一些關於霍金的文字

霍金是繼愛因斯坦後,另一位名字深入大眾文化的物理學家。

霍金的宇宙誕生、時間開端理論,認為宇宙誕生一刻並非時間的「開端」。這理論聽起來非常奇怪難懂,而且似乎違反直覺。你會說:「宇宙」所指當然就是時間和空間,因此於宇宙誕生瞬間,時間當然才「開始」存在啦!故此,討論宇宙誕生「之前」發生了什麼事是沒有意義的,因為在那「時候」,連時間都尚未誕生。

大家可能會覺得很古怪,宇宙誕生一刻要是並非時間的開端,那麼時間的開端在哪𥚃?原來在霍金的理論中,時間並非只有一個「維度」;我們日常經歷的時間叫做「實時間」,但宇宙誕生「之前」的時間是「虛時間」。在這裡,「實」和「虛」是數學描述,是數學中的「實數」和「虛數」(即開方負一)的意思。

這個非常前衛的理論,引起了不少包括專業物理學家在內的人熱烈討論。當然,霍金的理論有堅實的數學支持。但是無論一個理論的數學構造如何合理、美麗、引人入勝,若然沒有實驗數據或觀測證據支持,就永遠不能證實。霍金的虛時間理論當然仍未有任何數據或觀測支持,因此物理學家和宇宙學家,仍只把它看待成一個不錯的、有可能是正確的、有待驗證的理論。

然而,霍金卻在他的暢銷科普書籍《時間簡史》中把虛時間概念寫得如像已經被證實了一樣,引起了不少物理學家的迴響。身為理論物理學家,霍金的工作就是要建構出一個合理的宇宙模型。可是,合理並不保證與現實相符。檢驗各種合理的宇宙模型,並不在霍金的工作範圍之內。因此,有人認為他此舉是誤導大眾,也有人認為他只是以理論物理學家的角度出發去做科普,無傷大雅。

我在大學物理系的一位老師就曾經說過,霍金寫的是科普「毒物」。這個評論或許有些太過重了,但卻不無道理。如果霍金寫的書籍首要對象是專業的物理學家,那並無不可。然而,更多讀者是業餘因興趣而讀霍金著作的,未必有足夠知識下判斷。更甚者,對於有意進入物理系、以研究為目標的學生們,更可能造成先入為主誤導的反效果,限制了他們的想像力。

那麼,究竟理論物理學家是否不應寫科普?我認為這並非職業問題、也不是內容的問題,而是在於表達方式。霍金的書籍,的確沒有明確表示哪些理論是已經證實的內容、哪些是未經證實的猜測。以我自己來說,最初讀《時間簡史》的時候,我亦曾誤會,以為所有內容在科學界都是已有共識的。當然,從著書的角度看,寫書推廣自己的理論亦為無可厚非。

霍金的另一個著名研究範疇,是黑洞。黑洞的愛因斯坦於 1915 年發表的廣義相對論的一個結論,質量極高的天體產生的重力強得光也無法脫離。一直以來,物理學家都認為在黑洞中心,時空會被重力扭曲至極致,成為一個密度無限大的點,稱為奇點。然而,由於光速是宇宙極速,沒有任何東西或資訊能夠從黑洞裡面跑出來,因此我們無從觀察黑洞裡面究竟是否如物理學家所預期的一樣。

霍金與彭羅斯關於黑洞奇點的數學研究,指出符合廣義相對論的宇宙模型之中,黑洞和宇宙誕生一刻都必定存在奇點。換句話說,虛時間亦可能在黑洞中心的奇點「之後」延續下去。關於虛時間的這些理論,以現時人類科技水平,根本沒有任何辦法檢驗這個理論。所以,很多物理學家對於霍金的奇點理論抱持懷疑態度。

然而,霍金研究黑洞的並非只有奇點。黑洞吸引大量物質,物理學家認為這些關於這些物質的資訊會永遠消失於我們的宇宙——黑洞的事件視界之外。霍金推導出了一道方程式,把黑洞的表面積與其「儲存」的資訊量——熵——拉上關係,資訊量越多,表面積就越大。物理學界被霍金這個發現震驚了,原來黑洞裡的資訊狀態竟能以某種方式表現在黑洞表面之上!對比起霍金關於奇點的理論,這個黑洞熵理論並沒有涉及無限大。雖然這個理論仍未被天文觀測所證實,物理學界普遍接受這個理論。

量子力學和廣義相對論是現代物理學的兩大支柱,可是兩者卻水火不容。量子力學以機率描述微觀粒子世界,廣義相對論以絕對的因果關係描述巨觀的宇宙結構。若要數霍金最了不起的成就,就是他在黑洞表面的時空結合兩者,發現了所謂的霍金輻射。霍已輻射理論指出,黑洞會不斷放出粒子,而這些粒子竟然帶有過往被黑洞吞噬的資訊!黑洞的熵因而下跌,因此黑洞的表面積,即黑洞的尺寸亦同昨會縮小。霍金更計算出霍金輻射的速率,發現黑洞尺寸越小,霍金輻射速率就越高。因此,黑洞非但會「蒸發」,而且這個過程會隨黑洞越縮越小而變得越來越快。

