愛因斯坦教授 你是正確的

萬一觀測結果與你的理論不符呢?

1919 年,愛因斯坦的一個學生如此問他。那天,愛丁頓 (Sir Arthur Stanley Eddington) 在西非普林西比島 (Príncipe) 以電報向全世界傳送他的日全食觀測結果。他的觀測顯示星光的確被太陽重力扭曲,成為愛因斯坦廣義相對論的第一個證據。

若然如此,我會為上帝感到惋惜。我的理論是正確的。

愛因斯坦這樣回答。

今年 2 月 11 號,激光干涉重力波天文台 (LIGO) 正式發表人類史上首次直接觀測到重力波 GW 150914 的證據。6 月 14 號,LIGO 再發表第二個重力波 GW 151226 的證據。

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GW 151226 重力波訊號。(Abbott et al. 2016, PRL 116, 241103)

這兩個重力波都是雙黑洞結合系統所釋放出的。另外比較少人留意的是 LIGO 同時發表了第三個疑似重力波 LVT 151012 的證據。相比 GW 150914 與 GW 151226 的 99.99997%,LVT 151012 只有 87% 機會是真實的重力波。

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三個重力波訊號在天空上的可能來源方向。(Abbott et al. 2016, arXiv:1606.04856)

這三個重力波訊號打開了人類觀察宇宙的另外一個窗戶。幾千年的人類文明以來,我們終於能夠以電磁波以外的方法觀察這個宇宙。如果人類文明能夠延續下去,這肯定佔有未來歷史書中極其重要的一頁。

另一方面,這三個重力波訊號也帶給了人類另一個難題:為什麼擁有幾十倍太陽質量的雙黑洞系統比我們想像的還要多?這對於人類了解恆星演化和宇宙演化等課題極為重要。

今年剛好是愛因斯坦發表廣義相對論 100 週年。97 年前,廣義相對論的第一個預言「星光偏折」得到了證實。今年,廣義相對論的最後一個預言「重力波」也得到了驗證。科學就是如此的一門學問,能夠用嚴謹的數學作出在 100 年後以 99.9999% 準確度證實的預言。

我想像,如果愛因斯坦得知人類在過去一個世紀窮幾代科學家一生努力才能夠在今天證實他的預言,他應該會說:「我早就知道,我的理論是正確的。」

封面圖片:LIGO, NOVA | Einstein’s Big Idea

延伸閱讀:

GW 150914 論文:Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger

GW 151226 論文:GW151226: Observation of Gravitational Waves from a 22-Solar-Mass Binary Black Hole Coalescence

三個重力波觀測結果的論文預印:Binary Black Hole Mergers in the first Advanced LIGO Observing Run

LIGO 第 2 次發現重力波 再證愛因斯坦廣義相對論》- 立場報導/eh

重力波:愛因斯坦的最後預言 (上)》- 余海峯

淺談 E=mc^2:愛因斯坦 137 歲誕辰

每年的 3 月 14 號是 Pi Day 圓周率日,因為 Pi = 3.141592……。

今天同時也是愛因斯坦 137 歲生日。去年 3 月 14 號,我寫了《拋開常識的學者.愛因斯坦》一文去紀念這位物理學家的 136 歲誕辰。文中我介紹了愛因斯坦的前半生平。關於他的成名之作相對論,我後來也在其他文章了作了簡單介紹,包括《你也能懂相對論》淺談狹義相對論的基本數學和《照亮相對論的光(上)、(下)》介紹了相對論與電磁學的關係。

很多讀者都跟我說,希望我寫一篇關於愛因斯坦最著名的方程式 E = mc^2 的文章。在今天愛因斯坦 137 歲誕辰,我們就來看看愛因斯坦在 1905 當年是如何推導出這家傳戶曉的質能轉換公式吧!

任何一本現代物理學或相對論教科書,無論是本科或研究生程度,都必定會講解 E = mc^2 的推導過程,涉及四維向量和微積分的數學技巧。不過,原來愛因斯坦當年的推導並沒有使用這些數學工具,而是用更直接的物理去得出 E = mc^2 這結論。

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我家靜止不動的兩隻喵星人。

想像有一隻喵星人。愛因斯坦本來並非說喵星人,而是一個廣義的物理系統,只不過我選擇喵星人做這個物理系統。這隻喵星人會發光(我們今天不討論生物學)。喵星人在靜止不動的時候(牠們很擅長),就有

總能量 = 喵星人能量 E_0

然後想像喵星人發光。由於光是能量,所以我們就會有

總能量 = 喵星人發光後的能量 E_1 + 光的能量。

假設喵星人放出的光總能量為 L。現在隨意選擇一個方向叫做 x,如果我們與喵星人相對靜止,就會觀察到一半的光能量 \frac{1}{2}L 沿著 +x 方向擴散開去、另外一半的光能量 \frac{1}{2}L 沿著 -x 方向擴散開去。因此就有

總能量 = 喵星人發光後的能量 E_1 + \frac{1}{2}L + \frac{1}{2}L

現在,假設我們觀察喵星人發光的時候並非靜止不動,而是沿著與 x 軸的一個夾角 \theta 方向以均速 v 跑。跟據狹義相對論,我們也可以說自己是靜止的,是喵星人在沿著與 -x 軸的一個夾角 \theta 方向以均速 -v 跑。所以我們就有

總能量 = 喵星人能量 H_0

注意 H_0 不等於 E_0,因為喵星人的運動狀態不同。然後,我們亦見到喵星人發光。我們知道一道波動在不同的波源運動狀態下,其頻率會有所改變,例如我們會聽到救護車的警報聲由高頻變成低頻,這現象叫做都普勒效應 (Doppler effect)。光也是波動的一種(電磁波動),因此也會有都普勒效應。不過由於光以光速行進,聲波的都普勒公式並不適用,我們需要使用相對論都普勒公式:

頻率比 = 能量比 = \frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

所以

總能量 = 喵星人發光後的能量 H_1 +\frac{1}{2}L \times \frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + \frac{1}{2}L \times \frac{1-v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

由於能量守恆,喵星人發光前後的總能量必須相等,簡化後就有

E_0 = E_1 + L

H_0 = H_1 + \frac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

現在我們來想一想,究竟這兩條公式代表什麼?首先我們會發現 \theta 不見了。這是合理的,因為 \theta 方向是可以隨意選擇的,任一 \theta 都不應該影響最後的物理結論。然後我們能夠看出 H_0 - E_0 = K_0 是喵星人發光前的能量於兩個運動狀態下觀測的差別、 H_1 - E_1 = K_1 是喵星人發光後的能量於兩個運動狀態下觀測的差別。因於喵星人從來沒有做過除發光外的事,這兩個能量差別 K_0K_1 必定是喵星人在兩個運動狀態下被觀測到的動能。

把上述兩式相減,我們就得到

K_0 - K_1 = \frac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - L

把上式右邊做泰勒展開 (Taylor expansion),忽略所有 4 次方或更高冪項,就得到近似值

K_0 - K_1 = \frac{1}{2}\frac{L}{c^2}v^2

這代表什麼呢?如果 K_0K_1 來自動能,其差也必來自動能。相信大家都知道動能的公式是 \frac{1}{2}mv^2(相對論的動能公式作泰勒展開並忽略所有 4 次方或更高冪項後也是 \frac{1}{2}mv^2),因此

