的原因,也是基於等效原理。

最後,如果想用天文觀測證明地球會公轉的話,其實並不太困難。我們可以利用視差法(parallex),在相距半年的時間觀察同一顆星星相對背㬌星空的位置,我們會發現會有細微的變化。這就好像輪流遮住左眼和右眼看同一件物件,會發現物件相對背㬌的位置有所改變。

希望這篇文章能幫助各位釐清關於地球運動的一些物理概念。

鳴謝:感謝小肥波、Edward Ho、Patrick Tsang、Michael Or、TN Kwok的意見和幫助proofread。

延伸閱讀:
Prof. Sun Kwok answers some of the common misconceptions in science》- Sun Kwok
Ask Ethan: Why Can’t We Feel Earth Flying Through Space?》- Ethan Siegel

封面圖片:國際太空站上拍攝的地球,在北卡羅萊納州上有一個颱風。颱風的形成是地球自轉的證據。Credit: NASA

慣性

在我所教導的一門科學通識課程 Our Place in the Universe 裡討論過一個問題:

自古希臘時期,對於宇宙的模樣有兩個主要的觀點:地心說(Geocentrism)和日心說(Heliocentrism)。地心說指地球是宇宙的中心,所有天體都環繞地球運動,而日心說則指太陽才是中心。直到16世紀,西方社會大多認為地心說是正確的。這基於幾點主要原因。一則太陽和所有天體東升西落是一般人每天也看得見的現象;二則天主教廷認為地心說符合聖經,不允許人們討論日心說。

三則比較複雜。當年的學者普遍認為物質分成兩種:地上的和天上的。地上的物質必然向著宇宙的中心(即地球的中心)掉落(縱使他們並不認為地球會運動,但已經了解到地球是球狀的),而天上的物質則環繞宇宙中心運行,不會掉落。因此,假使地球真的在運動(這並不必然代表太陽是宇宙中心),那麼當一個人站在原地不動、掉落一個物件時,該物件理應掉在該人的「後方」,因為在物件掉落的過程中,地球已經運行到另一個位置了。而我們都知道,每次掉落東西時,物件都只會落在自己的腳邊。因此,他們認為地球並不會運動,運動的是太陽。

第一點其實比較容易提出相反的意見,因為西方學者在很早以前就已經知道幾何學上不難建構出一個日心說模型,能夠解釋行星和恆星在天上的運動。他們知道,恆星之間不會移動,只會有每日東升西落的集體運動,而行星卻除了東升西落之外,相對背景星空亦會移動,甚至有時候會出現逆行的情況。事實上行星和恆星的運動方式不同,就是區別出行星的原因,行星(planet)本意指「遊蕩的星星」。到了16世紀,哥白尼提出的日心說模型為了解釋日漸精準的天文觀測(依然只靠肉眼,望遠鏡仍未被用於天文觀測之上),其複雜程度其實與地心說模型(主要是2世紀的托勒密理論)不遑多讓。至於第二點其實是對第一點的補足和對異見的禁制。既然地心說可以解釋天文數據,又得到聖經的背書,那麼它就一定是正確的,因為因上帝啟示而寫出的聖經是不會有錯的。誰提出相反觀點,誰就是異端,需要接受宗教法庭的審判。因此,令社會上大多數人都避談日心說的主因,是天主教廷的極權白色恐怖。

至於第三點,人們本以為這是個無懈可擊的論點,因為即使拋開上述兩點,地球不動這個經過實驗驗證的結論似乎也是堅不可破。然而17世紀的伽利略做了個很簡單的實驗,證明這個論點有一個根本性的問題。

伽利略的實驗非常簡單,你我也可隨時重複這個實驗:在一艘行進中的船上掉落一個物件。結果所有人都知道,就是物件會掉落在腳邊,就如同站在地面上靜止不動時,掉落物件的結果一樣。然而,如果我們不是與伽利略一起在船上,而是站在岸上看著伽利略在船上做這個實驗,我們看見的物件軌跡就不是一條直線,而是一條拋物線,因為船正在行進當中。

因此,基於同樣道理,即使地球在行進當中,掉下的物件都會與地球一同前進。伽利略發現了慣性定律

這裡有一點要注意。我留意到有些同學會以為這實驗證實了地球在運動,但這是個錯誤的結論。伽利略這實驗所證明的,只是上述「認為日心說是錯誤的第三點理由」並不成立。既然船是在地球表面運動,那麼無論假設地球動或不動也好,物件都應該掉落在船的後方。因此,物件隨船的行進方向掉落的這個結果,只代表地球並不一定不動而已。話雖如此,這個結論在當年的人們來說是震撼性的,因為它顛覆了古希臘(主要以亞里士多德和托勒密為首)的物理理論。

慣性(inertia)的發現,可說是現代物理學正式誕生的一刻。牛頓力學和愛因斯坦的相對論,都把慣性參考系放在一個特殊的地位,與其他非慣性參考系分隔開來。簡單地說,慣性就是一個物體維持其運動狀態的傾向。或者(不太嚴謹但又不太離譜地)我們可以說動量(momentum)就是量化慣性的方法。直到愛因斯坦在1915年發表完整的廣義相對論,才對慣性和非慣性參考系之間的異同有更深的了解。