天文學家一直希望直接觀察黑洞,以證實(或證偽)這個霍金輻射理論。這亦是霍金一生發表過的眾多理論之中,最有望被現代科學家檢驗的一個。很多理論物理學家更在接受了霍金輻射存在的前提下,繼續這個研究方向。最近研究方向普遍認為,如果霍金輻射的確存在,那麼黑洞表面就會形成一道由極高能量粒子構成的「火牆」,沒有任何物件能安然無恙地跨越黑洞的事件視界,顛覆了物理學界一直以來對黑洞的認識。霍金輻射告訴我們:黑洞並不黑!

霍金過世,很多人(包括科學家在內)都為霍金未能親眼目睹霍金輻射被天文觀測所證實而感到惋惜。霍金的理論物理研究雖然未有為他贏得諾貝爾獎,然而很多現代物理學理論都是建築在他的研究之上,就好像那個黑洞火牆理論一樣。就如同愛因斯坦沒有因相對論獲獎、卻造就了往後眾多研究者因他的相對論而得到這科學桂冠一般,不難想像,往後想必亦會有研究者因證實霍金某理論而獲獎。

牛頓:「如果說我看得比較遠,那是因為我站在巨人肩膀上。」對比他的身驅,這或許是對霍金的科學貢獻和意志的最高稱頌。

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超越肉體、黑洞和時間:霍金(Stephen Hawking)

3 月 14 號,我們可能會想到白色情人節、圓周率日,甚至你可能知道這是愛因斯坦的生日。但由 2018 年起,這一天將加上另一個意義。3 月 14 號將永遠成為我們悼念現代宇宙學、理論物理學大師史提芬.霍金(Stephen Hawking)的日子。

1942 年出生的霍金,患有俗稱「漸凍人症」的肌肉萎縮性脊髓側索硬化症。他在 21 歲時被診斷患上此症,醫生說他只有兩年壽命。最終,他多活了 55 年,為世界帶來極度豐碩的研究成果。他的一生除了專注理論物理研究外,更不遺餘力參與科學普及,成功把理論物理學和宇宙學帶入普羅大眾家中。

霍金相信人死後就如電腦關機一樣,什麼也沒有。不過,且讓我們想像,他已經脫離了身體和萬有引力的枷鎖,飛向了宇宙之外。也許,他已經加入了以往偉大科學家的行例,正與愛因斯坦、費曼、薩根、牛頓、伽利略等舉杯𣈱談天文物理,得知了宇宙終極的萬有理論,笑說人類科學家一直搞錯研究方向呢。

《時間簡史》——理論物理普及先驅

很多人初次聽說過霍金的名字,相信都是因為他寫的科普《時間簡史》。他寫這部科普著作的時候,理論物理學界並不太流行科學普及。很少專業的理論物理學家會在研究中抽出時間來做科學普及,更別說寫一整本書。

其實,當時除了整個學術氛圍並不鼓勵搞科普之外(很多人覺得這是浪費科學家的研究時間),對於某些範疇的科學家,他們的研究項目往往需要保密,因此科普也非易事。幾個著名從事科學普及的理論物理學家和天文學家,如費曼、溫伯格和薩根等人,就幸運地沒有這個限制,成為了出色的科學家兼科學教育家。

霍金寫的《時間簡史》是一部關於最前沿理論物理學和宇宙學的書籍。在討論理論物理學時,少不免需要用到數學方程式去幫助讀者理解。然而,看過書稿的出版社編輯認為書裡每多一道方程,銷量就會減半。霍金重新審視書稿後,最終版本的《時間簡史》裡面只有一道方程式:愛因斯坦的質能等價公式 E = mc^2。

最後,《時間簡史》在 1988 年出版,成為了史上最暢銷的科學普及作品,被譯成超過 40 種語言。從此,霍金成為繼愛因斯坦後其中一個家傳戶曉的科學家。

霍金的宇宙——時間超越「開始」和「終結」

霍金聞名於如何把廣義相對論與量子力學結合,並應用黑洞和宇宙起源。

1965 年,霍金根據彭羅斯對黑洞中心存在奇點的研究,套用於整個宇宙之上,寫成他的博士論文。其後於 1970 年,霍金與彭羅斯合作研究,得出宇宙必然始於奇點的結論。奇點是個物理學概念,因極高密度的物質和能量而導致無限大的時空曲率。

愛因斯坦於 1915 年推導出廣義相對論場方程式組,能夠描述整個宇宙的演化。在相對論中,時間和空間結合在一起成為時空,而且時空並非宇宙的背景,時空就是宇宙本身。根據廣義相對論,物質和能量會令時空變得彎曲,其曲率就是我們日常感受到的重力(即萬有引力)。愛因斯坦本認為宇宙應該是穩態的,它不會變化、永恆存在。