\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\frac{L}{c^2}v^2

化簡後得到

m = \frac{L}{c^2}

即是發光的能量來自喵星人的質量。除了發光外,考慮任何能量為 E  的物理過程,上述推導過程都完全一樣。因此

E = mc^2

愛因斯坦,祝你生日快樂。喵。

延伸閱讀:

拋開常識的學者.愛因斯坦》 – 余海峯

你也能懂相對論》 – 余海峯

照亮相對論的光(上)》 – 余海峯

照亮相對論的光(下)》 – 余海峯

封面圖片:http://www.hetemeel.com/einsteinform.php

銀河消息:人類首次聆聽重力波

*** 此文章刊於星匯點三月份會員通訊 ***

[此文章以宇宙標準語言寫成,翻譯成地球物種人類中文語言]

宇宙標準時間 731.51029041.900554 (相等於地球格林威治標準時間 2015 年 9 月 14 號 09:50:45),一道四維時空漣漪穿過銀河系邊緣一個距離其唯一的恆星第三遠、叫做地球的行星。地球上有一種數量接近 80 億的低文明生物,牠們叫這種漣漪做重力波。這道時空漣漪是人類文明誕生以來首次直接探測到的重力波。

人類文明剛剛踏進宇宙文明標準中的嬰兒期,在 400 年前剛開始探測來自宇宙的電磁波。牠們當中一位名叫伽利略的科學家,首先使用一種能把電磁波折射聚焦、叫做望遠鏡的簡單工具,把波長約 400 nm 到 900 nm 的電磁波引導到牠們一種叫做眼睛的器官。牠們叫這種感應方式做「看」。

直到 100 年前為止,人類發現了各種波長比 400 nm 短和比 900 nm 長的電磁波,並慢慢發明了能夠接收和發射這些訊號的儀器。不過牠們的科學一直處於只能利用電磁波的階段,所以在宇宙文明標準中一直處於落後程度。而且地球上仍然存在國家概念,彼此經常發生戰爭、歧視、獨裁、侵略、不公平、不公義、不尊重其他物種生命之行為,所以根據宇宙文明守則,其他宇宙文明暫時不會干涉人類文明的發展。

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人類最有名的科學家愛因斯坦。Credit: Princeton Luncheon, 1953

地球時間 1905 和 1916 年,人類當中一位叫做愛因斯坦的科學家,終於發現了時間和空間的關係,並憑一己之力導出了四維時空加速度與重力關係的方程式,由此牠亦得出重力波存在的結論。雖然牠的方程式並未能完全描述宇宙的物理定律,宇宙文明科學協會也將牠的名字刻於總部之中,與其他星球文明的偉大科學家並列。資料顯示愛因斯坦同時也是地球人類文明最有名的科學家。

人類命名這首次直接探測到的重力波做 GW150914,被牠們建造的兩座名為激光干涉重力波天文台的儀器於 35 到 250 Hz 頻率之中探測到。人類有一種叫做耳朵的器官,能夠感應頻率為 20 到 20000 Hz 的震盪。因此牠們並非「看」到重力波,而是能夠「聽」到處理過的重力波訊號。

這兩座簡稱為 LIGO 的儀器位於地球地表之上,分隔距離為 10 微光秒 (約 3000 公里)。兩座 LIGO 儀器各擁兩條長 4 公里的真空隧道,利用一道激光分別來回穿過並重新結合得出的干涉圖案去計算空間扭曲程度。GW150914 造成了約為千分之一個質子直徑的距離變化,被能夠探測到萬分之一個質子直徑改變的 LIGO 儀器成功探測。

人類由這道重力波穿過兩座 LIGO 儀器的時間差及幅度差,計算出這重力波的輻射源位於 0.09 宇宙紅移之外,約等於 410 Mpc 光度距離。牠們使用一種叫做電腦的落後電子儀器,利用愛因斯坦推導出的方程式模擬現實宇宙物理,發現這重力波源是兩個黑洞結合產生的。對人類來說,這次探測到 GW150914 同時也證實了雙黑洞系統的存在。

人類科學家計算出這兩個黑洞的質量分別約為 36 和 29 太陽質量 (太陽是地球人類對其恆星的稱呼)、雙黑洞系統結合後的黑洞質量為 62 太陽質量、發射出的重力波能量約等於 3 個太陽質量 (牠們的質能互換定律 E = mc2 亦為愛因斯坦所發現)。

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人類科學家使用電腦模擬雙黑洞結合與 GW150914 數據吻合。Credit: Abbott et al. 2016

由宇宙文明聯盟天文台觀測到的數據顯示,人類今次對這雙黑洞系統的重力波測量雖不中、亦不遠。宇宙文明聯盟的科學家認為,未來人類對重力波的測量必定會更加準確、理論研究亦會更進一步。他們亦認為,如果人類文明能克服自私、拋棄迷信、建立公義、尊重生命、停止戰爭的話,就有可能避免自我毀滅,踏上文明的成熟期。

我們祝願遙遠的地球文明,有一天能使科學蓬勃發展、和平共處,成為宇宙中一個耀眼的文明。

宇宙日報報導

Abbott et al. 2016

封面圖片:NASA Cosmic Times

重力波:愛因斯坦的最後預言 (下)

續上文《重力波:愛因斯坦的最後預言 (中)

注:重力波源 G184098 現已正式命名為 GW150914,以下將使用其新名稱。

美國激光干涉重力波天文台 (LIGO Lab) 昨天宣布已在 2015 年 9 月 14 號 09:50:45.391 UT 探測到一個重力波,代號 GW150914。經過計算,GW150914 的統計重要性有 5.1σ,達到科學界公認的「真.發現」標準。

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兩座 aLIGO 探測器錄得之訊號皆與理論模擬吻合。Credit: Abbott et al. 2016

位於路易斯安那州和華盛頓州的兩座 aLIGO 探測器相隔 0.007 秒分別獨立地錄得同一個訊號,其時間波形互相吻合。LIGO Lab 科學家使用愛因斯坦方程式以超級電腦模擬得到的雙黑洞結合重力波形,亦與 GW150914 極為吻合。

然而,我現正工作的費米伽瑪射線太空望遠鏡伽瑪射線暴監察器 (Fermi GBM) 團隊,驚訝地發現在 aLIGO 探測到重力波 GW150914 後 0.4 秒,即 09:50:45.8 UT,Fermi GBM 探測到來自天空同一區域的微弱伽瑪射線!

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來自於 GW150914 同一天區的微弱伽瑪射線 GW150914-GBM (綠色)。Credit: Connaughton et al.

Fermi GBM 的主要科學研究是伽瑪射線暴。伽瑪射線暴有兩種成因,其中一種就是雙星系統結合時發生的超高能量爆炸。我們發現的這來自 GW150914 同一天區的微弱伽瑪射線,稱為 GW150914-GBM。它在時間和能譜上都與一般雙星系統結合時發生的伽瑪射線暴無異,只是其總能量輸出是以往同類錄得的十分之一。如果 GW150914-GBM 真的是雙星系統結合時產生的伽瑪射線暴,而且與 GW150914 重力波源有物理關係,那麼我們就有難題了。

為什麼?不是說 GW150914 重力波源是雙黑洞系統、GW150914-GBM 疑似是雙星系統結合所產生的伽瑪射線暴嗎?