在傳播科學知識的過程中,我也發現了人的另一種「慣性」。那是一種思考的慣性。我發現(包括我自己在內)人會以習慣的方式去思考問題。換句話說就是雖然最終結論可能是一致的,但各人會以不同的思路出發,著重重點可能都不相同。不過這是完全沒有問題的。正因為不同的人會有不同的思維模式,世界上人與人之間的交流才會這麼豐富和有趣。

最常見利用不同思路達到一致結論的領域,應該是數學和科學。數學有邏輯上的絕對性,科學亦有大自然作為最高法院,兩者的真確性並不受人類的意見所左右。這就好像用兩種方法證明同一個數學定理,或者用兩種實驗證實同一個科學理論。

但令我不解的是,有種思考慣性是會傾向把事實扭曲來迎合個人立場。當事實與他們的認知不同的時候,他們會更堅定地相信自己的想法,否認事實或者用各種陰謀論去解釋事實與他們的信念之間的落差。心理學裡,這叫做 backfire effect。

我舉一個例子。有些人到現在仍然相信地球是平的、是宇宙的中心,他們會用上述第三點去反駁「地球環繞太陽運行」的客觀科學事實,但他們同時亦能理解物理學中的慣性定律。他們也會利用牛頓力學駕駛車輛,卻不理解這在一個平的世界上會導致什麼不同的結果;會運用應用了廣義相對論的全球衞星定位系統,卻不相信人類曾上太空;會相信自己 Google 出來的陰謀論是正確的,卻認為同樣能被 Google 出來的科學資訊都是謊言。這種對固有想法的「慣性」有可能是人類演化遺留下來的自我保護機制,不惜犧牲事實、邏輯和理性也要「捍衛」自己的信念,甚至認為自己才是「理性」的,其他人要不是被陰謀論所欺騙,就是參與陰謀論的一份子,迫害他們這群「覺醒者」。

發現物理學的慣性定律是人類邁向現代文明的里程碑。我希望人人都能拋開對固有想法的「慣性」,保有理性的自由意志,開創人類未來新的一頁。

封面圖片:1636年 Justus Sustermans 所畫的伽利略人像。

延伸閱讀:
重力是什麼?愛因斯坦的廣義相對論》——余海峯

給妳機會說服科學界占星是科學

我經常說,我們這班真正的科學家是牆頭草,天下間變臉最快的騎牆派。

只要妳能解釋以下幾點,我保證科學界會立即把占星加入天文學教科書之中,妳也可以準備好接受諾貝爾獎的講稿。

一、離太陽系最近的恆星是比鄰星,距離4.2光年。請問離地球至少4.2光年的恆星們,以哪一種基礎交互作用影響人類今天的運程?

二、不單止水星,所有行星都會逆行,原因與駕車時超車,被超越的車看上去會逆行一樣,是錯覺。請解釋地球超越行星引起的這種錯覺,以哪一種基礎交互作用影響人類今天的運程?

三、地球自轉軸有個以26,000年為週期的運動,叫做進動,或者中文比較常叫歲差。因此,幾千年前的黃道(太陽一年在天上的軌跡)與現在不同。黃道十二宮現已變成十四宮,而且每個人出生的黃道星座都偏差了一個月,請問哪一種基礎交互作用,能夠以何種機制修正這個誤差,從而影響人類今天的運程?

我幫妳答吧。

第一道問題,妳需要在以光年計的宏觀尺度,以整體人類規模示範量子超距作用。絕對超越諾貝爾獎級別。成功的話造出量子電腦對妳來說易如反掌,妳發達了。

第二道問題,妳需要證明廣義相對論是錯的,地球本身是個絕對參考座標系。超越愛因斯坦和霍金的諾貝爾獎級別。

第三道問題,妳需要比《流浪地球》更強大的科技,在全地球人不知不覺的情況下移動地球。太陽系的和平都靠妳了,還管他什麼鬼諾貝爾獎?

最後,以上所有問題都關乎對物理學的基本粒子標準模型作出史無前例的大修正,亦能夠幫妳再賺多幾個諾貝爾獎獎座。到時候,獲得三個諾貝爾獎獎座的居禮家族也要排到妳後面去吧。

理科太太,妳說呢?

延伸閱讀:

《理科太太與唐綺陽》-Kayue

別混淆「差的科學」與「偽科學」》-余海峯

玻璃中的天文物理:約瑟.馮.夫琅和費(Joseph von Fraunhofer)

宇宙間一切物質,包括天上都星辰和地球上的生命,都是由同樣的原子所構成。原子的數量非常、非常多,我們每呼吸一口氣,就有比可見宇宙裡所有恆星的數量更多的原子進入我們的身體。原子有不同種類,構成地球上一切生命的主要原子是碳、氧、氫、氮等等,而構成恆星的也差不多都是這幾種原子,只不過各種原子數量的比例跟人體不大相同而已。

牛頓使我們知道,宇宙間一切都遵守相同的物理定律。可是,同時代的人卻不知道天上的恆星是否也由同樣的物質所構成。不,在二十世紀以前,原子亦並未被證實存在。天文學剛與迷信占星分道揚鑣,利用星光研究天體的運行秩序,而物理學則剛被伽利略和牛頓等人發明,利用物理定律研究地球上的現象。那麼,天上的現象呢?