然而,哈勃發現了宇宙正在膨脹。因此,越往未來的宇宙越大、越往從前的宇宙則越小。所以,在從前的某個時刻——大概 137 億年前——宇宙的尺寸應該為零。換句話說,所有物質和能量都被壓縮在尺寸為零這一點——奇點。

物理學家對此感到非常不安。廣義相對論不能應用於奇點,因此很多物理學家認為宇宙不可能存在奇點。而霍金卻指出,如果宇宙遵守廣義相對論的方程式,任何一個宇宙學物理模型都會導致一個結論:宇宙的確誕生於奇點。

可是,沒有任何物理定律能夠用來描述在奇點發生的事,因此奇點存在於宇宙誕生一刻就好像代表了物理定律雖然適用於宇宙任何地方和時間,卻於宇宙開端失效。

霍金提出了「虛時間」理論嘗試解決這個問題。他認為雖然我們所經歷的「實時間」(real time)在奇點終結,但時間的另一個分量「虛時間」(imaginary time)卻能繼續走下去。因此,宇宙本身雖然源自大爆炸,大爆炸卻非時間的起點。

對此怪異概念,霍金嘗試以地球作為比喻:我們能夠由南極或北極作為座標的起點,畫出整個地球;這卻不代表南北兩極就是地球的盡頭。地球沒有盡頭,就好像時間一樣,因為時間並不止有實時間這一個維度,而是有著虛時間,在宇宙誕生的奇點「延伸」出去。

霍金說,談論宇宙大爆炸「之前」發生了什麼事是毫無意義的,就好像談論南北極「之外」有什麼一樣。

霍金輻射——黑洞不是終點

霍金的另一個重要研究領域是黑洞。黑洞是廣義相對論直接導致的結果,任何時空如果存在太多物質和能量,時空曲率(即重力)就會變得非常之強,強到連光線也無法逃脫。光速是宇宙的終極速度,根據相對論,加速至光速需要無限能源,因此連光也不能逃的黑洞意味一切的終結。在黑洞裡面的東西,沒有可能回到宇宙中來。

黑洞的邊界,稱為事件視界(event horizon)。由於沒有任何東西能夠從事件視界裡面跑到外面,因此我們不可能確定黑洞裡面是什麼樣的。根據廣義相對論的方程式,黑洞裡外並無二致,太空人根本不會察覺到自己穿過了事件事界。理論上,黑洞中心應該存在一個奇點(彭羅斯的研究亦支持這一點),可是沒有方法就夠確認這一點。

霍金在 1970 年發現,黑洞的表面積與黑洞的熵成正比。熵是物理學概念,是一個系列統計學上有多「凌亂」的量化值。而熵在資訊理論中有另一個意義,是該系統能夠儲存多少資訊的量度。由於沒有東西能夠從黑洞跑出來,黑洞裡面的資訊量必定只能增加,不能減少,因此霍金指出黑洞只可以不斷變大,不會縮小。

在科學發現的歷史上,經常出現峰回路轉的情節。1974 年,霍金把廣義相對論和量子力學結合,應用於黑洞事件事界附近,發現了一個驚人的結果。

廣義相對論描述大尺度宇宙的行為,而量子力學則描述在基本粒子般的微小尺度所發生的事情。然而,物理學家嘗試尋找結合兩者的理論——量子重力,卻一直徒勞無功。然而,在黑洞附近的時空扭曲之極端,讓霍金得以暫且結合廣義相對論和量子力學,並發現原來黑洞會「蒸發」。

根據量子力學,真空其實並非一無所有,而是充滿許多「虛粒子對」。這些虛粒子對是經由量子穿隧效應(quantum tunnelling)從虛無之中產生,在極短時間之內出現在我們的宇宙中,隨即互相碰撞湮滅消失,化回虛無。

霍金發現,在黑洞事件視界附近的這些虛粒子對的其中一方可能會越過事件視界,無法與其伴侶湮滅。落入黑洞的粒子帶有負能量,因此黑洞的總質量就會減少,導致黑洞逐漸縮小;失去伴侶的另一方,就會朝反方向逃逸。從遠方觀看,就好像黑洞減少自己的質量從而輻射出粒子一樣,因此這現被稱為霍金輻射。

由於黑洞的熵(即資訊量)亦與其表面積成正比,黑洞縮小就代表黑洞裡的資訊減少。這就等於說,以往認為被黑洞吸入而與我們這邊的宇宙斷絕關係的資訊,以霍金輻射的方式逃離了黑洞,回到宇宙中來了!

霍金曾以此理論比喻生命,他說:「如果你感覺身處黑洞裡,不要放棄。那裡總有出路。」

(“If you feel you are in a black hole, don’t give up. There’s a way out.”)

