一天真的剛好24小時嗎?

上一篇文章《為什麼一天有24小時?》引起了幾位讀者朋友對1秒的現代科學定義的討論,我覺得是非常好的現象,說明很多朋友都覺得科學是有趣的,會在讀完文章後繼續思考,而不是把我說的照單全收。其中余承翰和Milka Wong分別對埃及的講解和中國的情況作出補充,非常感謝。朋友Lezhi Lo更不吝分享了他製作的精美圖解,解釋了使用銫-133作為現代計時基準的物理學上的考慮。非常感謝Lezhi的補充,他的圖解比我的文章更直觀也更易明白。

不過除了物理學上的原因,還有最後一個非常重要的理由,就是銫-133的基態超精細結構躍遷頻率剛剛好等於以往天文學上測量到的曆書秒(ephemeris second),或即現代的原子時,即以天文考量而把一天切割成 24 x 60 x 60 = 86,400 等份。這個做法對日常生活影響最小,因此亦最能為社會所接受。

有見及此,我希望把這討論延伸,講講天文學上關於一天的長度的幾種不同定義。

試想像我們是活在古代的天文學家,我們可以如何定義一天的長度呢?最簡單的做法,就是每天晚上觀察天上的星星東升西落,然後計算在下一個晚上需要多少時間才能看見一模一樣的星空。這樣做的好處是換日期的時間在午夜,不會對日間活動的人類造成混淆。這樣定義的一天叫做恆星日或回歸日(sidereal day)。

恆星日(sidereal day)和太陽日(solar day)圖示。Credit: 港大物理系課程Nature of the Universe網上講義。

然而,我們會發現一個問題:雖然星空和太陽一樣,每日都會東升西落一次,但星空的運轉速率比太陽快一點點,只需要23小時56分鐘4秒就完成一圈,而太陽卻需要24小時。這是因為地球在自轉的同時亦在環繞太陽公轉,因此如上圖所示地球需要比星空轉一圈再轉多一點點才能再次對準太陽。這樣就有麻煩了,半年後,午夜零時豈不是會發生在正午?

因此,我們就想出了另外一個方法定義一天的長度:太陽每天正午時分都必定位於南北指向的子午線之上(「子午」就是這個意思),因此只需要把連續兩個正午之間的時間間隔定義為一天就好了!這樣做的話能確保正午都發生在太陽穿越子午線的一刻,不會導致日夜顛倒。這樣定義的方法叫做太陽日(solar day),長度當然是剛剛好24小時,因為這根本就是定義24小時的方法啊。

然而,我們還有一個問題。如果地球環繞太陽的軌道是正圓形的話還可以,但是地球軌道其實是橢圓形的。這就出現了另一個問題:地球公轉的速率每天都不一樣,使得每個太陽日的長度都不一樣!如果硬要以太陽日為定義24小時的方法,難道1秒的長度要變得每天都不一樣嗎?

最後,我們想到了一個方法,就是把一天的長度與每天的實際太陽日長度脫鈎,轉移使用一年下來的每一天太陽日的平均長度:這叫做平太陽日(mean solar day)。我們更進一步直接定義一個平太陽日為86,400秒,再把換天的時刻定為日落後、日出前這段夜晚時間的正中間,這就解決了大部分日常生活所需的問題了。亦因為這樣的定義,正午都不會是發生在剛剛好12時正的,有時會比12時早、有時比12時遲。

然而,跟據現代科學使用銫-133定義出來的1秒,長度其實並不剛剛等於用平太陽日切割出來的1秒。這是因為潮汐作用使地球轉得越來越慢。現在一個平太陽日太約等於86,400.002個銫-133定出來的秒。所以我們可能會以為,一年下來會累積365 x 0.002 = 0.73秒,即差不多一秒!這樣的話豈非每隔年就必須加入潤秒嗎?可是我們知道加入潤秒其實並不常見,加入的時間亦絕非週期性。為什麼呢?

這是因為地球並非只有自轉、公轉、潮汐作用等會影響太陽日的長度。地殼活動、季候風、洋流等等都會影響地球的轉速,而且還未考慮歲差——自轉軸因太陽和其他行星重力造成的進動和章動等影響。因此每天的長度其實是混沌的,非常難以用理論準確預測,只能透過實際測量得知。總言之,上述各種貢獻相加,令我們並不需要隔年就添加潤秒。

討論了秒、分、時、天的定義,下次我們再討論有關定義月和年的問題。

延伸閱讀:

有關潤秒可參考NASA的講解:https://www.nasa.gov/feature/goddard/nasa-explains-why-june-30-will-get-extra-second

港大物理系課程Nature of the Universe網上講義:https://www.lcsd.gov.hk/CE/Museum/Space/archive/EducationResource/Universe/framed_e/index.html

封面圖片:NASA

為什麼一天有24小時?

我們都知道時鐘走一圈有12個數字,當時針走完兩圈就代表是24小時過去了,是新一天的開始。然而,你又有否想過為什麼是24而不是23或25,又或者不乾脆用10呢?