牛頓死後60年,約瑟.馮.夫琅和費在巴伐利亞慕尼黑附近的斯特勞賓(Straubing)出生。由於父母雙亡,他在11歲時就要到慕尼黑的一間玻璃工廠工作。工廠的老闆非常刻薄,更不准他上學,而他只能住在老闆家中。不幸地,或者應該說幸運地,這房子在夫琅和費14歲時的一個晚上倒塌了,夫琅和費被困於瓦礫之中。當時的巴伐利亞候選帝馬克西米利安一世(Maximilian I)帶領營教,把夫琅和費教了出來。

馬克西米利安買書給夫琅和費,並派人協助他的一切所需。馬克西米利安的介入使工廠老闆不得不讓夫琅和費上學。後來,夫琅和費成為了出色的光學物理學家,他製造的玻璃鏡片品質在當年使巴伐利亞領先全世界,已經成為巴伐利亞國王的馬克西米利安一世繼續支持夫琅和費的研究,更把他的玻璃鏡片製造技術列為國家機密。

1814年,夫琅和費把棱鏡放在望遠鏡前面觀察太陽(這是相當危險的,讀者千萬不要模仿),這就是世上第一台光譜儀。白色光線穿過棱鏡分成彩色光譜,是牛頓當年的發現。夫琅和費更進一步,他透過光譜儀觀看太陽光譜,發現裡面有很多黑色的線。換句話說,太陽光譜並不是連續的,而是有著許多「空隙」。太陽光譜中的這些黑線,被稱為夫琅和費線。

夫琅和費亦發現,在火焰發出來的光之中也可以看見黑線。他繼續研究,發現其他恆星的光譜裡亦含有黑線,但黑線的位置各不相同。因此,他認為黑線並非地球大氣的影響,而是來自恆星本身。天上的物質,原來與地球上的物質一樣。

夫琅和費是首個發現和研究恆星光譜的人。今天,研究恆星光譜並應用物理定律去解釋天體構造的學科,就是天體物理學。夫琅和費結合天文與物理,創造了天體物理學這門新學問。可是,夫琅和費並不能解釋這些黑線的成因,要一直到19世紀中期,科學家才發現黑線是原子的吸收光譜。原子中的電子會吸收特定頻率的光線,由於不同原子的電子結構都不同,所以如果各恆星中蘊含的元素有所分別,它們的吸收光譜也就彼此相異了。

夫琅和費因早年在玻璃工廠惡劣環境下工作而導致重金屬中毒,於1826年病逝,年僅39歲。如果夫琅和費沒有在玻璃工廠工作,會不會有更多發現?或許,那樣他就不會得到馬克西米利安的協助,利用玻璃鏡片發現天文和物理的關聯?

封面圖片:夫琅和費展示他的光譜儀。(Richard Wimmer “Essays in Astronomy”)

哈雷的終極科學武器

你有看過哈雷彗星嗎?我還未有機會一睹這著名彗星的風采。哈雷彗星上一次到訪內太陽系是在1986年,我出生之前一年。哈雷彗星每76年就會經過內太陽系,下一次在地球上看到它的機會將會在2061年中。

科學家找到能夠解釋自然現象的定律。利用這些定律,人類除了能理解宇宙如何運作,更可以創造出新的事物,推進我們的文明。當我們需要解決問題時,科學往往是最有效的辦法。究竟是什麼因素把科學和盲目猜想區分開來?畢竟,能夠描述現象的並不只有科學,而且創造新事物亦非科學的專利。

艾蒙.哈雷(Edmund Halley)使用牛頓新發現的萬有引力定律計算出許多彗星的軌道。他於1705年發現一顆曾於1682年出現的彗星與出現於1607年及1531年的是同一顆,週期為76年。因此,哈雷在歷史上首次使用科學的終極武器:預言。

哈雷預言這顆彗星將於1758年重臨。哈雷作出的並不是一般在報章上讀到的占星運勢、模棱兩可的偽科學瞎猜預言。他給出了精確的彗星重臨日期、時間、方位以及彗星的軌跡,任何人都可以在1758年觀察並實實在在、客觀地利用數字精準驗證哈雷的預言。果然,哈雷彗星在1758年12月25日被天文學家於哈雷預言的方位發現,只可惜哈雷早已在1742年與世長辭。

一個好的科學理論,應該不單能夠描述已知的自然現象,更可以用來預測從未被觀察過的現象,指導科學家進行實驗或者觀察。這就是科學可靠的原因。

《復仇者聯盟3:無限之戰》中最強的是雷神索爾?(不戴手套的話)

此文章為我的泛科專欄《動漫物理學》文章,原文於 2018 年 5 月 8 日刊於泛科學

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如果你已看過《復仇者聯盟3:無限之戰》,想必已經知道⋯⋯

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好了,如果你還未看過,請馬上點擊「上一頁」。

電影中,身為奧丁之子的雷神索爾為了打敗薩諾斯(Thanos,也譯為滅霸、魁隆)為眾人復仇,與銀河守護隊的火箭浣熊和格魯特來到尼德威阿爾(Niðavellir)找矮人鐵匠幫忙鑄造新的雷神之鎚「風暴毀滅者(Stormbreaker)」。

根據威漫官方資料,舊的雷神之鎚「妙爾妮爾(Mjölnir)」是由「Uru金屬」鑄造的。天體物理學家尼爾.德格拉斯.泰森(Neil deGrasse Tyson)猜測Uru金屬可能是中子星的核心物質,即超導超流簡併態,不過後來一位北歐神話教授指出這是錯誤的猜測。(順帶一提有趣的是,泰森曾在DC超人電影中飾演他自己XD)

然而,尼德威阿爾上的矮人幫忙薩諾斯鑄造無限手套之後,就被全部殺害,剩下的一人也被奪去雙手,只能以金屬義肢代替,失去了鑄造武器的能力。這個工廠以一顆「垂死的恆星」作為能量來源,可是工廠已停止運作,而失去雙手的矮人亦無法修理。索爾必須修好工廠,並協助矮人鑄造出風暴毀滅者。

雖然這些劇情好像很公式化,但也正好令我們能試試估計一下察索爾的力量到底(至少)有多強!