霍金:生命總有出路

21 歲就患上漸凍人症的霍金,並沒有放棄過他的生命,與疾病戰鬥到最後一刻。霍金的身體雖然殘障,但他的思緒早已超越身軀、超越重力、達到黑洞的深處和宇宙的開端。

霍金教授,感謝您的教導。現在您已經自由了,擺脫了這個物理宇宙的束縛。再會。

萬聖節科學

兩年前,我寫過一篇文章討論鬼可不可能在已知物理定律下存在,引起了一點迴響。其中有人讚同我的看法,也有人說我不應以科學去解釋鬼。

鬼存在與否,對作為物理學家的我來說,就如同傳播光線的介質「以太」存在與否的問題。愛因斯坦獨力完成廣義相對論,時至百年後今天仍能以其重力波的預言使諾貝爾獎委員會頒出奬項,舉世無雙。光線的速度是馬克士威電磁波動方程的解——秒速三十萬公里,而相對論則說這個數字永不改變。光以這個速度跟隨與質量互動的時空行進,無需介質。

如果硬要往宇宙塞進一種看不見、與宇宙中所有粒子都沒有交互作用的介質,會違反物理嗎?不會。如果硬要往宇宙塞進一種看不見、與宇宙中所有粒子都沒有交互作用的叫做鬼的「東西」,會違反物理嗎?也不會。

(抱歉,鬼不可能是「能量」,因為質能等價,能量亦可被測量)

有把科學剃刀,專門剃走這種沒有作用、多此一舉的「理論」,而事實上這些「理論」連科學假設的程度也達不到。這就好比我說有種完全透明、不能被任何實驗探知的獨角獸存在,更要求把這種獨角獸加入生物學課本裡。這把剃刀的作用,就是幫助我們分別現實和幻想。

我經常強調科學家並非沒有感情的生物。相反,我認為科學家的感情非常豐富,否則怎麼可能會覺得數學公式很美麗、被邏輯推理結果感動到落淚?我相信大部分科學家與你我一樣,都會被牆上的蛇影嚇到,亦會不敢獨自在夜深裡看鬼片。

對未知事物的恐懼,並加以超越現有知識的解釋,是人類演化的結果。我們不難想像,恐懼黑暗中的幽靈,有助我們遠離可能的危險,有利於物種繁衍。而科學卻告訴我們,哪裡沒有鬼怪,不過卻可能有野獸。兩者分別在於,科學能幫助我們找出解決方法,而怪談則使人不敢前進。

科學,某種程度上來說是違反人性的。正因如此,我們才更應重視科學,因為科學使我們面對自己內心的恐懼。我們恐懼鬼怪、恐懼黑暗、恐懼無知。戰勝害怕鬼怪的心魔,可能只需要勇氣;而戰勝黑暗中的野獸,除了勇氣,你更需要一支火把。

當然,如果你真的發現有鬼,煩請把我的聯絡方法交給他,好讓我的臉書專頁多些來自不同次元的讚之外,也能拍部新人鬼情未了電影,寫篇跨越人鬼界線的論文,屆時獲得諾貝爾獎,一定邀請你來觀禮。

封面圖片:Fermilab/Anatoly Evdikomov

永恆的對稱:艾瑪.諾特(Emmy Noether)

艾瑪.諾特(Emmy Noether, 1882 – 1935)是個才能非常出眾的女性數學家,愛因斯坦稱她為史上最重要的數學家。她的研究解答了一個非常深刻的物理問題:為什麼我們的宇宙中存在能量守恆、動量守恆等守恆定律?

諾特生於德國巴伐利亞城市埃朗根(Erlangen),父親是位數學教授。她本來打算畢業後當法文和英文老師,但後來改變主意,進入他父親工作的埃朗根大學(Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg)攻讀數學。她在 1907 年取得博士學位,著名的數學家大衛.希爾伯特(David Hilbert, 1862 – 1943)看見她的數學才華,希望把她聘到哥廷根大學(Georg-August-Universität Göttingen)做私人講師(Privatdozent,德國的一種講師資格,卻不一定是支薪的)。可是,哥廷根大學哲學系反對聘請諾特,他們說:「若然我們的軍士打仗回國,卻發現他們要接受一個女人的教導,他們會有何感想?」而且,他們不希望一個女人有資格在大學評議會中投票。

面對攻擊諾特的性別歧視,忿怒的希爾伯特反擊道:「我看不出申請人的性別是反對她成為私人講師的理由。畢竟,評議會並非澡堂。」

“I do not see that the sex of the candidate is an argument against her admission as a Privatdozent. After all, the Senate is not a bath-house.” – David Hilbert

儘管諾特得到希爾伯特的支持,哥廷根大學始終不肯聘請她。往後 7 年間,她在埃朗根數學院(Mathematical Institute of Erlangen)工作,而且是不支薪的。有時候,當她父親病倒了,她會代替他在埃朗根大學授課。直到 1915 年,希爾伯特和菲力斯.祈因(Felix Klein, 1849 – 1925)邀請她到哥廷根大學,以希爾伯特的名義講課。最後在 1919 年,哥廷根大學終於正式聘請諾特做私人講師。