現代科學裡,時間的國際單位(SI unit)是秒。1秒的長度有精確定義:銫-133(cesium-133)原子基態的超精細結構(hyperfine structure),當進行量子躍遷時釋放的電磁輻射頻率的9,192,631,770個週期的時間長度[1]。秒是七個物理基礎單位之一。

一天24小時可能源自古埃及文明。古埃及的人在一年之間變化的夜空中發現了24顆明亮的星,剛好能夠把整晚分成24等份。由於埃及接近赤道,黑夜長度大約是12個小時,但不要以為一晚只能看見12顆星!由於星星會東升西落因此在埃及的一年中任何時刻,都能看見18顆星(剩下的6顆位置接近太陽因而看不見)。而且,頭尾各3顆星都出現在日出或日落時候,需能看見但太陽光的關係而很難看見,因此真正容易看見的只有黑夜中的12顆星。所以,他們把夜間劃分成12等份(注意不是11,只要12顆星放於每份的中央即可),亦按照此習慣把日間分為12等份。

不過在日間看不見星星,古埃及人如何得知時間?原來,他們會在日間使用一種稱為日晷(sundial)的儀器。這是一種把一個「人」字型垂直放在一個圓盤上的儀器,太陽光照射下來,便會在圓盤上投射出陰影,陰影指着的數字就是日間的時間。在晚間,除了使用12顆星之外,也有一種比較可靠的計時方法,就是利用放在特製水桶中的水位高度來顯示出夜間的12等份。

早晚各分為12等份亦有可能來自另一個原因。古埃及人採用的是12進制而非現在我們所使用的10進制。有些歷史研究指出,他們可能習慣用拇指數數目,而其他4隻手指各有3節,因此就等於12了。因此,一天24等份剛好等於兩隻手除了拇指之外的指節數目,所以這亦可能是他們採用24這個數字的原因。

不過在未來,一天可能會有25小時,甚至更久呢!因為月球所引起的潮汐,海水會與地球摩擦,使地球的自轉速度減慢。大約每5萬年地球自轉就會減慢1秒。因此,在大約1億8千萬年以後,我們一天就能有25小時用了!同樣道理,在大約14億年前,地球的自轉比現在快多了,當時一天可是只有18小時呢!原來,一天並不一定就是24小時的啊。

之不過,如果一天被分為24等份,為什麼1小時和1分鐘都卻被分成60等份?這就與古巴比倫人使用60進制有關。對古巴比倫人來說,60是個非常方便的數字,因為它能夠被非常多日常需要用到的數目字除盡:1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30。這對於表達一個數字的分數很有用。

這個習慣被流傳到古希臘。事實上,小時和分鐘被分為60等份的做法,與西方科學和數學之中把角度分為360等份有關。測量地球周長的古希臘科學家埃拉托色尼(Eratosthenes)首先把一個圓形分成60等分。之後喜帕恰斯(Hipparchus)把這定義推廣為360等份。最後,為了量度比1度更小的角度,古希臘人把1度再分為60角分、1角分再分為60角秒。

角分的拉丁文是partes minutae primae,意即「第一分割」,英文譯作first minute,漸漸簡稱成minute,即我們說的角分或分鐘。角秒的拉丁文partes minutae secundae,意思就是「第二分割」,即是second minute,之後就簡稱second,即我們說的角秒或秒。不過直到16世紀末發明機械時鐘之前,普羅大眾基本上都不使用分鐘和秒。

總結來說,「從上而下」把1天分為24小時,是古代天文學和度量衡傳統而來。「從下而上」由定義1秒到60秒為1分鐘、60分鐘為1小時,再反過來把1天的長度定義為24 x 60 x 60 = 86,400 秒,則是現代科學的做法。

[1] 可參考國際度量衡局(BIPM)對秒的定義:

https://www.bipm.org/metrology/time-frequency/units.html

延伸閱讀:

Lombardi, M. A. (2007). ‘Why is a minute divided into 60 seconds, an hour into 60 minutes, yet there are only 24 hours in a day?, Scientific American, 5 March. Available at: https://www.scientificamerican.com/article/experts-time-division-days-hours-minutes (Accessed: 14 February 2021)

封面圖片:NASA SDO Solar Mission

天涯若比鄰

銀河系內上千億顆恆星,最接近地球的是哪一顆呢?答案很簡單,地球是太陽系的行星,最接近地球的當然就是太陽了!

那麼,最接近太陽的星星又是哪顆呢?

唐代詩人王勃在他的《送杜少府之任蜀州》之中寫道:「海內存知己,天涯若比鄰。」現代天文學家也很浪漫,把最接近太陽的恆星稱為比鄰星。

古中國天文學裡,有一顆星星叫做南門二,在現代天文學裡則叫做半人馬座α(α Centauri)。半人馬座α是最接近太陽系的恆星系,因此亦是除太陽以外最接近地球的恆星。現代天文學家透過天文望遠鏡發現,原來南門二是個三星系統,三顆恆星用現代天文學命名法稱為半人馬座α A星、B星及C星。

經典力學有個經典的問題「三體問題」,三個經由重力互相吸引的星體的軌道是不會穩定的。咦,這豈不是很奇怪嗎?太陽、地球、月球也是三個星體、甚至太陽系八大行星是九個星體,太陽系各行星的軌道為什麼會穩定?