官方並沒有解釋「垂死的恆星」到底是指什麼,不過從覆蓋著恆星的工廠大小,我們可以假設這是一顆中子星。中子星是恆星演化的其中一個終點。高質量恆星的核心形成鐵元素時,會失去抵抗重力的氣體和輻射壓力,恆星外殻就會坍縮,與密度極高的核心碰撞反彈,在幾秒鐘內釋放出比整個銀河系所有恆星更多的輻射。這個過程就是超新星爆發。

超新星爆發後,恆星大部分質量都會被拋到宇宙深處,成為孕育下一代恆星、行星,甚至生命的星塵。剩下來的核心有可能變成中子星,直徑通常只有約20公里,大概一個紐約市的大小,可是質量卻相當於一兩個太陽。由於中子星密度極高,它的表面溫度也非常高,大約為60萬度。

密度高也就代表重力強。從電影中估計,索爾打開覆蓋中子星的閘門時,離開中子星的距離頂多只有幾百米。假設該中子星與我們的太陽一樣重,並且半徑為10公里,那麼在其表面100米高的距離,重力就是地球表面的1千3百億倍!能夠在1千億倍的重力下徒手打開能抵受中子星重力的巨大閘門,索爾的力量已經不是任何生物能夠比較的吧!

「最強復仇者」明顯是索爾啊,東尼.史塔克!

我們知道一個物體所輻射出的光譜與其表面溫度有關,這就是馬克斯.普朗克(Max Planck)在1900年發現的黑體輻射定律(Blackbody Radiation Law)。例如我們都知道在煮食時,溫度較高的火的顏色偏藍,較低溫的火則偏紅,因為黑體輻射光譜的峰值會隨溫度移向偏藍、較高能量的光。又例如我們的太陽表面溫度約為6千度,其黑體輻射光譜峰值位於綠色可見光。

  • 一個小小的測驗題:既然太陽光譜峰值在綠色,為什麼我們見到的太陽是橙紅色的?

表面溫度為60萬度的中子星,其黑體輻射光譜峰值已遠遠超出可見光範圍,位於X射線的波段之內。因此,中子星釋放的能量,絕大部分是X射線。X射線能量非常高,是比紫外線更致癌的輻射。索爾是有帶特製的防曬油的吧?

利用斯特凡—波茲曼定律(Stefan-Boltzmann Law),我們可以計算出不同表面溫度的恆星釋放出的輻射功率。而根據計算,中子星表面的黑體輻射功率為每平方米7千萬億億億瓦!與之比較,地球每平方米接受太陽照射的功率只有,呃,1千多瓦……

  • 除了黑體輻射,其實中子星還有以其他方法產生的輻射,例如由極強磁場產生的同步輻射等,在此暫且不提。

就算不計其極強的重力,索爾能夠抵受7萬億億億倍的太陽光輻射而不被烤成一堆基本粒子,根本就已經是逆天強橫好不好!而且實際上,根據廣義相對論,中子星附近的時空會被扭曲至極端狀態,反方向輻射也會照到索爾身上,因此實際數字會比以上計算更多!

物理證明,最強復仇者雷神索爾,實至名歸!

奇犽 X 落雷 X 皮卡丘:誰比較會放電?

此文章為我的泛科專欄《動漫物理學》文章,原文於 2017 年 11 月 29 日刊於泛科學

冨樫義博的作品《獵人(Hunter x Hunter)》可謂漫畫界的神作,如果不是長期休刊的話其成就定不止於此。我由中學開始到現在博士都畢業兩年了,獵人還在無盡的連載/休刊循環之中。看來以後可以研究一下,究竟宇宙的熱寂死亡還是獵人結局會首先發生?

不過現在我們還是專注在比較狹窄的物理題目之上吧:之前提過神奇寶貝球是恐怖的虐待動物道具(?),不過小精靈之中有一隻例外能夠避免被收進寶貝球之中,就是會放電的皮卡丘。而獵人主角之一的奇犽是變化系的念能力者,能夠把念變成電,可說是人類版本的皮卡丘啊。

一千隻皮卡丘還是一次閃電比較厲害?

皮卡丘的絕招是「10 萬伏特電擊」和「落雷」,兩者都是積蓄電量達到某程度然後一次過遠距離放電攻擊的招式,落雷看起來就是跳到高空然後向地面放出 10 萬伏特電擊,與一般閃電類似。

在地球上,一般比較強的閃電約有 1 億伏特(108 V)的雲與地面的電勢差(即電壓),是 10 萬伏特(105 V)的 1,000 倍,原來皮卡丘還是比不上大自然呢。順帶一提,不要以為只要有 1,000 隻皮卡丘同時使出 10 萬伏特電擊就夠 1 億伏特啊!電壓指的是兩點之間的電勢差距,如果 1 隻皮卡丘與你的電勢差是 10 萬伏特,1,000 隻皮卡丘與你的電勢差也各自是 10 萬伏特。(問:煮 1 隻蛋要 5 分鐘,煮 10 隻蛋要幾分鐘?)