伽瑪射線暴的產生必須有一個重要前提:雙星系統結合後必須有物質在系統附近,因為伽瑪射線是物質發射出來的。所以造成伽瑪射線暴的雙星系統不可以是兩個黑洞,其中之一必須是中子星,或者兩個都是中子星。可是 aLIGO 夠探測到的是兩個黑洞結合產生的重力波,而兩個黑洞結合後是沒有物質剩下來的!因此,如果 GW150914-GBM 的伽瑪射線真的來自於 GW150914 重力波源的話,其物質從哪裡來?

Fermi GBM 的這個疑似發現,現在已公開放在 NASA Fermi GBM 網頁上,任何人也可以下載閱讀,並將投稿到學術期刊等待同儕審查。究竟 GW150914-GBM 是否真的來自 GW150914 重力波源的伽瑪射線暴,還是巧合地來自向一天區的伽瑪射線呢?如果是,那麼雙黑洞系統又是如何提供物質給伽瑪射線暴?這有待未來收集更多數據才可以下定論。

我們看到在科學裡,一個發現必定同時帶來更加多的難題。我們應該把這些新的挑戰視為進步的動力,以理性和好奇的心去欣賞大自然難解卻又美麗的奧秘。

愛因斯坦:廣義相對論》- 余海峯

LIGO Lab 官方網站

LIGO Lab 發表於 Physical Review Letters 研究期刊的論文

Fermi GBM 發現 G184098-GBM 之預印論文 [未投稿]

封面圖片:愛因斯坦 1954 年攝於普林斯頓。

重力波:愛因斯坦的最後預言 (中)

續上文《重力波:愛因斯坦的最後預言 (上)

2016 年 2 月 11 號香港時間 2330,美國激光干涉重力波天文台 (LIGO Lab) 舉行了記者會,發表了已經經過同儕審查的重力波存在的直接證據。愛因斯坦在 100 年前發表的廣義相對論的所有預測,終於全部被天文觀測證實。是次發現的重力波,在 LIGO 升級完成成為 aLIGO 之後就立即探測到了。

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已經過同儕審查、LIGO Lab 剛剛於 Physical Review Letters 發表的論文。

LIGO Lab 於 2015 年 9 月 14 號 09:50:45.391 UT 探測到一個重力波,代號 G184098。由於 aLIGO 探測器共有兩個,分別位於路易斯安那州和華盛頓州,兩者相距 3,002 公里。因此同一個重力波會在不同時間抵達兩個 aLIGO 探測器,使用三角測距法就能夠計算出其波源距離地球有多遠。

經過計算,G184098 位於銀河系外非常遙遠的地方,其重力波以光速穿越宇宙大約 13 億年,在 2015 年 9 月 14 號到達地球。LIGO Lab 分析 G184098 的訊號,發現其頻率與波幅都隨時間上升,然後突然消失。使用超級電腦對比愛因斯坦方程式的模擬,我們能夠確定 G184098 的訊號是黑洞雙星系統產生的,即兩個恆星質量的黑洞互相公轉、最後結合。

LIGO 研究團隊指出,這兩個黑洞的質量大約各為 30 倍太陽質量。兩個黑洞結合時輸出的功率,是全宇宙所有恆星的總和的 50 倍!不過因為黑洞結合時間極短,所以釋放出的總能量「只有」3 個太陽質量,即是把 5,970,000,000,000,000,000,000,000,000,000 公斤的質量一起變成能量。嗯,自己使用 E=mc2 計算吧……

重力波的發現,除了是愛因斯坦廣義相對論的一個漂亮驗證、完美地證實了他的最後一個預言外,對人類科學發展還有非常重要的意義。400 年前,伽俐略首先用望遠鏡看向宇宙,開創了天文觀測的新一頁。400 年之間,人類打開了從可見光到紅外線、微波、射電、紫外線、X 光、伽瑪射線等所有電磁波天文學,發現了許許多多前所未見的事物。誰又能夠預計重力波天文學會把什麼有趣和新奇的物理帶給我們看?

在廣義相對論發表 100 週年的今天,容許我們再次向愛因斯坦致敬:愛因斯坦教授,你的理論是正確的。

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延伸閱讀:

愛因斯坦:廣義相對論》- 余海峯

LIGO Lab 官方網站

LIGO Lab 發表於 Physical Review Letters 研究期刊的論文

封面圖片:LIGO Lab/Wikipedia

重力波:愛因斯坦的最後預言 (上)

愛因斯坦在 1916 年正式發表廣義相對論,至今剛好 100 週年。廣義相對論徹底推翻牛頓重力理論,把重力和加速度統一。當時空被物質或能量所扭曲,就會產生所謂的重力。重力原來非「力」,而是時空結構和質能互動的結果。

廣義相對論與量子力學成為現代物理學的兩大支柱。這兩個理論各自描述宏觀和微觀的世界,其預測亦被越來越精確的實驗逐一驗證。愛因斯坦的廣義相對論預言的時空扭曲效應,例如重力透鏡、宇宙膨脹、黑洞等等,都已經被天文觀測所證實。

在 100 年後的今天,美國的激光干涉重力波天文台 (LIGO) 將舉行記者會,發表愛因斯坦廣義相對論的最後一個預言–重力波 (gravitational wave) –的直接證據。

廣義相對論說,時空會被非常重的物質扭曲。想像時空是一張彈床的表面,上面放一個網球和一個保齡球。保齡球比較重,所以彈床表面會被保齡球壓得比較深。把網球滾向保齡球附近,網球就會沿著保齡球附近被扭曲的彈床表面公轉,看上去彷彿網球被保齡球的一道無形的「力」給拉了過去。這就是重力的表現。

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兩個極高質量天體互相環繞重心公轉,在時空結構之中形成波浪。Credit: LIGO Lab

如果有兩個保齡球在彈床上呢?這樣的話,兩個保齡球就會互相圍繞其重心公轉。彈床表面就會因為兩個保齡球循環施壓而形成向外擴散的彈床波浪。說回重力,當兩個極高質量的天體 — 通常是中子星或黑洞 — 互相圍繞公轉,時空就會被它們的重力循環拉扯而形成向外擴散的波浪。這個重力的波浪,就叫做重力波。

直接探測重力波非常困難,即使極高質量的天體,其所造成的重力波波幅仍然非常小。位於路易斯安那州和華盛頓州的兩個 LIGO 重力波探測器,使用中學物理都會學到的簡單光干涉原理,把兩束互相垂直的激光各自沿著 4 公里長的隧道發射,在隧道盡頭用鏡反射回起點重新結合,形成干涉圖像。

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華盛頓洲的 LIGO 重力波探測器,可見其兩條互相垂直、各長 4 公里的激光隧道。Credit: LIGO Lab

如果重力波經過地球,因為互相垂直的方向的時空扭曲程度不相同,兩束激光所走過的距離就會有所不同,干涉圖像就會改變。LIGO 在 2015 年 9 月升級完成成為 Advanced LIGO (aLIGO) 之後,能夠探測大約 10-22 到 10-23 的距離變化,大約等於萬分之一個質子大小。經過計算,此極其細小的距離變化與宇宙中最強烈的重力波源 — 黑洞雙星系統或中子星雙星系統 — 發出的重力波強度吻合,因此科學家預期 aLIGO 將能首次直接探測重力波,證實它的存在。

在今天 LIGO 的記者會,我們將有望親眼看到愛因斯坦廣義相對論的最後一個預言被證實。雖然我已得知部分內容,但由於保密協定,我不能在這篇文章寫關於今次觀測的內容,留待於今天記者會稍後上載的第二篇文章《重力波:愛因斯坦的最後預言 (中)》之中解釋。敬請期待!