答案是:太陽系行星的軌道原來並不穩定!事實上「不穩定」的意思是在數學上沒有解析解(close-form solution),以致該系統長遠下去會趨向混沌。因此,我們要問的不是「穩不穩定」,而是「在多久的時間內能維持穩定」。太陽系能維持長時間穩定的行星軌道,是個天文學難題。

太陽系內除太陽外最重的星體就是木星,因此擾動各大行星的軌道最大貢獻就是來自於木星。不過,即使木星是最重的行星,其質量亦只有太陽的0.09%,而不同研究指木星對地球和其他行星造成的擾動時間尺度各有不同。有些研究指擾動與太陽系年齡相若,因此太陽系能維持穩定。無論如何,事實是太陽系的穩定程度已足以讓地球在過去幾十億年間演化出生命。

而半人馬座α三星系統亦一樣,雖然在數學上最終都會趨向混沌,但因為其三顆恆星的排列,使它們能維持一段相對長時間的穩定軌道——半人馬座α A和B星以約80年的週期互相環繞共同質心轉動,相距介乎11到36天文單位之間,而C星環繞A、B兩星轉動的軌道則約13,000天文單位遠處,公轉週期長達55萬年。因此可以近乎看成是半人馬座α的(A、B星)與(C星)的雙星系統。

而半人馬座α C星在現階段正好位於靠近太陽系的一邊,因此比其餘二星更接近地球,天文學家就引用王勃的詩句,把它稱為比鄰星。比鄰星是一顆暗淡的紅矮星,至今發現了兩顆行星,叫做比鄰星b和比鄰星c,因此也是最接近地球的兩顆太陽系外行星(exoplanet)。

從我們的太陽飛到比鄰星要多久呢?這要看看它距離我們多遠,以及我們飛得有多快。比鄰星離太陽大約4.24光年遠,光年的意思是光線在一年之中走過的距離。所以,如果我們飛得像光一樣快(一秒鐘能夠環繞地球跑差不多八個圈),我們只需要4.24年就可以飛到比鄰星了。

之不過,人類的科技還未進步得足夠在短時間之間把太空船加速至光速。人類所造迄今最快的太空探測器是美國太空總署的柏克太陽探測器(Parker Solar Probe),它的速度達到時速69萬2千公里!試想像用這個速度從香港出發,只需要67秒就能夠抵達美國紐約!然而,相對於時速10億7千9百萬公里的光速,柏克太陽探測器的速度可只能算是「龜速」,需要飛超過5千8百萬年才能抵達比鄰星。

不過,以上計算都是以地球為準的。可是,愛因斯坦發現的相對論告訴我們,當我們的速度越快,相對於靜止不動的其他人,時間就流逝得越慢。如果我們與柏克一起飛往比鄰星,相對於在留在地球上用望遠鏡看著我們的人,我們可以節省0.0001%的時間,即大約比5千8百萬年提早10年就可以到達了⋯⋯

封面圖片:比鄰星b想像圖。Credit: ESO/M. Kornmesser

【2020 諾貝爾物理學獎】廣義相對論與宇宙最黑暗秘密

諾貝爾獎有三個科學奬項,我們在學校也習慣以「物理、化學、生物」等不同科目去區分不同科學領域。這種分界當然能夠方便我們以不同角度去理解各種自然現象,但大自然其實是不分科目的。科學最有趣的是各種自然現象環環相扣,我們不可能只改變大自然的某一個現象而不影響其他。就好像蝴蝶效應,牽一髮而動全身。

廣義相對論間接推論暗物質存在的必要

廣義相對論是目前最先進的重力理論,它能夠解釋迄今為止所有實驗和觀測數據。然而,天文學家發現銀河系的轉速和可觀測宇宙的物質分佈,都顯示需要比觀測到的物質更加多的質量。這是物理學的其中一個未解之謎,有時會被稱為「消失的質量」問題。那些「應該在而卻看不到」的物質,就叫做暗物質(dark matter)。

有些物理學家猜測,會否根本沒有暗物質,而是廣義相對論需要被修改呢?他們研究「修正重力(modified gravity)」理論,希望藉由修正廣義相對論去解釋這些觀察結果,無需引入暗物質這個額外假設。可是從來沒有修正重力理論能媲美廣義相對論,完美地描述宇宙一切大尺度現象。

天文學研究向來難以得到諾貝爾獎,因為天文發現往往缺乏短期實際應用。然而過去十年之間,有關天文發現的研究卻得到了五個諾貝爾物理學獎。換言之,過去幾十年間改變人類對宇宙的基本認知的,有一半是來自於天文現象。其中有關廣義相對論的包括2017年的重力波觀測、2019年的宇宙學研究,以及2020年的黑洞研究。

不過很少人提及這三個關於廣義相對論的發現其實同時令暗物質的存在更加可信。因為這些發現測量得越精確,就代表廣義相對論的錯誤空間更小。換句話說,物理學家越來越難以靠修正重力去解釋「消失的質量」問題,所以暗物質的存在就越來越有其必要了。