諾特在數學中有很多重要的貢獻,而其中最著名的莫過於諾特定理(Noether’s Theorem):每個物理作用量的可微分對稱,都存在一個對應的守恆定律。簡單來說,諾特定理說物理守恆定律來自物理定律的對稱性。用更簡明的語言來說,就是如果物理定律在座標轉換後維持不變,那麼這個轉換背後就藏著一個守恆定律。例如,我們向著哪個方向做實驗都得到一樣的結果,這就代表了角動量守恆定律;我們在今天、昨天或明天做實驗結果都相同,這是因為能量守恆定律;動量守恆定律則使我們在宇宙中哪裡做實驗都沒有分別。

諾特定理對發展新的物理理論很有幫助。物理學家只要找出物理問題的對稱性,就能夠知道守恆的物理量;反之,也可以由守恆定律出發,推導出物理系統的運動方程。

諾特經常與同事合作研究,而且她的研究興趣非常廣泛。她的專長是抽象代數(abstract algebra),不過有時候在非專業的領域中,諾特也做出了不少貢獻。而且,她對分享知識和看法也毫不吝嗇,不會把想法收起來,而是會大方地與其他數學家討論,哪怕對方是同領域上的「對手」。有幾次,同行數學家用了諾特的想法發表論文,諾特也毫不介意。

諾特的研究和教學態度也廣受好評。儘管有時她會因為數學問題而與別人大吵一場,她的立場始終是針對數學而非針對個人。有次,她的兩個女學生留意到諾特的頭髮亂了,想上前提醍她,但她正在和其他學生討論數學,以致在兩小時內兩個女學生也找不到空間打斷諾特的討論。然而,諾特的課堂並不太有條理,她通常用課堂時間和學生討論最前沿的數學問題,有時她的講義內容甚至超越了當代領域的最新研究,這使有些學生感覺跟不上。不過諾特對學生非常關心,她的學生會稱她做「論文母親」,其他人也叫諾特的學生做「諾特的孩子」。

1933 年,納粹在德國橫行無道,擁有猶太血統的諾特被哥廷根大學開除。她移民到美國,在賓夕法尼亞州博懋學院(Bryn Mawr College)繼續做研究。可惜的是於 1935 年,她被診斷出有個卵巢囊腫,要入院做手術切除。手術之後三天,諾特情況慢慢好轉,然而在第四天她突然發高燒並陷入昏迷,未幾離世,享年 53 歲。

諾特受盡歧視,然而數學、科學發現都不會因身份、性別、種族或任何取向而改變。諾特與對稱,將一同永垂青史。

在宇宙的邊緣會看見什麼?

答案是我們什麼都不會看到。這非因沒有東西在宇宙外面,而是宇宙根本沒有邊緣。

讀者們可能聽說過:我們的宇宙是無邊無際的。不過這並非指我們的宇宙是無限大的。實際上,宇宙的大小是有限的,而且我們更可能知道,宇宙正在膨脹。這聽起來有點不可思議:一個正在膨脹的宇宙,怎會沒有邊界?

我們要稍微討論一下「維度」這個概念。維度就是我們常說的 2D、3D 的那個 D,即 dimension 的意思。一維可以用一條線表示、二維是一個平面、三維則是一個立體。好,問題來了:你能夠想像到四維的模樣嗎?我不是說「4D 電影」那種震動送風噴水啊⋯⋯咦,我說什麼?

好了,時間到。想到四維是什麼樣了嗎?想不到?沒錯,想像不到。為什麼呢?因為我們都是活在三維空間裡的生物。等等,我以前好像曾經寫過文章,說我們的宇宙是四維的⋯⋯?

對,我們的宇宙確實是四維的。不過並非四維空間,而是四維時空。時空的意思就是「時間 + 空間」。愛因思坦發現我們的宇宙是由三維空間加上一維時間構成的。牛頓認為時間與空間是獨立於宇宙而存在的。換句話說,在牛頓力學裡空間和時間就好像房間與掛在牆上的時鐘,房間裡放了一個宇宙;而愛因斯坦卻指出,空間和時間其實就是宇宙本身。我們的宇宙有了另一個名字:時空,而且它是四維的。

二維宇宙的膨脹。Image courtesy of Eugenio Bianchi, Carlo Rovelli, & Rocky Kolb.