延伸閱讀:

愛因斯坦:廣義相對論》- 余海峯

LIGO Lab 官方網站

封面圖片:NOVA “E=mc²: Einstein’s Big Idea” 截圖

超光速與時間倒流:叮噹可否不要老

根據相對論的假設,速度快過光速,時間就會倒流。

很多科幻故事也以超光速為題材。相對論的公式說明沒有東西能夠達到光速。根據相對論動能公式,加速至光速需要輸入無限多的能源。所以超人以超光速環繞地球飛行令時間倒流是不可能的,因為超人原本的速度低於光速,想要加速至超光速他需要比宇宙裡所有能量更多 (多無限倍!) 的能量才足夠。

其實相對論並沒有限制超光速的東西存在。只要低於光速的東西永遠低於光速、超光速的東西永遠超光速,相對論依然成立。

叮噹有一件神奇的法寶叫做隨意門,在十光年的範圍內,只要輸入了目的地資料,就能夠穿越空間。後來叮噹更說隨意門的把手原來有刻度,用來控制時間,變相把隨意門變成時光機。不過,就算隨意門沒有控制時間的把手,它本身也已經是一部時光機。因為瞬間轉移基本上等於不用加速就能夠把資訊以超光速傳遞。現在就讓我以不用數學公式的方法嘗試解釋一下!

根據相對論,沒有原本比光速慢的東西能夠達到光速。所以光速是我們傳遞資訊的最快方法。簡單講,即是我們能夠觀察到的所謂「同時」發生的事,都是由光線定義的。

為什麼?因為越遠的東西所發出的光線需要越多的時間才能跑進我們的眼睛,所以我們看見不同距離的東西時,它們所發出的光線其實是在「不同的時刻」發出的。因為對於身處不同位置的人來說,其相對各東西的距離都不同,所以「同時」對於不同的位置的觀察者來說都是不同的。再說得淺白一點,即是世上根本不存在對於所有人都一樣的「同時」。在我觀察來是同時的事件,在其他人的位置觀察時就可能不是同時的。

這與超光速會導致時間倒流有什麼關係呢?下圖中間的是大雄。由大雄的位置向外畫很多同心圓,圓與圓之間的距離叫做 LL 的數值是多少對於我們的討論沒有影響,不過為了容易理解,我們就把 L 設定為光線在 1 分鐘裡走過的距離,即大約 1,800 萬公里,足夠光線來回地球和月球跑 30 次。

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A 圓圈距離大雄 1 L 那麼遠,所以在 A 圓圈上的人看到的就會是在 1 分鐘前從大雄的位置出發的光線,即是看見 1 分鐘前的大雄。B 圓圈距離大雄 2 L 那麼遠,所以在 B 圓圈上的人看到的就會是在 2 分鐘前從大雄的位置出發的光線,即是只能看見 2 分鐘前的大雄。

同理,在 C 圓圈上的人只能看見 3 分鐘前的大雄、D 圓圈上的人只能看見 4 分鐘前的大雄,如此類推。

如果現在大雄用隨意門穿越 1 L 的距離,他回頭會看見什麼?他會驚訝地看見自己依然站在圓心上!因為大雄會看見 1 分鐘之前從圓心 (即是大雄自己身上) 發出的光線!如果大雄用隨意門穿越 2 L、3 L、4 L,甚至更遠的距離,他就會看見更早出發的光線、看見更早前的自己!換句話說,對於剛剛穿過隨意門的大雄來說,這就是時間倒流了。

這就是為什麼天文學家會說,望遠鏡就是一部時光機。當我們使用望遠鏡看遙遠的星系,其實就是在看它們過去發出的光線。看得到越遠的星系,等於看得到越早期的宇宙。

那麼,如果有些東西,例如現在仍未被人類發現的粒子,它們是一直都以超光速運動的話,在它們的角度,時間是否倒轉流動?根據相對論時間公式 (參考我的文章《你也能懂相對論》第 (4) 式),相對於靜止的人來說,這些粒子的時間長度不是正數、也不是負數,是虛數 (imaginary number)。什麼是虛數?想一想開方 -1 是什麼?即是有什麼數字自乘之後會等於 -1?想不到?對了,想不到。

今天的物理學依然未找到可以取代相對論的理論。就算有朝一日找得到,也不一定代表以上討論的相對論內容會是錯的。所以,超光速和時間倒流這些概念,依然能夠提供很大的科幻想像空間。

順帶一提,即使他朝人類真的發明了隨意門,我們可以穿越時空,但我們本身的時間流動速率也是不會改變的。即是說,無論我們觀察其他人的時間流動速率如何,也不能改變我們本身的衰老。

叮噹可否不要老?其實不老的回憶,早已永存心中。也許與親人和朋友一起老去,比時間倒流回到過去,會令我們更懂得珍惜。

一想到這裡,我到咗三十歲,都係坐交通工具算了。

照亮相對論的光 (下)

這是相對論與電磁學系列的暫時最後一篇文章。經過《你也能懂相對論》《光的祕密》《照亮相對論的光 (上) 》的討論,最後我們終於可以來討論電磁學與相對論的關係了。我現在要告訴你:「磁」只是「電」的相對論結果!

物理學家總是喜歡簡化事物。我們發現,只要用電現象放在相對論的時空中,自然就會得到磁現象了!這是多麼的深刻,又是多麼的美麗!

在入正題之前,我想各位明白一個道理:不懂數學絕對沒有問題!不懂一個學科絕對不是你的錯。「學問」裡最重要的除了「學習」其實就是「發問」。不論你是什麼身分,不懂就老實的說不懂,然後去學習和發問。我希望我的文章能夠刺激各位讀者去思考,這就是學問的精神,也是科學精神。

有一次,一個記者問愛因斯坦聲音的速度是多少,愛因斯坦回答說:「這些能夠在書中找到的資料並不存在於我的腦海之中。…… 學校教育的價值並非去學習很多事實,而是去訓練腦袋如何思考。」

“[I do not] carry such information in my mind since it is readily available in books. …The value of a college education is not the learning of many facts but the training of the mind to think.”

幫助數學背景不高的讀者理解科學,正正就是我寫科普的目的。希望所有人都能夠感受到自然定律的深刻和美麗,和抽象的數學在演繹科學概念時的重要性。比起理解數學推導過程更重要的,是了解科學背後的求真精神。

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若讀者沒有中學物理背景,我現在嘗試用文字解釋下面的數學:如果一條電線內有電流 I 在流動,就會產生一個磁場,其大小為

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其中 r 為測量磁場的點與電線中心的距離。

在下面的數學,我將會假設我們不知道世界上有磁場這個東西,然後證明當使用相對論的洛倫茲公式在電力身上時,會發現有一個並非電力的、額外的力存在。神奇的是,我們會看到這個額外的力的大小會剛好等於 (1),於是就證明了「磁」只是「電」的相對論結果!