換句話說,如果證明黑洞存在,其對科學的影響並不單止是為愛因斯坦的功績錦上添花,而是能夠加深人類對構成宇宙的物質的理解。

描述四維時空的圖

卡爾・薩根(Carl Sagan)講解二、三、四維空間。

談黑洞之前,我們首先要理解一下,物理學家是如何研究時空的。研究時空的一種方法,就是利用所謂的時空圖(spacetime diagram)。一般描述幾何空間的圖,在直軸和橫軸分別表示長和闊,形成一個二維平面。有時更可按需要加多一條垂直於平面的軸,代表高度。長、闊、高,構成三維空間。但如果要再加上時間呢?那麼就再在垂直於長、闊、高的第四個方向畫一條軸吧。咦?

怎麼了,找不到第四個方向嗎?這是當然的,因為我們都是被囚禁在三維空間之中的生物。如果有生活在四維空間裡的生物,牠們會覺得我們很愚蠢,問我們:「為什麼不『抬頭』?第四個方向不就在這邊嗎?」就像我們看著平面國的居民一樣,在二維生物眼中,牠們的世界只有前後左右,沒有上下。到訪平面國的我們也會問:「為什麼不『抬頭』?第三個方向不就在這邊嗎?」但牠們無論如何也做不到。

宇宙是三維空間,另外加上時間。如果要加上時間軸這個「第四維」的話,我們就必須犧牲空間維度。物理學家使用的時空圖就是個三維空間,直軸代表時間(時間軸)、兩條水平的橫軸代表空間(空間軸)。當然,把本來的三維空間放在二維的平面上,我們需要一些想像力。在時空圖上,每個點都代表在某時某地發生的一件事件(event),因此我們可以利用時空圖看出事件之間因果關係。一個人在時空中活動的軌跡,在時空圖上稱為世界線(world line)。

時空圖上的光錐。(Credit: H2NCH2COOH/Wikimedia Commons)

由於時間軸是垂直的,並且從時空圖的「下」向「上」流動。一個站在原地位置不變的人的世界線會是平行時間軸的直線。由於光線永遠以光速前進,光線的世界線會是一條斜線。而只要適當地選擇時間軸和空間軸的單位,光線的世界線就會是45度的斜線。因為沒有東西能跑得比光快,一個人未來可以發生的事件永遠被限制在「上」的那個由無數條45度的斜線構成的圓錐體之間,而從前發生可以影響現在的所有事件則永遠在「下」的圓錐體之間。這兩個「上」和「下」的圓錐體內的區域稱為那個人當刻的光錐(light cone),而物理學家則習慣以「未來光錐(future light cone)和「過去光錐(past light cone)」分別表示之。

所有東西的世界線都必定位於未來和過去光錐之內。在沒有加速度的情況下,所有世界線都會是直線。如果涉及加速,世界線就會是曲線。而廣義相對論的核心概念,就是重力與加速度相等,兩者是同一種東西。因此我們就知道如果在時空圖上放一個質量很大的東西,例如黑洞,那麼附近的世界線就會被扭曲。不單是物質所經歷的事件,連時空也會被重力場扭曲,因此時空圖上的格網線和光錐都會被扭曲往黑洞的方向。換句話說,越接近黑洞,你的越大部分光錐就會指向黑洞內部。因為你的世界線必須在光錐之內,你會剩下越來越小的可能逃離黑洞的吸引。

2020年的諾貝爾物理學獎一半頒給了彭羅斯(Roger Penrose),以表揚他「發現黑洞形成是廣義相對論的嚴謹預測」。在彭羅斯之前的研究,大都對黑洞的特性作出了一些假設,例如球狀對稱。這是因為以往未有電腦能讓物理學家模擬黑洞,只能用人手推導方程。但廣義相對論是非線性偏微分方程,就算不是完全沒有可能也是極端難解開的,所以物理學家只能靠引入對稱和其他假設去簡化方程。因此許多廣義相對論的解都是帶有對稱假設的。這就使包括愛因斯坦在內的許多物理學家疑惑,會不會是因為額外加入的對稱假設才使黑洞出現?在現實中並沒有完美的對稱,會不會就防止了黑洞的出現?

黑洞只是數學上的副產品嗎?

在一般的時空圖中,光錐會被重力扭曲;黑洞內的時間和空間會互換角色。(Credit: Johan Jarnestad/瑞典皇家科學院)

彭羅斯發現普通的高等數學並不足以解開廣義相對論的方程,因此他就轉向拓撲學(topology),而且必須自己發明新的數學方法。拓撲學是數學其中一個比較抽象的分支,簡單來說就是研究各種形狀的特性的學問。1963年,他利用一種叫做共形變換或保角變換(conformal transformation)的技巧,把原本無限大的時空圖(因為空間和時間都是無限延伸的)化約成一幅有限大小的時空圖,稱為彭羅斯圖(Penrose diagram)。