由於功率 = 電壓 x 電流,我們必須知道皮卡丘放出的電流。現實之中,1 條電鰻能夠持續 2 毫秒放出 1 安培的電流。然而電鰻只有約 860 伏特,因此其放出的電能就是:

功率 x 時間 = 電壓 x 電流 x 時間 =  860 x 1 x 0.002 = 1.72 焦耳。

考慮到皮卡丘應該比電鰻厲害(?)我們就假設皮卡丘的功率是電鰻的 10 倍好了。皮卡丘攻擊時間一般長達 1 秒,因此 1 隻皮卡丘使出 10 萬伏特電擊所釋放的電能就是 :

功率 x 時間 = 10 x 860 x 1 = 8,600 焦耳。

因此,被 1,000 隻皮卡丘攻擊與被閃電打中所吸收到的電能是 860 萬焦耳。哇,不得了!然而,一般閃電所釋放的電能約為 50 億焦耳。這相等放出 581,395 隻皮卡丘放出 10 萬伏特電擊的總能量。效果不同啊,好好記住了啦!

奇犽和皮卡丘,哪個會被拒絕登機?

那麼奇犽呢?奇犽的絕招也是「落雷」,曾經用來攻擊兵蟻。嵌合蟻篇後期更發展出繞過大腦用電直接控制肌肉的絕技「神速」,以落雷和神速封鎖三護衛之中的蒙圖圖尤匹(モントゥトゥユピー),在念量差距極大的情況下打得尤匹全無還擊之力,玩弄對手於肌掌之中。由此可見,放電是種非常強勁的招式。

與天生能發電的皮卡丘不同,奇犽的電力是由念能力變成的。根據由尼特羅前會長創立的心源流派詮釋,念能力者的會隨修煉「四大行」而變強。奇犽必須用「練」把念量增強,然而用「發」把念變成電。因此,奇犽所能夠放出的(念)電量根據其的精神和身體狀況而變。能夠被尼特羅承認加入嵌合蟻討軍的奇犽,想必不會比 1 隻皮卡丘弱吧,因此我們先假設奇犽同樣能夠在一瞬間產生 10 萬伏特的電壓。

奇犽對戰過的對手之中,最強念量的非王三護衛之一的尤匹莫屬了。尤匹是由純魔獸合成的嵌合蟻,而奇犽曾使出落雷麻痺尤匹,在千鈞一發救了拿酷戮。一般人如果接受 10 毫安培電流 2 秒就能使肌肉失去控制,考慮到尤匹的逆天強橫就算 50 毫安培好了。然而在念的對戰中,不可能持續放出 2 秒這麼久的時間才使尤匹麻痺,估計奇犽落雷持續時間只有最多 1 秒(因為奇犽的電是以念變成的,因此令空氣放電的最低條件不在此限)。因此,我們合理地猜測奇犽使出落雷時放出的電能為:

功率 x 時間 = 電壓 x 電流 x 時間 = 105 x 0.05 x 1 = 5,000 焦耳。

奇犽對戰尤匹時以超越尤匹的超高速一邊閃避、一邊使出足以令尤匹麻痺的雷電攻擊。假設這段時間中每一招都需要 5000 焦耳上下的能量,那麼從漫畫中可見約不會超過 30 秒的過程之內,奇犽大約花了 5,000 x 30 = 150,000 焦耳,這大約就是奇犽的總電能。

根據國際航空運輸協會(IATA)的指引,超過 32,000 毫安時 = 115,200 焦耳的行動電源是禁止攜帶登機的。奇犽原來是不可以搭飛機!不過無所謂啦,他家超有錢的,當然有私人飛船吧,同時可別忘了他有獵人執照可以獲得豁免。

我們已經算出皮卡丘使出 10 萬伏特電擊所釋放的電能是 8,600 焦耳,約比奇犽的落雷強一點。考慮到皮卡丘在一場比賽(殺戮?)之中只能使出不多於 10 次 10 萬伏特電擊(畢竟是絕招嘛),皮卡丘的總電能最多是 86,000 焦耳,只有奇犽的一半,少於 IATA 規定的 115,200 焦耳。皮卡丘是可以攜帶登機的啊,太好了!

一個是人類的好拍擋寶可夢,一個是身經百戰的獵人,當然還是奇犽比較強一些啦!

最後,希望大家記著尼特羅前會長的訓導:「獵人必須狩獵。」努力向著寶可夢大師⋯⋯呃,努力守護亞路嘉啊!

使用縮小燈一定有風險,申購「縮小人生」前應詳閱公開說明書!

此文章為我的泛科專欄《動漫物理學》文章,原文於 2017 年 10 月 26 日刊於泛科學

上回我們討論了虐待寶可夢的寶貝球,這次就暫且先不用打電話報案,我們來討論一下把動物縮小的物理學吧。

除了寶貝球這種殘忍的道具之外,哆啦 A 夢就顯得溫柔許多,他有兩個比較溫和的道具能夠把物件縮小,分別是縮小燈和縮小隧道。任何物件只要穿過縮小隧道都會變小,而被縮小燈照到的任何東西除了會被變小也能被變大,是比縮小隧道方便得多的法寶。

許多模型並非物件縮小版本

很多模型都只能夠觀賞,缺乏實際功能。即使火車模型能夠在模型路軌上行駛,其各部件的運作方式亦與真實火車不同。再者,製造模型的物料亦不會跟實物相同。

所以,其實我們平常在模型店買得到的模型,絕大部分都不是「物件的縮小版本」,而是「以某比例表現物件外觀的製品」。當然,這認知絲毫沒有減低我購買鋼彈模型的意欲。

很明顯地,這些能夠縮小物件甚至生物的道具,並不會把物質的組合成份改變,否則生物就活不了。如果縮小後物體的構成不改變的話,有兩個可能性。第一個可能是所有粒子都縮小了。這可能嗎?