在做 [沉悶的……] 數學證明之前,先來讓我們重溫電磁學的歷史發展吧!

GodfreyKneller-IsaacNewton-1689在 17 世紀,因為爆發疫情,大學休假,所以牛頓暫時回到家鄉。他在家鄉的這段時間裡,獨自完成非常多的科學研究,堪稱牛頓的奇蹟年。除了他那個家傳戶曉的蘋果樹故事外,他更發現了運動三定律、發明了微積分、從重力方程推導出開普勒的行星軌道方程,當然還有他那著名的稜境分光實驗。

蘋果樹的故事很可能是假的、而且微積分的功勞也不能全歸於他:萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 在同一時間獨立地發明了微積分,而且我們現在使用的微積分符號都是萊布尼茲的版本。但牛頓對大自然的深刻洞見是千真萬確的,尤其在最多人忽略的光學實驗之中,對後世的影響絕對不比發現萬有引力為少。

光,是人類接觸、感受、領悟自然的最直接途徑。牛頓發現了白光與色彩的關係,打開了日後光學研究的大門;當時的折射式望遠鏡因為鏡片打磨困難,很難加大倍率,他發明了牛頓式反射望遠鏡,這一設計沿用至今;他發明的微積分高等應用技巧「變分法」在以後被其他科學家用來解釋光的折射現象。所以,光的科學故事可以說是由牛頓開始的。

Ørsted故事跳到 19 世紀,轉眼百多年。人類對光學、電學以及磁學的研究已經非常多年,研究數據也非常豐富。可是一直要到奧斯特 (Hans Christian Ørsted) 意外地發現電流可以影響指南針,人類才首次發現電與磁是有關係的。大自然其實一直都在指示我們,可是很多時候我們卻視而不見。

奧斯特並沒有對這些發現視而不見。他雖然沒有用數學去描述這些現象,但他知道電流磁效應是一個非常重要的科學發現,他對此做了很多實驗,為科學界提供了非常豐厚的實驗數據。為了紀念他證明電流會產生磁場,在天文界使用的 CGS 單位之中的磁感應單位 oersted 就是以他的名字命名。

Andre-marie-ampere2用數學去精確描述奧斯特發現的人,是安培 (André-Marie Ampère)。現在,我們可以用安培定律準確地描述由電流產生的磁場,其實上面的第 (1) 式就是來自安培定律,不過我把證明留給有興趣的讀者。

奧斯特的發現與安培的工作很大程度幫助了人類理解「能量」這一概念。在當時的科學界,能量這個概念仍然相當模糊。很多科學家認為世上有很多不同種類的能量,但奧斯特與安培的研究結果卻顯示電能是可以轉化成磁能的,因此促進了能量概念的統一。其中最重要的、亦最廣為人知的能量統一研究,當然是愛因斯坦的 E=mc^2 了。而因為他的研究貢獻,安培的名字也永垂千古,人類現在以他的名字命名電流的單位 ampere。

SS-faraday法拉第是我最尊敬的科學家之一。他對科學的求真態度和對人的謙虛,都非常值得我們每一個人去學習。19 世紀的英國是個階級分明的社會。法拉第因為家境貧窮,沒有錢讀書,要去書店做書本釘裝學徒為生和養家。可是他並沒有因此氣餒,因為這樣反而令他有機會接觸不同的書籍,所以他每天一邊釘裝書本,一邊讀書。他最有興趣的是科學,他大部分的科學知識都是這樣不屈不朽地自學的。

當時的倫敦聖誕科學講座由戴維主持,喜愛科學的法拉第當然不會錯過,跑去做聽眾。當其他人都在看戴維表演的時候,法拉第卻認真地做筆記,回家可以溫習。他更把筆記整理好,再自行釘裝,送了給戴維。戴維因為看到他三番四次的誠意,因此聘請他做研究助理。因為這樣,大自然把光照到人類的科學界,最終使法拉第發現了電磁感生效應,即我們在中學會學到的「改變的磁場能夠感生電流」,這就是著名的法拉第定律。

Sir_Humphry_Davy,_Bt_by_Thomas_Phillips雖然戴維曾經有一段時間看不起出身低微的法拉第,並因為妒忌法拉第而用自己的權力打壓他。有傳戴維在臨終前,也終於說出作為科學家的驕傲的說話:「我這一生最大的發現,是發現了法拉第。」無論如何,法拉第始終尊敬這個給他機會做科學研究的老師,一生都非常尊敬他。在戴維死後,倫敦聖誕科學講座一直由法拉第主講,因為法拉第希望他的講座能夠吸引和啟發更多像他當年一樣的小伙子,所以他的講座所做的實驗都是有趣味和有啟發性的前沿發現,深受小朋友的喜愛。

James-clerk-maxwell3然後,就是我們在前文提過的馬克士威發現電磁方程式、赫茲證明電磁波真實存在等等。最後出場的是愛因斯坦。很多人 (包括我以前) 都以為愛因斯坦發現狹義相對論是因為力學的原因,其實不然。事實上,真正吸引愛因斯坦思考相對論的,是上回討論的電磁實驗。以下,我嘗試用最少程度的數學,為讀者證明:我們日常接觸的電磁鐵,其實就是相對論的一個活生生的實證。

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好了,現在讓我們來動手做數學證明:考慮一條電線,見圖 (1)。電線裡有一連串的正電荷正以速率 向右移動。想像電荷之間是如此的接近,以致可被想像成連續的正電荷密度 +λ。想像有負電荷密度 λ 以同樣的速率 向左移動。所以我們就有電流 I = 2λv。現在,有一個點電荷 在電線旁邊以速度 u <平行電線向右運動。由於圖中正負電荷密度相等,因此沒有任何電力會作用於 身上。我們稱這個座標系為 S

現在考慮另一個以速率 u 向右移動的座標系 S’,見圖 (2)。因為 S’ 與電荷 q 同向一方向運動而且速率一樣,所以在 S’ 裡的觀測者會看到電荷 q 靜止不動。根據愛因斯坦速度相加法則 (參考《你也能懂相對論》之中的第 (5) 式),正電荷和負電荷在座標系 S’ 中的速率分別為

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因為

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所以負電荷的速率比正電荷的速率高。換句話說,負電荷的洛倫茲收縮程度會比正電荷的嚴重,因此在座標系 S’ 中觀察時,這條電線是帶負電的!