彭羅斯圖的好處除了是把無限縮為有限,還有另一個更重要的原因:故名思義,經過保角變換後的角度都不會改變。其實在日常生活中,我們經常都會把圖變換為另一種表達方式,例如世界地圖。由於地球表面是彎曲的,如果要把地圖畫在平面的紙上,就必須利用類似的數學變換。例如我們常見的長方形或橢圓形世界地圖,就是利用不同的變換從球面變換成平面。有些變換並不會保持角度不變,例如在飛機裡看到的那種世界地圖,在球面上的「直線」會變成了平面上的「曲線」。

扯遠了。回來談彭羅斯圖,為什麼他想要保持角度不變?因為這樣的話,光錐的方向就會永遠不變,我們可以直接看出被重力影響的事件的過去與未來。彭羅斯也用數學證明,即使缺乏對稱性,黑洞也的確會形成。他更發現在黑洞裡,一個有著無限密度的點——奇點(singularity)——必然會形成。這其實就是彭羅斯-霍金奇點定理(Penrose-Hawking singularity theorem),如果霍金仍然在世,他亦應該會共同獲得2020年諾貝爾物理學獎。

在奇點處,所有已知物理學定律都會崩潰。因此,很多物理學家都認為奇點是不可能存在宇宙中的,但彭羅斯的計算卻表明奇點不但可以存在,而且還必定存在,只是在黑洞的內部罷了。如果黑洞會旋轉的話(絕大部分都會),裡面存在的更不會是奇點,而是一個圈——奇異圈(singularity ring)。

黑洞的表面拯救了懼怕奇點的物理學家。黑洞的表面稱為事件視界(event horizon),在事件視界之內,你必須跑得比光線更快才能回到事件視界之外。因此沒有任何物質能夠回到黑洞外面,所以黑洞裡面發生什麼事,我們都無從得知。就是這個原因給予了科幻電影如《星際啟示錄(Interstellar)》創作的空間——在黑洞裡面,編劇、導演和演員都可以天馬行空。只要奇點永遠被事件視界包圍,大部分科學家就無需費心去擔心物理學可能會分崩離析了。甚至有些科學家主張,研究黑洞的內部並不是科學。

雖然如此,卻沒有阻礙彭羅斯、霍金等當代理論天體物理學家,利用與當年愛因斯坦所用一樣的工具——紙和筆——去研究黑裡面發生的事情。雖然或許我們永遠無法證實,但他們的研究結果絕非無中生有,而是根據當代已知物理定律的猜測,即英文中所謂educated guess。利用彭羅斯圖,我們發現不單奇點必定存在,而且在黑洞裡面,時間和空間會互相角色。

但這是什麼意思?數學上,時間和空間好像沒有分別,但在物理上兩者分別明顯:在空間中我們可以自由穿梭,但在時間裡我們卻只能順流前進。彭羅斯發現,帶領掉入黑洞的可憐蟲撞上奇點的並非空間,而是時間,因此我們也說奇點是時間的終點。亦因為在黑洞裡面掉落的方向是時間,向後回頭是不可能的,所以一旦落入黑洞,就只能走向時空的終結。

看見黑洞旁的恆星亂舞

環繞銀河系中心無線電波源人馬座A*公轉的恆星S2的完整軌跡觀測結果。(Credit: Johan Jarnestad/瑞典皇家科學院)

另一半諾貝爾獎由Reinhard Genzel和Andreas Ghez平分,以表揚他們「發現銀河系中心的超大質量緻密天體」。銀河系中心的確有一個超大質量的物體,而且每個星系中心都有一個。這些質量極大的物體,就是所謂的超大質量黑洞(supermassive blackholes)。

上世紀50年代開始,天文學家陸續發現了許多會釋放出無線電輻射的天體,稱為類星體(quasars)。之後其中一個類星體3C273被觀測確認是銀河系外的星系中心。根據計算,3C273釋放出的無線電能量是銀河系中所有恆星的100倍。起初,天文學家認為這些能夠釋放巨大能量的類星體,必然是些比太陽重百萬倍的恆星。但是理論計算結果卻表明,這麼重的恆星會是極不穩定的,而且壽命會非常短,因此類星體不可能是恆星。

為什麼這些類星體不可能是恆星?因為恆星的發光度是有極限的,而且正比於恆星的質量。這個極限稱為愛丁頓極限(Eddington limit)。如果恆星的發光度超出愛丁頓極限,光壓(radiation pressure,即光子對物質所施的壓力)就會超過恆星自身的重力,恆星就會變得不穩定。因此,天文學家逐漸改而相信類星體是位於星系中心的超大質量黑洞。這也令類星體多了一個名字:活躍星系核(active galactic nucleus)。

每個黑洞旁邊都有一個最內穩定圓形軌道(innermost stable circular orbit),依據黑洞會否旋轉而定,大概是黑洞半徑的3-4.5倍。比最內穩定圓形軌道更接近黑洞的範圍,環繞黑洞運行的物質都會因不穩定的軌道而墜落黑洞之中,並在墜落的過程中釋放出6-42%的能量,因此可以解釋活躍星系核的強大發光度。

