數學 – 余海峯 David | 物理喵 phycat

永恆的對稱：艾瑪．諾特（Emmy Noether）

艾瑪．諾特（Emmy Noether, 1882 – 1935）是個才能非常出眾的女性數學家，愛因斯坦稱她為史上最重要的數學家。她的研究解答了一個非常深刻的物理問題：為什麼我們的宇宙中存在能量守恆、動量守恆等守恆定律？諾特生於德國巴伐利亞城市埃朗根（Erlangen），父親是位數學教授。她本來打算畢業後當法文和英文老師，但後來改變主意，進入他父親工作的埃朗根大學（Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg）攻讀數學。她在 1907 年取得博士學位，著名的數學家大衛．希爾伯特（David Hilbert, 1862 – 1943）看見她的數學才華，希望把她聘到哥廷根大學（Georg-August-Universität Göttingen）做私人講師（Privatdozent，德國的一種講師資格，卻不一定是支薪的）。可是，哥廷根大學哲學系反對聘請諾特，他們說：「若然我們的軍士打仗回國，卻發現他們要接受一個女人的教導，他們會有何感想？」而且，他們不希望一個女人有資格在大學評議會中投票。面對攻擊諾特的性別歧視，忿怒的希爾伯特反擊道：「我看不出申請人的性別是反對她成為私人講師的理由。畢竟，評議會並非澡堂。」 “I do not see that the sex of the candidate is an argument against her admission as a Privatdozent. After all, the Senate is not a bath-house.” – David Hilbert 儘管諾特得到希爾伯特的支持，哥廷根大學始終不肯聘請她。往後 7 年間，她在埃朗根數學院（Mathematical Institute of Erlangen）工作，而且是不支薪的。有時候，當她父親病倒了，她會代替他在埃朗根大學授課。直到 1915 年，希爾伯特和菲力斯．祈因（Felix Klein, 1849…… Continue reading 永恆的對稱：艾瑪．諾特（Emmy Noether）

生活數學：地鐵新優惠計劃真的比較優惠？

地鐵正考慮推出每程97折的新優惠計劃，以取代舊有的即日每第二程9折優惠計劃。我們可以計算一下，究竟新優惠計劃是否真的比較優惠？首先，我們把每一程車資叫做 $latex M$，那麼第 $latex n$ 程的車資就是 $latex M_n$。由於有優惠，實際上在第 $latex n$ 程我們只需付 $latex M_n \times d_n$，其中 $latex d_n$ 是第 $latex n$ 程的折扣。我們叫舊優惠計劃做 A，新優惠計劃做 B。那麼，我們就有 $latex ^Ad_n = 1$ 當 $latex n = 1,3,5…$； $latex ^Ad_n = 0.9$ 當 $latex n = 2,4,6…$，和 $latex ^Bd_n = 0.97$ 當 $latex n = 1,2,3…$。如果我們一日內共搭 $latex N$…… Continue reading 生活數學：地鐵新優惠計劃真的比較優惠？

教你如何連中十元⋯⋯背後的數學原理

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有時會見到一些網頁，付費加入預測股市／賭波／賭馬貼士群組，聲稱每場必中，更有真實連中十元參加者現身說法。你會懷疑，這是真的嗎？假設那是真正的參加者，要做到連中十元並不難。或者，我甚至能說，有人連中十元是必然的。我就解釋給你聽。為了簡化以下解釋，我們用單循環淘汰賽做例子，即每場比賽必須分出勝負，沒有平手。假設只有 2 隊隊伍，甲隊跟乙隊。那很明顯只有 1 輪、共 1 場比賽。如果你跟我買不同隊伍，我們當中必定有一人買中最後勝方。如果有 4 隊隊伍，甲乙丙丁隊，就有 2 輪、共 3 場比賽。如果 4 個人各買不同隊伍，那麼第一輪比賽，甲隊對乙隊、丙隊對丁隊，4 個人當中就必定有兩人買中勝方；第二輪比賽就跟上面兩隊比賽的例子一樣，剩下 2 人必定有一人買中最後勝方。換句話說，4 人中就有一人 2 場連中了。相信各位已能推論下去：如有 8 隊隊伍，就有 3 輪、共 7 場比賽。只需要最少有 8 個人各買不同隊伍，我就能夠保證最少有一人能 3 場連中。事實上，對於這種零和遊戲，如果我想製造 N 場連中紀錄，我只需要最少有 2^N 個人向我購買貼士，我再私下告訴每個人去買不同隊伍就行了！我們再用世界杯決賽週做例子。在決賽週單循環淘汰賽階段有 16 = 2^4 隊國家隊，因此有 4 輪比賽。只需要有最少 16 人購買我的所謂貼士，我就算完全不懂足球也能夠確保有一人能在世界杯決賽週 4 場連中。而且我們也知道並非每一隊實力都一樣。所以實際上我可以把較強的隊伍配給多些人，也就不一定需要 2^N 這麼多人了。有人會問，有贏有輸有和的聯賽呢？我們有 3…… Continue reading 教你如何連中十元⋯⋯背後的數學原理

Pi 是永恆 (二)