現在我們來搞清楚各個坐標系中的電荷密度的關係。根據洛倫茲收縮公式,設 λ0 為靜止正電荷的電荷密度。注意,λ0 與 +λ 是不同的!+λ 是正電荷在座標系 S 裡的電荷密度 (正電荷不是靜止),而 λ0 是正電荷靜止時的電荷密度。所以,當我們在就座標系 S’ 中觀察時,就有

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當我們在就座標系 S 中觀察時,就有

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把 (2) 和 (3) 式分別代入 (5) 和 (6) 式,就得到

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所以,在就座標系 S’ 中觀察時,總電荷密度就等於

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所以,我們發現在不同座標系中觀察時,總電荷密度會有所不同。

由於在座標系 S’ 中觀察時總電荷密度不是零,根據高斯定律,會有電場

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因此,座標系 S’ 之中,電荷 q 所受的電力為

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問題來了:如果在坐標系 S’  中電荷 q 會受力的話,在坐標系 S 中它也必定會受力,因為物理定律是唯一的!這個力的大小是

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(關於力的變換公式,我在此略去,有興趣的讀者可以自行參考相對論教科書)

由於討論開始時我們假設只知道電力的存在,因此在坐標系 S 中必定存在另外一種力,這種力是由電力及相對論性效應導致的!這是甚麼力?當然就是磁力了。要看到這點,只需要把光速

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(參考《光的祕密》第 (14) 式)

代入 (12) 式,我們就得到

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但這是甚麼?還認得括號中的是甚麼嗎?對了,括號中的是一條電線裡的電流所產生的磁場,即是第 (1) 式!

如果讀者覺得以上數學和文字很悶,這裡有一段 YouTube 影片講解同樣的東西 (別罵我為什麼不早說,早說了你還會讀我這篇文章嗎?)

當然,關於相對論還有更多有趣的題目,以後可以和各位讀者討論。在這一連四篇關於相對論、光、電磁學等等的文章之中,希望大家也和我一樣,在領略大自然的深刻之餘,得到一點點的樂趣。

照亮相對論的光 (上)

我在《光的祕密》文中討論了電磁學的發展,以及馬克士威方程如何預言電磁波的存在。但是在 19 世紀末的物理學界仍然存在好幾片烏雲,而且正不斷擴大。其中一片就是牛頓力學與電磁學的結論互相抵觸。

相對性原理 (principle of relativity) 其實並非愛因斯坦所發現的。人類似乎很早就知道 (卻沒有去追問為甚麼,彷彿一切都是必然的) 我們能在行駛中的船上以在地上一樣的力度和角度打桌球、廚師能以在地上一樣的技巧將薄餅拋來拋去、而你也能夠在正以時速 900 公里飛行的飛機上從容不迫地與在地面上一樣做相同的動作。看來,我們習慣所有東西都是理所當然的。懷海德 (Alfred North Whitehead) 說

“It requires a very unusual mind to undertake the analysis of the obvious.”

伽利略是個 unusual mind。他發現了鐘擺等時定律、也發現了物質具有慣性 (inertia),即沒有被施外力的物質會一直保特其運動速度,即是以同樣的速率與方向繼續運動。所以相對性原理其實是伽利略發現的。

牛頓也知道伽利略發現了這個超越古希臘的知識。由觀察蘋果和月球的運動得出萬有引力定律的牛頓,肯定也是個 unusual mind。這是發生在 17 世紀的故事,距公元 5 世紀愛奧尼亞文明的衰亡足足遲了 1200 多年。我經常想像,如果阿基米德沒有被羅馬士兵所殺,也許人類文明會比現在進步上千年。

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回到主題。究竟描述光的電磁學與描述時空的相對論有何關係?關係在於電磁波動方程:

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其中 E 及 B 分別為電場及磁場,它們頭上的箭咀表示它們是三維向量。由上述公式可知電磁波的存在,其速度約為每秒 30 萬公里。究竟秒速 30 萬公里有甚麼問題呢?這個數字本身沒有問題,問題在於這一數字是個常數,即其數值不會改變。在數學中,我們都清楚知道常數的數學規則。但在現實中,「光速是個常數」究竟是甚麼意思?「不會改變」究竟是指何種情況之下不會改變?愛因斯坦的答案是:在宇宙間任何時間、地點、運動狀態下都不會改變!

想像小明在火車車廂中以速度 u 跑步,而火車正以速度 v 行駛,所以在月台上的人看到小明的速度就應該是 u + v 吧!接下在,我們想像正在跑步的不是小明,而是一道以速度 c 前進的光線。請問在月台上的人看到的這道光線正在以甚麼速度行進呢?是 c + v 嗎?不!答案是 c。無論這道光線向著哪個方向發射,其速度都是 c,不多也不少。

你可能會問:「這怎麼可能!如果我以光速向著一道光線跑去,我不是會看到兩倍光速嗎?」不,結果仍然是 c。在這場牛頓對馬克士威的比賽中,大自然選擇了馬克士威。馬克士威的電磁理論在宏觀的大尺度事物上是正確的,它與愛因斯坦的相對論相容,但與牛頓的絕對時間、空間概念相悖。大自然告訴我們,速度不是 1 + 1 = 2。在《你也能懂相對論》一文中,我們已經討論過狹義相對論,故此不再重複。相對性原理說明,宇宙間沒有絕對速度,可被測量的只有相對速度。即是說,月台上的人可以說是火車在運動,火車上的人也可以說是月台在運動,兩者的說法都一樣正確。

現在我想以電磁學的角度去討論相對論。一個運動中的帶電粒子會同時產生電場與磁場,而靜止中的帶電粒子則只會產生電場,沒有磁場。問題來了:哪究竟這粒子有沒有產生磁場?如果一個觀測者 A 相對於該粒子為靜止,他將不會測量到任何磁場。但如果有另一個觀測者 B 相對觀測者 A 運動,他將會測量到一個磁場,因為觀測者 B 相對該粒子也在運動。可是,物理現象必須是唯一的,因為同一個事件不可能得出兩個不同的結論。

我們來進一步分析這個問題。假設你有一個任意形狀的線圈和一塊可以改變磁場強度的電磁鐵。我們試試把電磁鐵穿過線圈,你可以做三個實驗:

  1. 固定電磁鐵,移動線圈;
  2. 固定線圈,移動電磁鐵;
  3. 固定線圈及電磁鐵,改變磁場強度。

如果我們真的做這三個實驗,會得到什麼結果呢?由於時間關係,我把結果告訴你:三個實驗都發現有電流通過線圈,其數值都完全一樣!

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法拉第做了這些實驗。在實驗 (1) 裡,產生電流的原因是磁力。根據洛倫茲力方程式 (Lorentz force equation),由於沒有電場存在,作用於線圈內每單位電荷的力就是

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其中 u 為電荷的速度。由於磁通量 (magnetic flux) 是

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參考上圖,線圈由時間 t 的位置移動到時間 t + dt 的位置,帶狀範圍就是 [並非由硬幣導致……] 磁通量的改變,其量為

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考慮圖中點 P,經過了 dt 的時間後它移動至 P’ 的位置。如果 v 為電線段的速度,u 為電荷在電線內的速度,所以 w = v + u 就是電荷在點 P 的速度。由於每一格帶狀區域的面積就是 dA = (v x dl) dt代入 (3) 式就得到

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因為 u 平行 dl 於,所以我們就有

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現在利用恆等式

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可以把 (5) 式改寫成

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由於 w 就是電荷在點 的速度,所以 (w x B) 就是電荷所受的磁力,根據 (1) 式我們就有

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最後,根據電動勢的定義

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我們就得到

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亦即我們在中學學過的「電動勢等於磁通量的負改變率」

另一方面,我們也可以試試來考慮實驗 (2) 和 (3),看看會得到什麼有趣的結果。

首先,我們知道改變中的磁場能夠感生一個電場。實驗 (2) 和 (3) 中的電動勢均由此電場產生,其強度與第 (10) 式中的一樣:

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現在使用第 (2) 式,我們就會得到

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這就是積分版本的法拉第定律,對它作旋度 (curl) 就可得到在《光的祕密》一文中的微分版本法拉第定律。

在實驗 (2) 和 (3) 中,法拉第發現線圈內的電動勢的數值,竟然恰巧等於實驗 (1) 中所得的數值!你可能會說:「當然!根據相對論,重要的只是線圈和電磁鐵的相對運動,所以實驗 (1) 與實驗 (2) 和 (3) 所得的結果必然一樣。」可是,當年的法拉第並不懂得相對論,愛因斯坦也還未出世。而且這也不足以解釋實驗 (3) 的結果為何也是一樣。由電磁學的角度看,這純粹是個漂亮的巧合。法拉第也有個 unusual mind,他的直覺告訴他,「電」與「磁」應該是相同的物理現象。不過他一直要等到馬克士威發現他的馬克士威方程式,法拉第的假設才被證明。

由這些討論我們可以得出甚麼結論?基於完全不同的物理過程,實驗 (1) 與實驗 (2) 和 (3) 得到相同的電動勢:實驗 (1) 中產生電動勢的是磁場,而實驗 (2) 及 (3) 中產生電動勢的卻是改變中的磁場所感生的電場。嚴格來說,實驗 (1) 的結果並非法拉第定律,因為法拉弟定律所指的是由磁場所感生的電場。這個分別看似無聊,但是正正因為這一分別,令愛因斯坦得到靈感,最終發現狹義相對論。愛因斯坦在他的論文中指出,這個事實顯示在電動力學與力學中,根本不存在絕對靜止的概念。

電動力學 (electrodynamics) 就是研究電磁現象與粒子的相互作用的物理學分支。與牛頓力學不同,由馬克士威方程式出發的電動力學與相對論相容。當時大部分科學家都認為,牛頓力學在物理學界已經屹立了幾百年,而馬克士威寫下他的方程式只有區區幾十年,所以馬克士威一定是錯的。但愛因斯坦並沒有因為理論誕生的先後次序而否定馬克士威方程式。

歷史證明愛因斯坦又是另一個 unusual mind。在科學裡,無論一個理論的歷史有多悠久、它的數學有多嚴謹、提出它的人有多著名,只要它不符合觀察結果,它就是錯的。科學裡只有事實,沒有權威。

法拉第曾用磁鐵感生出一個電流,使浸在水銀中的電線迴轉運動。這其實就是現代發電機與摩打的原型,法拉第在實驗中造出世上第一個發電機和摩打,然而他並不知道在百多年後的今天,他的研究對世界造成多大的貢獻。

有一年,法拉第在他著名的倫敦聖誕科學講座示範他的電磁實驗。實驗完結後,觀眾之中有一位女士問他:「法拉第先生,請問這樣做有什麼用途?」

法拉第很禮貌地回答:「我的女士,請問一個初生嬰兒有什麼用途呢?」

“Mr. Faraday, of what use is this?”

“Madam, of what use is a newborn baby?”

就像在《光的祕密》提到的赫茲一樣,法拉第不知道他的偉大科學貢獻對後世會有什麼影響。每一個新的科學發現都像一個新生嬰孩,在當下我們可能不會看到即時用途。但經過時間,每一個科學發現都有無限可能性、每一個科學發現都同樣重要。這一種看待科學以及其他所有創新概念的態度,我們應該向法拉第好好學習。

下回,我們將會看看如何用相對論證明「電」與「磁」其實是相同的物理現象。

你也能懂相對論

如果我說,相對論與日常生用息息相關,你會信嗎?或許就算我是一位知名的物理學教授,說服力相信也不會大得多少。以下我將要用比較淺白簡單的文字和少許初等代數,說明並說服大家,相對論並不難懂,而且它在日常經驗中是如此的明顯、如此的必要!

1905 年被稱為愛因斯坦的「奇蹟年」,愛因斯坦向世界提出了一套非常明顯、非常合理,但卻一直不為人所理解的理論狹義相對論 (special relativity)。被稱為「狹義」是因為這個理論只在慣性座標系中適用;換句話說,即是在所有沒有加速度的系統中都適用。狹義相對論建基於兩大假設:

  • 在所有的慣性系統中,所有有物理定律保持不變。
  • 對於所有系統中的所有觀測者,光速永遠不變,而且不是無限快的。

假設 (一)「所有自然定律不變」一般被稱為相對性原理 (principle of relativity),明顯比較合理,也比較容易理解。而乍看之下,光速相對於所有人都不變,而不論那人正在高速奔跑或者靜止不動都沒有關係,就顯得較為奇怪了。要理解這一點,我們需要由速度的意義說起。速度,就是在說「每單位時間內走了多遠」。說得再淺白一點,可以想像為「每秒走了多少米 (m/s)」。但這只是慣用單位的問題,你當然可以想成「每小時走了多少公里 (km/h)」,這正是司機們慣用的單位。在科學中,單位是至關重要的,因為不同單位的東西就是不同性質的東西,不可以混為一談的比較,好像一個蘋果永遠不會等於一個橙。

假設 (二)「光速相對所有人都不變」,就是說相對於所有人,光在每單位時間內走的距離都一樣。就是說,當你向著一道光奔跑,「直覺上」你會認為你所看到的光速比起你在靜止不動時快,因為在你向光跑去的「同時」,光亦向著你衝去。換成數學上的表達,就是說如果你用速度 向著光衝去,而我們用 代表你在靜止時看到的光速,那你看到的光速就會變成了c + v。這就是所謂的伽俐略變換,亦被一般人叫做「常識」。當然了啊,兩個物件互相衝去,當然會比其中一個不動、或兩者互相遠離快啊。但是,愛因斯坦卻說不論你用甚麼速度,向著光或離開光移動,你到的光速都仍然為 c,不多也不少!

你會說:「這怎可能!這是違反常識的!」我的回答是,一般人的常識存在非常明顯的漏洞,可是在愛因斯坦之前卻一直沒有人留意到這個嚴重的錯誤!這個錯誤就是「同時」這一概念的演繹。甚麼是「同時」?就是說大家的時鐘顯示的時間都一樣啊!對,這也是愛因斯坦對「同時」的理解。但現在要再問一道問題,如何知道兩個時鐘的時間一樣?