另一方面,彭羅斯在1969年亦發現一個旋轉的黑洞能夠把能量轉給物質,並且把物質拋出去,這個過程稱為彭羅斯過程(Penrose process)。換言之,從黑洞「偷取」能量是有可能的。科學家估計,科技非常先進的外星文明有可能居住於黑洞附近,並利用彭羅斯過程從黑洞提取免費的能源。這個過程亦進一步支持超大質量黑洞能夠釋放巨大能量的理論。

由於E=mc^2,能量即是質量,因此被偷取能量的黑洞的質量就會減少。霍金在1972年發現一個不會旋轉的黑洞的表面積不可能減少。黑洞質量越大,其表面積就越大,因此不會旋轉的黑洞不會有彭羅斯過程。他亦發現,如果是個會旋轉的黑洞,其表面積是有可能減少的。因此霍金的結論支持了彭羅斯的理論。

Genzel和Ghez兩人的研究團隊已經分別利用位於智利的歐洲南方天文台(European Southern Observatory)的望遠鏡和位於夏威夷的凱克望遠鏡(Keck Telescope)監察了距離地球約25,000光年的銀河系中心區域將近30年之久。他們發現有很多移動速度非常快的恆星,正在環繞一個不發光的物體轉動。這個不發光的物體被稱為人馬座A*(Sagittarius A*,縮寫為Sgr A*)。Sgr A*會放出強大的無線電波,這點與活躍星系核的情況相似。

他們不單確認了這些恆星的公轉速率與Sgr A*的距離的開方成反比,Genzel的團隊更成功追蹤了一顆記號為S2的恆星的完整軌跡。這兩個結果都表明,Sgr A*必然是一個非常細小但質量達400萬倍太陽質量的緻密天體。這樣極端的天體只有一種可能性:超大質量黑洞。

霍金輻射 黑洞的未解之謎

諾貝爾物理學委員會在解釋科學背景的文件中亦特別提及霍金的黑洞蒸發理論以及霍金輻射(Hawking radiation)。現時仍然未能探測到霍金輻射的存在,未來若成功的話除了將再一次驗證廣義相對論以外,更會對建立量子重力理論(quantum gravity theory)大有幫助。就讓我們拭目以待吧!

重力波研究、宇宙學研究、黑洞研究,都是直接檢驗廣義相對論預言的方法。加上2019年4月10日公布的黑洞照片,大自然每一次都偏心愛因斯坦。相信愛因斯坦在天上又會伸出舌頭,調皮地說:「我早就知道了!」

延伸資料:

2020年諾貝爾物理學奬官方網頁

地球依然在動

傳說伽利略接受宗教法庭審判、被迫簽下「地球不會動」的悔過書時,說過這一句說話:「地球依然在動。」(”And yet it moves.”)

科學之所以引人入勝,我認為其中一個原因是科學的客觀性。科學就是尋找大自然定律的學問,而大自然並不會因人類的意見或偏好而改變。很多現在我們認為理所當然的科學知識或常識,其實都是經過無數科學家的努力研究才能得出的結論。今次,我想討論一個人人皆知的常識:「人類究竟是如何得知地球並非靜止不動的?」

地球在動嗎?古時候並沒有人知道答案。在這個資訊發達、恆常有人駐守國際太空站上、每個人都知道答案的時代,我們又有否思考過,為什麼答案是如此這般呢?我希望藉著這個看似簡單的問題「為什麼我們感覺不到地球在動?」帶出一些思考的盲點。

這篇文章分為四個部分。地球會運動,而這運動由幾個部分組成:自轉、公轉,以及隨太陽環繞銀河系中心運行(其實還有自轉軸的進動和擺動,以及受其他行星重力影響等等問題,我有機會會再另文詳述)。我曾在一篇文章中討論過古人對「感覺到運動」的認知問題,這與古代宇宙學和天文學有關,為了文章的完整性我會再簡單講解。接下來,我會首先討論自轉的問題。然後我會稍為轉一轉重點,討論一下另一個同樣引人入勝的問題:為什麼在太空中感覺不到重力?這個離題是必要的,因為最後我們討論的地球公轉問題,需要用到其中的一些概念。在四個部分裡,我亦會在盡量不影響文章流暢性的情況下,盡力解釋一些有關係的物理概念。

一、為何感覺不到地球正在運動?——從古希臘地心說到伽利略船實驗

日出日落,斗轉星移,觀察天空是古人思考宇宙奧秘的主要方法。日月星辰晝夜都在天上移動,這種東升西落現象就好像大自然在顯示給人類說:萬物都環繞地球轉動。這個理論叫做地心說(Geocentrism)。相反,古希臘學者亞里斯塔克斯(Aristarchus of Samos)提出太陽才是宇宙中心,稱之為日心說(Heliocentrism)。

古希臘人很早就了解到地球不是平的。雖然日常生活感覺不到地面的曲率,但他們發現了幾件事情,是一個平的世界所解釋不了的。第一,從海岸上望向遠方海上的帆船,總是先看見桅桿和船帆後才能看見船身。再者,他們亦發現在山崖上能夠比在海邊更早看見船隻。反過來,在船上也總是先看見山崖再看見海岸,而且在桅桿上的水手也能夠比在甲板上的水手更早看見陸地。這是地球表面彎曲的最直接的證據。