說了這麼多,究竟跟宇宙沒有邊界有什麼關係啊?我們來想像一個氣球,氣球的表面積是有限的而無邊際的,就像我們的地球一樣。我們可能會以為球體表面是三維的,但其實它只是二維的。因為我們是生活在三維空間的生物,我們能用三維的視角看二維表面。現在,假設氣球正在膨脹,我們可以輕易地理解氣球表面如何在三維空間中越變越大。但如果有一些二維生物生活在這個二維表面上,他們也會發現他們的宇宙是沒有邊界的,但他們不能夠想像它是如何膨脹的。所以問他們在宇宙邊緣會看見什麼也是沒有意義的,因為氣球表面根本就沒有邊界。

同樣地,如果我們把這個二維氣球在三維空間中膨脹的比喻,套在我們的三維空間正在四維時空裡膨脹,就多少能夠明白我們的宇宙了。物理學家相信,如果我們在宇宙裡向一個方向走,最後有可能會從反方向回到起點,就好像在地球上一直向東走,最後會從西面回到起點一樣。

說不定,有些四維生物正在看著我們的宇宙,笑說我們是如何愚蠢呢。

光速:宇宙高速公路的速度限制

為什麼夜空是黑色的?

這是一個非常古老的問題。問題的答案並不簡單,涉及對光線本質以及宇宙的理解。

想像宇宙是一個大球體,地球在球體正中心。球體裡面有隨機分佈的發光點,代表一顆又一顆的恆星。有些星星離中心點地球比較近、有些比較遠。想像這個球體不斷變大,新的星星在新的空間裡隨機生成。如果這個球體趨向無限大,星星的數量就會趨向無限多。由於星星的分佈是隨機的,我們從中心點往任一方向觀測,視線都必然會落在某一顆星之上。如果光線不需要傳播時間,即光速無限,那麼夜空就應該是白色的!

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奧伯斯悖論示意圖。Image courtesy of Kmarinas86/Wikimedia Commons

這個問題叫做奧伯斯悖論 (Olbers’ paradox),是從前一個著名的科學悖論。現在我們知道宇宙並非無限大、可觀測宇宙大小有限、宇宙中星星的數量並非無限多、光速亦非無限快,因此從較遠的恆星出發的光不夠時間傳播到地球。

1861 年,馬克士威證明光是電磁波。當時的科學家都相信,就如同其他波動需要傳播媒介一樣,傳播光波亦需要一種假想的媒介,稱為以太。1907 年,阿爾伯特・邁克生 (Albert Michelson) 因為使用干涉儀非常準確地測量出光的速率而獲頒諾貝爾物理學獎。光速大約為每秒 30 萬公里,只需 1.3 秒就能從地球走到月球。

邁克生干涉儀實驗的另一目的是測量地球在以太之中運行的速率。他以為於一年四季不同時間做同樣的光干涉實驗,實驗結果理應會顯示光速因地球在以太中運動方向不同而有所分別。可是,邁克生和莫雷 (Edward Morley) 的干涉儀實驗結果顯示,不論地球的運動方向,光速都沒有改變。

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地球在假想的以太之中以不同方向運動會導致光速測量結果不同。Image courtesy of Cronholm144/Wikimedia Commons

愛因斯坦在 1905 年發表狹義相對論,解釋了邁克生和莫雷的實驗結果。相對論之中,時間和空間被結合成為一體,叫做時空。由於時間和空間的物理單位不同,我們需要一個因子去在兩者之間轉換。這個因子有著距離除以時間的單位,即是速率。這個速率是宇宙間所有物質的極限速度,因為跟據相對論,質量非零的物質需要無限多能量才能達到此極速。

愛因斯坦認為光是傳播資訊的最快方法。邏輯裡的因果定律成立是因為沒有資訊能傳遞快過光。因此,光速就是這個宇宙中的終極速度限制,而這個極速跟據相對論是個常數,永恆不變。在光速不變的前提下,空間會因觀測者的運動狀態不同而收縮。所以,相對論亦意味著光波不需要以太或任何傳播媒介。

相對論其實並沒要求光速不變而且為宇宙極速,只是這個極速必須剛好等於光速,才能解釋我們所觀察到的所有物理現象。因此,一直有理論物理學家研究可變光速理論。

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狹義相對論對光速不變導致時空收縮的數學圖解。不同顏色代表不同運動狀態的觀測者的時空。Image courtesy of Army1987/Wikimedia Commons

理論物理學家 João Magueijo 自 1990 年代起研究可變光速,亦寫了一本不錯的科普書講述他在發表論文時遇到的困難和科學家之間的合作與衝突。由於光速可變這假設會動搖所有物理理論的基礎,很少科學家會投入自己一生職業去研究。

今年 10 月,Magueijo 與合作者 Niayesh Afshordi 在科學期刊 Physical Review D 上發表了一篇新的可變光速研究論文,他們推導出宇宙微波背景 (cosmic microwave background, CMB) 的純量光譜指數 (scalar spectral index)。這是第一次可變光速理論研究能夠提供一個實在的數字去與觀測作比較。