上回我說亞視永恆。但我錯了，亞視已執粒。不過圓周率 $latex \pi$ 卻是真的永恆，不會錯。今次我們來看看，在公元前兩百多年，阿基米德 (Archimedes) 是如何計算 $latex \pi$。阿基米德用的方法叫做窮盡法 (method of exhaustion)，但我喜歡叫它做三文治方法。以下就讓我們試試把 $latex \pi$ 像夾三文治般夾出來。首先，想像有一個半徑為 $latex R$ 的圓形，在圖的內外各畫一個緊貼著的正方形。由下圖中可以看出，外面較大的正方形邊長為 $latex 2R$、裡面較小的正方形對角線就是圓形的直徑，長為 $latex 2R$。我們想要知道圓周，那就可以計算 $latex \pi = C/(2R)$ = (圓周/直徑) 了。由上圖可知圓周 $latex C$ 比內正方形週界 $latex p$ 長、比外正方形週界 $latex P$ 短。因此 $latex p \le C \le P$。那麼，$latex p$ 和 $latex P$ 分別有多長？在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》文中我們學會了用三角函數去表示三角形邊長之比。看上圖可知 $latex b…… Continue reading Pi 是永恆 (二)

Pi 是永恆 (一)

亞視永恆。但有些東西可以比亞視更永恆。我們都學過圓周率，而且我們都知道圓周率的名字叫做 $latex \pi$。在學校裡，我們必定學過一條公式，就是如何用一個圓形的半徑去計算它的周長，即是圓周： $latex C=2\pi R$。上式告訴我們「圓周 $latex C$ 除以兩倍半徑 (即直徑) $latex 2R$ 等於 $latex \pi$」，大概就是我們對 $latex \pi$ 的第一個印象吧！我們在學校也學過，上式中的 $latex \pi$ 是一個常數。換句話說，無論一個圓形有多大，它的圓周 $latex C$ 和直徑 $latex 2R$ 之間的比例都是不變的。有史記載第一個證明 $latex \pi$ 是常數的人，有說是阿基米德。他使用極限 (limit) 的數學概念，以逼近法把 $latex \pi$ 好像夾三文治一樣夾出來！從而證明它是一個常數，計算出 $latex \pi$ 在 3.1408 和 3.1429 之間，準確至兩個小數位。事實上，$latex \pi$ 是無窮無盡的，即是它擁有無限個小數位，怎樣計也永遠計不完。現代的超級電腦，可以把 $latex \pi$ 計算至萬億個小數位。可是，萬億個小數位距離無限，仍然是無限遠。我們知道這些都是事實。可是，我們又有沒有想過，為。什。麼？在這一連幾篇文章中，我會用兩個不同的方法去證明 $latex \pi$ 是一個常數，即是證明所有圓形的圓周率都是一樣的。換句話說，我們會證明所有圓形的圓周與直徑的比例都是一樣的。然後我會介紹其他與圓形和…… Continue reading Pi 是永恆 (一)

三角 X 斜率 X 微積分

上回介紹了三角學的基本函數 sine 和 cosine 與圓形的關係。在下回介紹圓周率 $latex \pi$ 之前，有一項非常重要的結果必須首先介紹。對於一條任意畫的線，只要它是可以一筆過不斷開地畫出來和沒有尖角的 (嚴謹的數學概念叫連續的和可微分的)，那麼我們就可以定義一個叫做斜率的東西：換句話說，斜率就是描述該線段相對於橫軸的斜度而已，即是講一道斜坡相對於平地有多斜。從上式定義之中，可見斜率以小數或分數來表示的。日常生活中，通常我們都習慣用角度表示斜率，不過這對我們的討論沒有影響。數學中一個非常重要的技巧就是微積分 (calculus)。微積分是牛頓 (Isaac Newton) 和萊布尼茲 (Gottfried Leibniz) 在同一時期分別獨自發現的。現在我們用的微積分符號是萊布尼茲的版本。如果沒有微積分，今天我們日常生活中各式各樣便利的現代發明都不可能存在。微積分可說是人類史上最重要的數學發現。故名思義，微積分就是微分和積分的運算。在我們的討論裡不會用到微積分的運算，大家只需要記住：微分就是計算無限短的線段的斜率的方法。至於積分我們會在以後再講。在上回圖中，我們知道了 sine 和 cosine 函數的圖形。現在我們問，它們的斜率是多少？換句話說，我們問：有學習過微分運算的讀者，必定能夠立即說出答案：上式中我們使用了 $latex \textrm{d}$ 代替 $latex \Delta$，以表示無限小的改變。這只是數學慣用符號而已，只要我們記得現在所做的一切都是在趨向無限短的線段上做的，那麼兩個符號在概念上就是一樣的。現在，讓我們來試試不使用微分運算去找出 sine 和 cosine 的斜率吧！首先考慮上圖。圖中有一半徑為 $latex R$ 的圓形，圓心為 O 點。把 $latex R$ 從水平逆時針畫出一角度 $latex \theta$，連起 O 點和 A 點。再繼續逆時針畫出一細小角度 $latex \Delta\theta$，連起 O 點和 B 點。所以…… Continue reading 三角 X 斜率 X 微積分