第二,在月食的時候,月球上的黑暗面積,總是圓形的一個部分。如果月食成因是地球遮掩了投射在月亮上的日光,那麼只有當地球是球狀的時候,才能總是投影出圓形的影子。大家可以在家試試看,分別用一個足球和一塊圓形的紙板,利用燈光在牆上投射出影子。我們會發現,只有當燈光垂直照射紙板時,影子才會是圓形的。但在足球的情況下,無論從哪個方向投射燈光,影子都總是圓形的。

對於身處北半球中等緯度的人來說,北天極附近的星星永不落下。相反,南天極附近的星星永不上升。(注意只有身處南半球的人才能看見南天極)北天極的高度隨緯度改變。在平的世界裡,這是不可能的。Credit: Nature of the Universe Ch. 2, Department of Physics, University of Hong Kong

第三個地球並非平的理由,就與日心說和地心說之爭很有關係了。我們知道,晚間出沒的星星與日間出現的太陽有個共通點,就是會從東邊升起、西邊落下。古天文學家早就發現,有些星星是從不落下的,它們只會環繞天空中一個假想的點轉動,那個假想的點就是北天極(同樣地在南半球的人也會看見另外一些星星環繞南天極轉動)。他們亦發現,越往北走(或在南半球越往南走),北天極(南天極)距離地平線的高度就越高,導致越來越多星星從不落下。在地球上的南極點或北極點觀察,則所有星星都不會落下。相反,越往赤道走,北天極(南天極)距離地平線的高度就越低,導致越來越多星星會東升西落。事實上,在地球的赤道上,所有星星都會東升西落,而北天極和南天極會剛好疊在地平線上。如果地球是平的話,就不可能出現這個情況,每個地方所看見的星空都應該是一樣的。同理,太陽的高度亦會隨緯度而改變。除非不同緯度的人看見的並非同一個太陽、同一堆星星,否則地球不可能是平的。

(注意,上一段文字裡的「東」和「西」並非單單指「正東方」和「正西方」,而是包含了東南、東北和西南、西北等方向。)

古希臘人知道了地球並不是平的而是球狀的,埃拉托色尼(Eratosthenes of Cyrene)更用實驗計算出了地球的直徑。古希臘人認為物質分為兩種,各自會有自然的運動傾向:天上的物質自然而然環繞地球運動、地上的物質自然地向宇宙中心落下。人們傾向接受地心說,因為除了眾星辰都「明顯」環繞地球運動外,如果地球真的環繞太陽運動的話,為什麼地上的物質又會向地心落下?這是古希臘人未能解釋的。

地心說一直稱霸西方思想,甚至在東方亦一樣。古中國天文學家認為地球是方形的平面,且天空則是半球形的,即「天圓地方」之說。西方反對日心說的最大理由是地球「明顯」靜止不動。人們說,如果地球在動,那麼當物件向下掉落時,不應該掉在腳邊,而應該掉在後方,因為物件正在空中向下跌時,地球向前移動了。他們認為,即使地球並非宇宙中心,「地上的物質自然地向宇宙中心落下」依舊應該成立,所以如果地球在動,物件就理應向後方掉落而非垂直掉落了。

直至1624年,伽利略(Galileo Galilei)提出了船實驗,才把這個攻擊日心說的主要理由消除。伽利略在行進中的船上觀察物件落下,發現與在陸地上時一樣掉在腳邊。這代表物件並不會原地垂直落下,而是會跟隨船隻一邊向前行進、一邊落下。在陸地上看,這個物件的軌跡是一條拋物線。這就代表地球並不一定是靜止的,因為這實驗證明了物件並非永遠向宇宙的中心掉落(地心說中的宇宙中心就是地球中心)。換句話說,伽利略發現了慣性定律,而慣性定律代表我們不能分辨得到地球是靜止的還是在作等速運動(速率和方向都不變)。所以,地球並不一定是宇宙中心。當然,地球的自轉和公轉運動並非等速運動,因此伽利略的船實驗只顯示了近似的慣性定律。

根據牛頓力學,我們知道地球和太陽之間以萬有引力互相吸引,其結果就是地球環繞太陽公轉。不過只有公轉並不足以解釋恆星、太陽、月亮、行星的周日運動(diurnal motion)和周年運動(annual motion)。地球必須自轉才能解釋所有這些天文數據。然而,這些都只是地球會動的間接證明。

下一節,我們會討論地球自轉對地球表面上的觀測者的影響,以及地球自轉的直接證據。

二、為何感覺不到地球自轉?——非慣性座標系裡的慣性力

為何我們感覺不到地球的自轉?這問題就像問為何我們感覺不到地球表面是彎曲的,答案是人類對比地球來說,實在太渺小了。就像我們必須望向很遠的海平線才能看見船帆先於船身出現的現象,我們亦必須走很遠的距離才能發現地球自轉對地球表面上生活的渺小人類所造成的影響。