縮小粒子意味改變物理定律?

物理學家發現,宇宙間的粒子存在著規律。他們發現除了構成所有化學元素的原子之外,還存在著非常多種粒子。起初,物理學家非常興奮,可是隨著更多新粒子不斷被發現,他們就面對了一個難題:為什麼會有這麼多種有著不同性質的粒子?

不過,當理論粒子物理學家結合量子力學和群論(group theory),一種研究數學「物件」的集合間的規律的數學分支,就發現原來存在於宇宙中的一切粒子都遵守著同一個規律。他們叫這規律做物質的標準模型(standard model)。

原來,根據標準模型,所有粒子都是「點」,即是沒有大小的!那為何物質會有著非零的尺寸?答案就在粒子之間的力。

宇宙間的四種力,由強到弱分別為強核力、電磁力、弱核力、重力。四種力不單有著不同的大小,其影響範圍都不盡相同。因此,兩個粒子只有在某距離之內,才會感受到顯著的力。這個範圍就可說是該粒子的尺寸。亦因此,「尺寸」其實並非粒子的基本性質,而且以各種力所定義的尺寸都會有所不同。

因此,如果要改變構成宇宙萬物的基本粒子的大小,就必須先把這個宇宙的物理定律全部改寫。同理,亦不可能在不改變物理定律的情況下把粒子放大。縮小燈和縮小隧道只會縮小特定物件,看來並沒有改變物理定律吧?

能把人縮小的都是極危險道具?

所以,我只能假設這些道理實際上是以第二個可能性:減少物件的構成粒子數量來實現縮小吧。所以我們可以問,構成一個物件的原子數量有下限嗎?

答案是肯定的,一個原子就只能是一個原子,我們不可能只用一個原子就組合成各種東西吧。不過,現代科技的確發展到能把某些工具縮小至非常小的尺寸。早期提出這個構想的其中一位科學家,就是著名物理學家理查.費曼(Richard Feynman)。

當年,費曼曾經提供獎金給造出微型馬達的人,條件是該馬達能夠在顯微鏡下正常運轉。出乎他意料之外,很快就有人成功拿走獎金。今天,科學家和工程師們已經造出比人體細胞更小的電動馬達,能夠以壓電效應產生電力。科學家希望在不久的將來,這種馬達能夠幫助醫生把藥物準確地運送到特定細胞裡。

不過,微型馬達與一般馬達的構造完全不同。說到如何能夠以最少數量的原子製造出同一構造的物件的微縮版本,很大程度取決於該物件的複雜性。明顯地,一台汽車引擎比一本書更為複雜,所以我們可以合理地想像,同樣構造的一本書能夠比同樣構造的一台引擎縮得更小。

那麼,人體又如何?生命有著非常複雜的構造,特別是我們的眼睛和腦袋。其中腦袋的神經元更多達千億,它們之間可能的連接方式數量比宇宙中的粒子數量更多。所以,如果把人以減少粒子的方法慢慢縮小,我想不用縮得太小,腦功能早就完蛋了。

這些道具輕則能把人變傻,重則能使人完全喪失腦功能,嚴重危害健康,各位務必放在孩童不能觸及之處啊。

而即將在 2018 年上映的電影《縮小人生》的概念與哆啦 A 夢的縮小燈和縮小隧道非常相似,不過就這樣看預告片段,會發現一件有趣的事情:縮小了的人類除了身體縮小了外,其他一切生活都顯得非常正常,感受到的物理定律沒有絲毫改變!這是可能的嗎?例如,會不會只是一點點風就像刮超級颱風?縮小後還能如常喝水喝伏特卡嗎?敬請期待我明年將為泛科學寫的《縮小人生》電影物理解構!

寶貝球是好用的神器,還是殺人的兇器?

此文章為我的泛科專欄《動漫物理學》文章,原文於 2017 年 9 月 20 日刊於泛科學

每個人的夢想都是有一天,有位教授會叫你不要讀書了,去環遊世界、捉些叫做神奇寶貝(編按:今年起大家較熟悉的稱呼為精靈寶可夢,不過「神奇寶貝」果然是一個時代的共同回憶啊)的小動物、然後成為最厲害的神奇寶貝訓練員吧!這些神奇寶貝會放電、放火、噴水、催眠,更懂得聽人類說話。我們會把牠們放在一個手掌般大小的金屬球中,牠們長期不見天日,唯有當我們把金屬球扔出去開打的時候,牠們才能出來透透氣。請問防止虐待動物協會電話幾號啊?

讓我們來看看神奇寶貝訓練員是如何虐待動物(誤)的吧。

寶貝球是愛斯基摩冰屋?

由於寶貝球是球狀的,我們可以先假設內裡的空間也是球狀的。一個球狀的起居室似乎會很不方便,所有東西如果沒有釘在牆上,就會向下半球的底部中間滑落,而且在球內的神奇寶貝別說自由活動了,根本連移動都有困難啊。不好意思,可以幫我拿吊在天花板上的可樂嗎?