畢氏定理 X 圓 X 三角學

大家知道畢氏定理、圓、三角學這三樣東西有著密切的關係嗎？首先，我們來考慮一個直角三角形： [圖一] 根據前文討論過的畢氏定理，我們就有 a2 + b2 = c2。現在來考慮一個圓形。我們可以如何定義一個圓形呢？「指定一點叫做圓心 O ，向任一方向伸延一長度 R，然後將這長度 R 繞 O 轉一圈，那麼 R 的頂點畫出來的形狀就定義為『圓』，並且 R 稱為這圓的半徑。」好了，我們現在有了三角函數和圓的定義，就來看看它們之間有什麼關係吧！首先，我們把 O 放在二維平面上，並使 O 與 (x, y) = (0, 0) 重疊。我們問，一個半徑為 R 的圓形，如何以 (x, y) 座標表達呢？看看下圖，我們在圓周上隨意選一點 (x, y) = (a, b)，並與 O 點連接，因此 (x, y) = (a, b) 和 O 之間的長度就是半徑 R。 [圖二] 然後在 (x, y)…… Continue reading 畢氏定理 X 圓 X 三角學

加菲證明畢氏定理

我又做標題黨了，這個加菲並不是加菲貓，而是美國第二十任總統占士．加菲 (James Abram Garfield)。畢氏定理說，一個直角三角形中，直角 (即 90 度) 的兩條鄰邊長度各自二次方相加等於斜邊長度的二次方： [上圖應為「畢氏」，懶改，注意。謝 Alan Chiu 指正！] 加菲總統的證明很簡單，我們只需要知道幾件事實：三角形內角總和是 180 度；直線上的角度總和是 180 度；三角形、正方形、梯形面積計算方法。以上事實的證明十分簡單，就留給有興趣的讀者自行證明吧！事不宣遲，我們來證明畢氏定理吧：我們首先沿 a 邊向上畫多一個一樣的直角三角形，不過這次把它順時針轉 90 度來畫。最後，我們好像下圖中把右上角和右下角的兩點連起來，得到了一個梯形：現在，我們問，圖中叫做 x 的角度是多少？給大家一分鐘。答案是 90 度，即是一個直角。為什麼？如果叫 c 邊與 b 邊的夾角做 y，那麼 c 邊與 a 邊的夾角就是 90 度 – y，因為三角形內角總和是 180 度。接著，看看左邊垂直的 (a + b) 邊，因為直線上的角度總和亦是 180 度，我們就有所以，圖中打斜的是一個等腰直角三角形，兩條邊長是 c。換句話說，這個三角形的面積就是一個邊長為 c 的正方的一半。…… Continue reading 加菲證明畢氏定理

科學數據如何畫靚啲？

科學家在寫論文的時候，除了文字解釋外，也需要用圖表去表達數據。今次我想介紹的是科學家很常用的一種數據表達方式：對數 (logarithm)。我們在中學都會學過對數的數學運算。根據我一位數學家朋友所講，簡單來說，對數「就是用加法來做乘法」： [在本篇文章之中，所有對數的底數 (base) 都是 10，當然我們的討論同樣適用於其他底數] 在日常生活中，我們可能沒有什麼機會用到對數運算。不過科學家卻是非常喜歡用的呢！為什麼呢？很多自然定律都有一個特徵，就是它們的數學表達式，都是遵從冪定律 (power law) 的。例如地震強度、萬有引力和電磁力的強度、太陽內部的核子反應過程速率、行星運動軌跡、大家比較熟悉的經濟學裡的 80 – 20 定律 (長尾理論)、我在《科研解碼：淺談伽瑪射線暴》中介紹過的電子同步幅射光譜等等，都遵守冪定律。可是冪定律又跟對數有什麼關係呢？其實在數學上並沒有特別關係，對數只是一種運算方法。不過在表達數據的時候，例如在用圖表去把數據畫出來的時間，如果不用對數去表達冪定律，就可能不太方便了。例如下圖是電子同步幅射光譜：在上圖，我們很容易就可以看出同步軸射光譜的特徵。留意圖中橫軸和縱軸，我們不是 1, 2, 3, 4… 即線性 (linear) 地去數，而是 1, 10, 100, 1000… 地去數。換句話說，我們用了對數方式去表達橫軸和縱軸，因為 log 1 = 0, log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3… 如此類推。所以其實在橫軸上，越向右邊的數字之間的「密度」就越高；同樣地在縱軸上，越向上面的數字之間的「密度」也越高。即是當我們使用對數去表達圖表的時候，越大的數字的貢獻會被「濃縮」，反之越小的數字的貢獻就會被「強調」。我們會問，為什麼要這樣做啊？因為大自然的運作方式，很多時候都是冪定律。冪定律意味著在分析數據的時候，我們需要同時分析「很大」和「很小」的數字。但是，人類的腦袋卻比較習慣分析線性的資料，即是之間分別不是太大的數字。例如，我們比較容易感受 1, 2, 3, 4… 去到不太大的數字之間的分別，例如我能夠感受…… Continue reading 科學數據如何畫靚啲？

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