微積分 – 余海峯 David

亞視永恆。但有些東西可以比亞視更永恆。我們都學過圓周率，而且我們都知道圓周率的名字叫做 $latex \pi$。在學校裡，我們必定學過一條公式，就是如何用一個圓形的半徑去計算它的周長，即是圓周： $latex C=2\pi R$。上式告訴我們「圓周 $latex C$ 除以兩倍半徑 (即直徑) $latex 2R$ 等於 $latex \pi$」，大概就是我們對 $latex \pi$ 的第一個印象吧！我們在學校也學過，上式中的 $latex \pi$ 是一個常數。換句話說，無論一個圓形有多大，它的圓周 $latex C$ 和直徑 $latex 2R$ 之間的比例都是不變的。有史記載第一個證明 $latex \pi$ 是常數的人，有說是阿基米德。他使用極限 (limit) 的數學概念，以逼近法把 $latex \pi$ 好像夾三文治一樣夾出來！從而證明它是一個常數，計算出 $latex \pi$ 在 3.1408 和 3.1429 之間，準確至兩個小數位。事實上，$latex \pi$ 是無窮無盡的，即是它擁有無限個小數位，怎樣計也永遠計不完。現代的超級電腦，可以把 $latex \pi$ 計算至萬億個小數位。可是，萬億個小數位距離無限，仍然是無限遠。我們知道這些都是事實。可是，我們又有沒有想過，為。什。麼？在這一連幾篇文章中，我會用兩個不同的方法去證明 $latex \pi$ 是一個常數，即是證明所有圓形的圓周率都是一樣的。換句話說，我們會證明所有圓形的圓周與直徑的比例都是一樣的。然後我會介紹其他與圓形和…… Continue reading Pi 是永恆 (一)

上回介紹了三角學的基本函數 sine 和 cosine 與圓形的關係。在下回介紹圓周率 $latex \pi$ 之前，有一項非常重要的結果必須首先介紹。對於一條任意畫的線，只要它是可以一筆過不斷開地畫出來和沒有尖角的 (嚴謹的數學概念叫連續的和可微分的)，那麼我們就可以定義一個叫做斜率的東西：換句話說，斜率就是描述該線段相對於橫軸的斜度而已，即是講一道斜坡相對於平地有多斜。從上式定義之中，可見斜率以小數或分數來表示的。日常生活中，通常我們都習慣用角度表示斜率，不過這對我們的討論沒有影響。數學中一個非常重要的技巧就是微積分 (calculus)。微積分是牛頓 (Isaac Newton) 和萊布尼茲 (Gottfried Leibniz) 在同一時期分別獨自發現的。現在我們用的微積分符號是萊布尼茲的版本。如果沒有微積分，今天我們日常生活中各式各樣便利的現代發明都不可能存在。微積分可說是人類史上最重要的數學發現。故名思義，微積分就是微分和積分的運算。在我們的討論裡不會用到微積分的運算，大家只需要記住：微分就是計算無限短的線段的斜率的方法。至於積分我們會在以後再講。在上回圖中，我們知道了 sine 和 cosine 函數的圖形。現在我們問，它們的斜率是多少？換句話說，我們問：有學習過微分運算的讀者，必定能夠立即說出答案：上式中我們使用了 $latex \textrm{d}$ 代替 $latex \Delta$，以表示無限小的改變。這只是數學慣用符號而已，只要我們記得現在所做的一切都是在趨向無限短的線段上做的，那麼兩個符號在概念上就是一樣的。現在，讓我們來試試不使用微分運算去找出 sine 和 cosine 的斜率吧！首先考慮上圖。圖中有一半徑為 $latex R$ 的圓形，圓心為 O 點。把 $latex R$ 從水平逆時針畫出一角度 $latex \theta$，連起 O 點和 A 點。再繼續逆時針畫出一細小角度 $latex \Delta\theta$，連起 O 點和 B 點。所以…… Continue reading 三角 X 斜率 X 微積分