現在的觀測結果雖然與 Afshordi 和 Magueijo 理論的數字吻合,但他們未能解釋光速可變會導致其他物理常數改變的後果。例如,光速可變意味著電磁力的大小在過去、現在、未來都不相同。這樣的話,依靠電磁力的化學知識全部都要改寫,科學家就很難解釋宇宙如何演化成今日的模樣、甚至地球上亦未必可以演化出生命。

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Afshordi 和 Magueijo 的可變光速論文明確預言宇宙微波背景光譜能量分佈斜率等於 0.96478(64)。Afshordi & Magueijo 2016, Phys. Rev. D, 94, 101301

“The predicted value is within current constraints, but improved observations would unambiguously prove or rule out the theory.” – Afshordi & Magueijo (2016)

光速是否可變是一個重要的科學問題,絕對有必要研究。然而為光速可變理論下結論,仍言之尚早。就如 Afshordi 和 Magueijo 所說,未來更精確的觀測結果將能證實或證偽光速可變理論。

提出預言、對比實驗,科學也。

延伸閱讀:

Critical geometry of a thermal big bang, Afshordi & Magueijo 2016, Phys. Rev. D, 94, 101301

光之系列:夜空為什麼是黑的?》- EVEREST. 議事之峰

1907年諾貝爾物理獎:阿爾伯特・邁克生》- 余海峯

超光速與時間倒流:叮噹可否不要老》- 余海峯

照亮相對論的光 (上)》- 余海峯

照亮相對論的光 (下)》- 余海峯

光電效應:愛因斯坦的諾貝爾

如果問愛因斯坦最著名的是什麼,相信十之有九會答 E = mc2。這是他在 1905 年推導出來的質能互換公式,是他發現的相對論的一個直接結果。

愛因斯坦的科學之中,最著名的莫過於相對論。他在 1905 年發表狹義相對論,描述慣性時空裡不同參考系之間的關係、結合質量和能量兩個概念;1916 年發表廣義相對論,把萬有引力、加速度、時空結合為一體,徹底推翻牛頓物理學。

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愛因斯坦於 1923 年 7 月 11 號在瑞典哥德堡舉行的 Nordic Assembly of Naturalists 會上講他的諾貝爾獎講座。雖然愛因斯坦得到的是 1921 年的諾貝爾獎,可是因為諾貝爾奬委員會認為在 1921 年的提名名單中沒有人能夠得獎,跟據規則該年度之獎項順延至下一年頒發,所以愛因斯坦其實是在 1922 年得到 1921 年的諾貝爾獎。而由於在 1922 年諾貝爾獎頒獎典禮舉行時愛因斯坦正在遠東旅行,直到 1923 年愛因斯坦才在哥德堡講出他的諾貝爾奬講座。順帶一提,愛因斯坦獲頒諾貝爾獎不久之前,他正在香港。Image courtesy of The Nobel Prize

愛因斯坦對物理學的貢獻,絕對足夠好幾座諾貝爾物理獎。然而,愛因斯坦只在 1921 年獲頒過一次諾貝爾物理獎。很多人都以為他的得獎原因必為發現相對論。但原來,他獲獎的原因是解釋了一個我們日常會接觸到,但鮮少留意的現象:光電效應 (photoelectric effect)。

光電效應在高中物理課程裡應有所提及。簡單地說,光電效應就是太陽能電池的原理。光電效應的解釋,涉及一個古老問題:究竟光是什麼?

大家都知道光線的基本特性就是以直線前進和會反射。歷史記載第一個以數學歸納出光線的反射定律的人,就是公元前 3 世紀的古希臘數學家歐幾里德。公元 2 世紀,托勒密亦歸納出光線的折射定律。古希臘人對視覺的本質分為兩派。一派認為眼睛會發射觸手出去,接觸到物件就看得見了(有點毛骨悚然);另一派認為光線是由細小的微粒所構成,視覺是因為這些微粒進入眼睛。今天我們知道後者是正確的,然而在古希臘時期大部分人都不相信光的微粒理論。

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牛頓進行三棱鏡分光實驗。1874 年由不知名畫家所畫。

17 世紀,牛頓的著名三棱鏡分光實驗,證明了白光是由不同顏色的光組合而成。牛頓認為光的本質是粒子,他試圖以重力解釋光的折射,認為是光粒子穿過不同密度物質時加速而成。19 世紀,拉普拉斯亦相信光是粒子,以牛頓重力理論假設一個連光亦不能逃逸的、質量非常大的星球的存在,其實就是現代科學中的黑洞概念。可是,當拉普拉斯得知光的干涉實驗證明光線是一種波動之後,他就拋棄了他的黑洞理論。其後,愛因斯坦的廣義相對論再次預言黑洞存在,亦已被現代天文觀測證實。

直到 19 世紀,馬克士威導出完整的電磁理論,證明了法拉第認為光線是電磁波的假設正確。1886 年赫茲以實驗證實馬克士威的電磁波動理論、1897 年馬可尼成功進行跨大西洋無線電通訊等,似乎所有證據都支持光線的波動學說。可是,我們從科學史中學習到的,正是大自然不斷顯示給人類的驚奇。