問題到肉了,可是你會覺得很無聊:「說甚麼廢話!只要我看到兩個鐘的指針拍著的時間就是了!」好,停一停,想一想:我們能「看」到東西,是因為光進入到我們的眼球穿過水晶體折射後投影在視網膜上。總言之,我們能看到東西,是因為有光。光以一定的速度前進,而且因為光速有限,因此在不同距離發出的光相對於同一個觀測者而言,會在不同時間到達。試想像,兩個人相距非常遠,而兩個人都帶著一個時鐘,那麼當然,任何一方都會覺得對方那個時鐘所發出的光,會比自己手上的時鐘所發出的光要用更多時間才能進入你的眼睛吧!好了,我希望大家想想,究竟事先要如何調整兩個時鐘,才能使你和對方都看到兩個時鐘是同步的呢?當然,這是辦不到的!因為兩個時鐘相距兩個人的距離都不同。若然你看到它們是同步的,對方就會看到他手上的走得較快,反之亦然。

如果你不太理解的話,請從頭思考一次,先不要跳過讀下去,因為剛才所說的就是相對論的精髓所在。重點是,要知道世界上並沒有「對所有人都同時」這個概念存在,因此也可以說,「同時」這個概念對每個人都不同;說「對大家來說都是同時」就是錯誤的,沒有可能發生。這是非常明顯的,但卻一直被我們所忽略。這完全是因為對於人類的感覺來說,光速 (每秒三十萬公里,能夠環繞地球七個半圈) 實在是太快、太快了。

好了,接下來我要介紹相對論導致的兩個非常重要的結果,這些結果令人類對時間及空間的概念有了根本上的改變:時間及空間其實是互相糾纏、難分難離的。在這部分我會以數學論證,狹義相對論所涉及的數學都只是基本數學運算以及向量微積分,相信對有會考物理根基的朋友來說不會太難。

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在我們生活的三維空間中,每一件事件都可以用座標系的四個變量決定,就是 (長,闊,高,時間),數學表達為 (x, y, z, t)。假設在座標系 S 中有一原點 O,在 內觀測的人都會對每一件事件測得一組座標 (x, y, z, t);而現在有另一座標系 S’ 正在相對 S 以速度 向右移動,它的原點 O’ 在時間 t = 0 的時候剛好與 O 重疊,而在 S’ 內觀測的人都會對每一件事件測得一組座標 (x’, y’, z’, t’)。那麼,在我們的「常識」中,(x, y, z, t)(x’, y’, z’, t’) 的關係就是由伽俐略變換來決定:

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這就是我們認為的「常識」的數學表達方法。留意當中 t’ = t,因為在傳統的觀念裡,「同時」這概念仍然存在。明顯地,在伽俐略變換當中,時間是獨立地流逝的,與空間 (x, y, z) 無關。可是,在上文中我們知道「同時」是不存在的。

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想像小明站在一節正在行進的列車車廂正中間,在車頭及車尾都擺放了感應器。他向左右同時照射出兩道光束。對小明來說,車廂並沒有移動,所以他會看到兩道光束同時到達感應器。可是,對於一位站在月台上的人來說,因為列車正在向右移動,右邊的感應器不斷遠離光束,而左邊的就不斷靠邊光束。所以他會看到左邊那道光束首先到達感應器。因此,時間會因為觀測者的運動狀態不同而有所分別,而且這是非常明顯的!請注意,上述兩種情況都是正確的,沒有誰對誰錯,完全因為觀點與角度而已。回到 S 和 S’ 座標系的討論,因為兩個座標系的運動狀態不同,所以伽俐略變換就不是正確的描述了,我們必須改用另外一種座標變換方法,名為洛倫茲變換 (Lorentz Transformation):

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有關這組公式的推導過程,有興趣的朋友可以參考任何相對論課本。在這裡我們有興趣的是:如果時間及空間確實根據以上方程組變換的話,會有甚麼有趣的事情發生?

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首先,考慮一個「光鐘」,這是一個純粹由兩塊互相平行的平面鏡組成的計時器,有一束光在兩塊鏡之間來回反彈。然後我們定義這束光來回反彈一次的時間 Δt = 2h / 為一個時間單位,故此我們就有了這樣一種有趣的計時器。

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現在,我們讓這個光鐘在 S 座標系中以水平方向向右以均速 移動。所以我們就知道,如果我們稱光鐘為 S’ 座標系,就有 Δt’ = 2h / c。在 座標系當中,光就是以斜線行進的,根據畢氐定理,我們得到

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使用簡單代數運算求得 Δt

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因為 v < c,所以分母必定小於 1 ,故此 Δt’ < Δt。換句話說,移動中的座標系的時間流逝得比較慢。這就是著名的時間遲滯 (Time Dilation) 。

除了移動中的人的時間在其他人眼中會變慢之外,移動中的物體看起來也會變短。這叫做長度收縮 (Length Contraction)。如果 L是物體靜止時的長度,L 是物體相對於觀測者以速度 v 移動時的長度,那麼我們就會得到

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公式 (3) 的推導過程與公式 (2) 差不多,只要把光鐘轉個直角再考慮水平移動就可以了,有興趣的朋友可以自己當做練習試試推導。

以上兩個「違反直覺」的現象都已經被實驗觀測所證實了。其中一個重要的證明是關於宇宙射線的問題。每分每秒都有大量的宇宙射線攻擊著地球,這些射線多是帶電粒子諸如質子及電子等等,能量很高。幸好地球有磁場以及大氣層的保護,不然地球上就不可能有生命存在了。

一些粒子與大氣粒子碰撞後,會產生許多不同種類的粒子,向各個方向散射。這些粒子的壽命一般都非常短暫,就算在產生的一刻開始已經用接近光速前進,在它再衰變成其他粒子之前,前進的距離最多也只得幾百米。但是,雖然地球的大氣層厚度約為 100 公里,設置在地面上的儀器卻可以探測到它們!這完全是因為這些粒子以接近光速行進,相對論的效應就會變得很大。如果在靜止時這些粒子的壽命是 T,那麼根據時間遲滯現象,地面上的人就會測得它們的壽命為

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其中 是粒子的速度。明顯地,當 非常接近 c 的時候,T’ 就會變得非常大,所以它們有足夠的時間可以穿過厚厚的大氣層落到地面。

我最後想介紹的是著名的愛因斯坦速度相加法則。在早前的討論中,我們已經明白到,在光速不是無限快的條件下,時間必須是「相對」的。亦即是說,對於不同運動狀態的觀測者,時間的流逝速率各有不同。同樣地對於空間來說也是如此。因此,我們就不能說兩個互相靠近的人的相對速度 v’,會簡單地為 v’ = v1 + v2,其中 v和 v分別為兩個人的速度。那麼 v’ 應該如何表達才對呢?其實簡單得很,只要把洛倫茲公式對時間微分就可以了。詳細的做法可以參考教科書,其結果為

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因此可以看到在相對論下,相對速度 v’ 比較小。如果代入文章開頭的例子,你和光束互相衝向對方,就有

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所以你會驚訝地發現,c + 仍然是 c!這是當然的,因為相對論本身必須符合它的假設:光速不變。

其實狹義相對論還有許多有趣的題目可以討論的,例如著名的質能公式 E = mc^2、雙生子悖論、能量-動量四維向量、以及相對論性電磁場理論等等,或許在以後我會和大家深入討論。而愛因斯坦在 1916 年提出的廣義相對論 (general relativity),則是一套把重力與加速度都包含在內的時空理論,能夠非常準確地描述我們身處的宇宙。廣義相對論所涉及的數學非常深奧,需要使用到十分抽象的黎曼幾何以及張量的概念,確實並非每個學生也能明白。在以後我會試試為大家說明廣義相對論的重要性。總而言之,在這篇文章中,我希望大家明白的事,是相對論其實並非一般人想像的那麼深奧難懂。至少,就狹義相對論而言,只需要中學程度的物理及數學知識就可以了。