如果想把寶貝球裡的「地板」弄成平坦的,而且想要得到最大實用面積的話,就必須把寶貝球分成上下兩等份。咦,那不就可以一個寶貝球住兩隻神奇寶貝嗎?神奇寶貝的起居室就像個博物館天象廳,用來觀看 360 度天幕電影相當不錯!

如果寶貝球是個直徑約 10 公分的球體,起居室的直徑就有 10 公分、高 5 公分。然而,神奇寶貝的體型有的小如老鼠、有的卻大如巨龍。想要神奇寶貝在寶貝球裡住得舒適,就必須以不同的縮小率去縮小牠們。假設把所有神奇寶貝一律縮至約 3 公分高,只要能夠忍受有個球狀的天花板的話,寶貝球就好像一間 102 平方公尺的愛斯基摩冰屋了,好大啊!我也可以搬進寶貝球嗎?

寶貝球內的雲霄飛車

等等!如果寶貝球是放在大木博士的研究所還好,但如果是放在各位神奇寶貝訓練員身上,跟著他們跑來跑去的話,寶貝球似乎就沒有那麼好住了。一個人走路時,身體會有上下、左右擺動和扭動。對我們來說,這些振盪能夠勢助我們平衡身體。

例如,當我們踏出右腳的時候,我們就要向前擺動左手來減少身體的扭動。這同時也幫助我們節省能量,因為身體減少扭動就代表不用太使力,所以作的功就能夠減至最少。

不過,踏步時也少不免會造成身體重心「輕微」的上下振動。除非在跑步,這種振盪一般不會超過幾公分。可是,對於人體來說「輕微」的幾公分振盪,對於住在寶貝球內的好朋友就一點都不「輕微」了。住在寶貝球裡的神奇寶貝被縮小至約 3 公分高,那麼就算只有 1 公分振幅的振盪,就好比騎馬時那隻馬不停地邊跑邊跳、又或者是在做高速雲霄飛車一樣的感覺吧?

愛因斯坦的寶貝球

再考者,把寶貝球扔出去的時候,應該就像是整間房子被龍捲風捲起的感覺吧。在寶貝球離開神奇寶貝訓練員的手瞬間,就是個自由落體了。根據愛因斯坦的廣義相對論,自由落體𣎴會感受到自己的重量。換句話說,神奇寶貝、寶貝球裡的所有東西、連同寶貝球本身都以同樣的加速度下降。

我們扔球的時候,通常都會令球在空中旋轉,這樣可以穩定球在空中的軌跡。如果寶貝球有旋轉的話,就可以造出一個向牆壁方向的離心力(注意離心力不是真正的力,造成離心力的原因只是因為慣性)。這就像在很多科幻電影中看到的太空船一樣,以自轉來產生人造重力(其中最經典莫過於 1968 年上映的《2001 太空漫遊》)。如果愛因斯坦是神奇寶貝訓練員的話,他那著名的自由落體電梯思想實驗,恐怕會變成自由落體寶貝球思想實驗吧?

因此,當寶貝球被扔出去時,神奇寶貝首先會被衝上來的牆壁撞倒。然後,牠會因離心力而被貼在牆上,沿著一道拋物線的軌跡飛到敵人前面。

神奇寶貝訓練員的手放開,「去吧,噴火龍!」只看見躺在地上、頭破血流、一動不動的噴火龍,和旁邊一堆嘔吐物和血液混合而成的東西。

片尾音樂響起,加油啊,努力向著最強神奇寶貝訓練員的目標前進吧!

《進擊的巨人》物理學(下):巨人的密度和科幻的意義

此文章為我的泛科專欄《動漫物理學》文章,原文於 2017 年 8 月 18 日刊於泛科學

__________微劇透__________

指數比巨人更恐怖

在我們的世界中,以現在人類對大自然的科學知識,還沒有辦法進行高維度的物質傳送。因此就必須要憑空產生出額外的物質,無可避免地用到愛因思坦的質能互換定律 E=mc2。可是,這又會引起另一個問題:產生質量的能量太過龐大。這是因為質量與高度立方成正比,所以變出越來越高大的巨人所需的能源是以指數上升的。

讓我來說個比巨人更恐怖的故事。從前有個國王想要賞賜黃金萬貫給他的大臣。其中一位大臣說,我不要黃金萬貫,只要一個棋盤,第一個方格上放一粒米,希望國王能夠答應每天賞賜比前一格多一倍的米就足夠了。國王聽了說沒問題,這不太簡單了麼,我國糧食儲備十年也吃不完!就著人給了這位大臣第一天的賞賜:一粒米。

第二天,大臣來領賞賜,於是拿到了第一天的兩倍:兩粒米。第三天,四粒。第四天,八粒。第五天,十六粒。就這樣,大臣每天都來領米,國王覺得這位大臣真的傻了,有黃金萬貫不要,只要區區的幾粒米!

過了三個禮拜,負責糧倉的官員來找國王,說大事不妙了,我們快沒有糧食了。國王就問,怎麼可能?我們的儲備十年也吃不完啊!官員就說,沒錯,第一個禮拜,大臣只拿到了兩百五十四粒米,可是第二個禮拜就已經三萬二千七百六十六粒了。今天,他剛拿走了二百零九萬七千一百五十二粒米,總計已拿了四百一十九萬四千三百零二粒米了。棋盤有六十四格,可只是到了一半即第三十二天,他就會拿到共八十五億八千九百九十三萬四千五百九十粒米!到了最後一天,我們就得給他總共三千六百八十九京三千四百八十八兆一千四百七十四億一千九百一十萬三千二百三十粒米!