1887 年,赫茲和 Hallwachs 首次觀察到光電效應。他們發現使用可見光或紫外線照射某些物質時,其表面會釋放出陰極射線,即是電子。跟據古典物理學,這是因為電子從光線吸收了足夠能量擺脫物質的吸引力。可是,古典物理學並不能解釋幾個問題:

  1. 為何只有超過某數值頻率的光才能把電子從物質釋放出來?
  2. 被釋放的電子的能量為何與光線的強度無關,而且有一個上限值?如果電子只是單純地吸收光的能量,那麼光線越亮電子的能量不是應該越高嗎?
  3. 為何光線的吸收與電子被釋放之間沒有時間差?電子不是應該吸收了足夠的動能後才能擺脫物質的吸引力嗎?
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光電效應示意圖。光子被物質中電子吸收,使電子能擺脫物質吸引力而逃逸。Image courtesy of Wolfmankurd/Wikimedia Commons

愛因斯坦在 1905 年發表了論文《Concerning an Heuristic Point of View Toward the Emission and Transformation of Light》使用普朗克的光粒子假設解釋了光電效應。跟據普朗克的理論,光線的能量只由其頻率而定。跟據普朗克公式

E = hν,

其中 E 是光線的能量,ν 是光線的頻率,h 是比例常數,即著名的普朗克常數 (Planck constant)。於是,光線可以被想像為粒子,其能量與光源強度無關。現在我們稱之為光子 (photon)。

普朗克的光子概念能夠解釋上述問題:

  1. 由於同一頻率的光子能量固定,假設每個電子每次只能吸收一個光子,那麼只有在光子頻率足夠高(即能量足夠大)時電子才有足夠能量擺脫物質的吸引力。
  2. 光線的強度只決定光子的多寡。光線越明亮,光子越多,但光的頻率不會變。由於假設每個電子每次只能吸收一個光子,被釋放的電子的能量就等於光子能扣除擺脫物質所需的能量。假設擺脫物質所需的能量對每個電子都一樣,被釋放的電子的能量就會有上限。
  3. 同樣地,假設每個電子每次只能吸收一個光子,如果光子頻率足夠高的話電子就能立即擺脫物質。

我們注意到上述解述中有一個假設,就是每個電子每次只能吸收一個光子。我們不難想像電子能夠連續吸收幾個光子。為什麼不可以呢?原來這與量子力學有關:一個自由的電子的能量可以是任何數值的,但受物質束縛的電子只能擁有某些數值的能量。換句話說,物質中電子的能量是不連續的,我們稱之為能階 (energy level)。受物質束縛下的電子只能從一個能階跳到另一個能階,而且能階之間的能量差都不相同。所以,如果光子的能量不足以供電子一次過跳到自由態(即擺脫物質),光子就不太可能被吸收,因為只有剛好等於兩個能階之間的能量差的光子才會被吸收。就算光子的能量剛好等於兩個能階之間的能量差而被吸收,電子也只會跳到另一能階,而與下一能階的能量差又不同,所以不會再吸收同一頻率的光子。

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鋅 (Zinc) 元素的光電效應圖解。圖中 4 至 8 x 1014 Hz 是可見光的頻率範圍。斜線與垂直軸交會點 (-4.3 eV) 就是鋅的功函數。Image courtesy of Klaus-Dieter Keller/Wikimedia Commons

愛因斯坦推導出光電效應公式

Kmaxhν – φ,

其中 Kmax 是被釋放的電子的最大動能,φ 是該物質的功函數 (work function),即電子擺脫物質所需最小能量。光電效應公式指出被釋放的電子的能量與光子頻率成正比,上圖中的斜線顯示了這一關係。光電效應公式更可用來直接測量普朗克常數;圖中斜線的斜率就是普朗克常數。

愛因斯坦對光電效應的解釋顛覆了馬克士威的電磁波動理論。由於馬克士威的理論有非常多的證據支持,一些科學家在很多年後仍不接受愛因斯坦的解釋。1916 年密立根的實驗證實愛因斯坦的光電效應公式正確無誤,更成為第一個測定普朗克常數的人。在 1921 年愛因斯坦因光電效應獲頒諾貝爾物理獎之後兩年,密立根亦部分因為對光電效應的工作而得到 1923 年諾貝爾物理獎。

愛因斯坦的光電效應論文除了開創太陽能電池的可能性外,更為量子力學奠下基礎。光線同時擁有波動和粒子的特性,叫做波粒二象性。我們在之後的文章討論量子力學時,會再回到這個話題之上。

封面圖片來源:The Caltech Archives

延伸閱讀:

光的秘密》- 余海峯

你也能懂相對論》- 余海峯

你也能懂量子力學》- 余海峯

拋開常識的學者:愛因斯坦 (Albert Einstein)》- 余海峯