然後國王就被嚇死了,這就是指數的力量。

我們世界裡的巨人  竟然會比空氣密度更低?

延續著上一篇文章「《進擊的巨人》物理學(上):變身巨人的那一刻就註定了人類的勝利?」的討論,就讓我們看看巨人究竟有多重吧!

《進擊的巨人》的作者諫山創也曾想過巨人如果與一般人類密度相同是否會太重的問題。於是在漫畫之中,也曾明示過「巨人比想像中輕」。

60 米高的超大型巨人身高是 1.7 米高的人類的 60/1.7=35.29 倍,即約 2 的 5 次方多一點。再把這數字立方,即是 2 的 15 次方,即是國王故事裡差不多兩個禮拜的倍數,大約就是幾萬。可是,E=mc帶來的能源問題,並不是把巨人變輕一點點、或者輕幾倍、幾十倍就能解決的。這是因為光速實在太快了:使用國際單位制時,光速的數值是 3 後面跟 8 個零。所以,即是變出每 1 公斤的質量,就需要 E=(1)c2,即 9 後面跟 16 個零這麼多的能量。

所以,我們不要忘了還有 c這個因子,因此我們必須再在幾萬後面補上 16 個零(還要乘 9),得到的就是有 20 個零以上的天文數字了。我們就算有 20 個零好了,就算你把超大型巨人變得「比想像中輕十萬倍」,也還有 15 個零。

結論是,我們的現實中沒有高維度物質傳送,也不可能用 E=mc去變出巨人。所以這次我們就不是假設密度不變,而是質量不變。跟上次一樣,我們只要使用密度=質量/體積,就能夠計算出各種巨人的密度。

對於一個 3 米級的巨人,其體積是一個 1.7 米高的人類的 5.5 倍。如果要維持質量不變,那麼 3 米級巨人的密度就是人類的 1/5.5=0.18,即是只有人類的18%。以人類平均密度大約為  0.95 g/cc 去計算(g/cc 即是每立方厘米克),3 米級巨人的密度就是每平方米 0.17 g/cc。順帶一提,一個大氣壓力下、攝氏 15 度的水的密度是 1 g/cc,這就是為什麼人體是會浮在水面上的原因。而巨人受到的浮力就更加強了,想潛水基本上是不太可能的。

那麼 15 米級的巨人呢?體積是人類的 687 倍,密度是人類的 0.1%,即是 0.0014 g/cc。一個大氣壓力下、攝氏 15 度的大氣密度是 0.0012 g/cc,所以 15 米級巨人的密度原來跟空氣差不多,被其打中應該就像颱風時站在街上的感覺吧⋯⋯

最後,當然少不了大家最關心的超大型巨人了。體積是人類的 44,000 倍,密度就只有人類的 0.0022%,即 0.00002 g/cc。這不就是只有大氣密度的 1.8% 嘛⋯⋯這樣的話,如果超大型巨人真的出現,我們頂多也只會看見一團非常輕薄的肉色氣團,被打中也是不會有什麼感覺的。而且,因為其比空氣密度更低,所以會慢慢升上天空,很恐怖的說⋯⋯哇,什麼時候變成鬼故事了?

科幻是科學的翅膀

在前一篇的文章刊登後有許多的討論,有人曾評論我說「不尊重科幻作品」,我尊重他們發表意見的權利,亦欣賞他們對科幻作品的熱誠。我相信,這種熱情亦是推動好奇心的源動力。而我同時認為,如同《進擊的巨人》這樣好的科幻作品,是能夠激起人們思考科學、社會問題,再應用於我們所生存的這個世界之中的。

我希望藉著有趣的動漫題目,吸引各位思考科學原理。這當然就不是說我要破壞原作者的創作。誰不知道在作品當中,作者就是神、就是物理定律?我們會不會把科普文中提到的科學問題傳給作者叫他修改作品?不會,因為我們明白探討的題目是「如果在我們這個世界打出一記認真拳/打出龜派氣功/變身成為巨人,會發生什麼事情呢?」

就如同從前科學仍未發達的時候,登陸月球被視為幻想。有小說作家幻想登上月球,我們不會去攻擊他「不科學」,而是把這個幻想當成思考科學問題的機會,改善我們的科學技術。想必有些人曾經思考過「如果我們真的能夠飛上月球,會發生什麼事情呢?」

最終,阿姆斯壯踏出了人類的一大步;幻想,成了真實。

科幻絕不應只幻不科。其實,我自己也是《進擊的巨人》的粉絲。吸引我的,除是了那些刺激的戰鬥場面外,也是那些叫人反思現實的情節。高牆和巨人,都一一暗喻了許多發生在我們身邊的社會問題。我們會把作品中對社會的描寫化作現實的反思,為什麼我們不能把作品中的科幻化作現實科學的思考?這樣,科幻才能成就科學。

我相信,這就是科幻的意義。

其實,很多科學家也是科幻故事、漫畫、小說等的粉絲。如我上述,欣賞科幻作品和思考科學問題並非對立。科幻作品是科學進展的翅膀,驅動著人類對大自然的好奇心,帶領人類飛上月球、飛到宇宙深處。