氹氹轉。Credit: Zavijava2, Wikimedia Commons

大家有玩過公園裡的遊樂設施「氹氹轉」嗎?它是一個會旋轉的大圓盤,盤上有支架。如果我們捉住支架在地上圍著氹氹轉走,然後跳上去,我們會感覺好像有一股力想將我們推出去似的,如果我們放手的話就會被拋出去了。這就是我們經常說的「離心力」(centrifugal force)。如果各位在香港坐過會上高速公路的專線小巴,應該亦曾感受過這種刺激的感覺,根本不用去海洋公園坐過山車。

但如果我告訴你,離心力其實並不存在呢?事實上,離心力屬於慣性力(inertial force),又稱為假想力(fictitious force),是「用錯」參考系觀察物理現象的產物。參考系是數學語言,即是用來計算物體位置、速度等的坐標系統。慣性參考系就是靜止不動或者以等速移動的坐標系。

簡單來說,雖然牛頓力學在日常情況下適用於任何參考系,但在非慣性參考系裡使用牛頓力學進行計算的話,就會出現慣性力。最常見的恐怕就是圓周運動。站在氹氹轉上的人在進行圓周運動,運動方向有所改變(注意物理學中的速度概念包含速率和方向),因而是個非慣性參考系。而站在地上看著氹氹轉的人則身處一個慣性參考系之中(事實上只是近似慣性參考系,因為地球也在動)。

在氹氹轉上的人所感受到的離心力,其實是因為氹氹轉在旋轉,但慣性定律卻說物體在不受外力的情況下只會沿直線前進,因此如果他不夠力捉住支架的話,就會被所謂的離心力拋出去了。在地上站著的人不會觀察到任何離心力,只會看見一個因捉不住支架而直線飛出去的人。順帶一提,捉住支架的力當然是真實的力,叫做向心力(centripetal force)。

現在我們可以回來地球自轉的問題上了。由於地球會自轉,身處地球表面的我們就是生活在非慣性參考系之中。就像在氹氹轉上的人感受到離心力一樣,我們都會因為慣性定律而感受到離心力。這個離心力會抵消掉部分重力,使我們在不同緯度感受到不同的體重!由於赤道與地球自轉軸的垂直距離最遠,而在南北兩極這個距離則為零,因此你站在赤道時的離心力會令你的重量對比站在南北兩極點時減少大約0.35%。

另一個我想簡單介紹的慣性力叫做科里奧利力(Coriolis force,簡稱科氏力),或者叫做科氏效應(Coriolis effect)。這是當我們在地球表面上移動時會感受到的慣性力。由於地球並非一個圓盤而是個球體,因此科氏力的方向並不在本地水平面上,而是與水平面有個角度。把這個力拆開,可以得到兩個方向的分力,分別為與水平面平行的分力(遺憾地,這個分力亦稱為科氏力),和與水平面垂直的、稱為Eötvös效應的分力。

平行本地水平面的科氏分力會使任何在北半球水平移動的物體向移動方向的右方(俯視時為順時針方向)偏轉,同時使任何在南半球水平移動的物體向移動方向的左方(俯視時為逆時針方向)偏轉。這就是颱風形成的原因,因而源自南半球和北半球的颱風會有相反的旋轉方向。Eötvös效應會在除離心力之外進一步改變我們感受到的重力。向東走時,Eötvös效應會進一步加強離心力,抵消更多的重力。反之,向西走時反而會加強了向下的力,就好像加強了重力般。

(有趣的是,源自北半球的颱風是逆時針方向旋轉的,與科氏效應相反。這是因為颱風的形成過程是三維的,有機會我再另文詳述。)

而我們在日常生活中感受不到上述離心力、科氏力和Eötvös效應的原因很簡單,就是因為人類相對地球的尺寸來說,太過渺小。只有在作長距離移動時,我們才能察覺到這些慣性力。例如炮彈的彈道計算就必須考慮地球的自轉、飛機飛行時會感受到科氏力、大規模的空氣流動會形成颱風等等。順帶一提,有都市傳說指科氏效應會導致南北半球上的坐廁沖水方向相反,但這是不正確的。因為對比地球尺寸來說,廁所實在太渺小了,作用在沖廁水上的科氏力比沖廁時水流的隨機擾動細微得多了,不會出現科氏效應。

歷史上首位直接測量到科氏效應的人是德國化學家懷斯(Ferdinand Reich)。在1831年,他從160米高的地方掉下物件,發現物件落下的地點向東偏差了2.8厘米。這是由於物件自由落下時的移動方向為地球中心,經過計算科氏力會指向東面。

慕尼黑德意志博物館裡的傅科擺。拍攝於2013年。

那麼,有沒有辦法在不作長距離移動的情況下,證明地球會自轉?答案是肯定的。在1851年,法國物理學家傅科(Jean Bernard Léon Foucault)用一個非常簡單的實驗,證明了地球確實會自轉。他用一條67米長(好吧,這也很長就是了⋯⋯)的線吊著一個28公斤重的鉛球,形成一個很長很重的擺,掛在巴黎先賢寺的天花版上。慣性定律也適用於鐘擺,保證擺動平面不會轉動(擺動平面不變與物理學中的角動量守恆原理有關)。因此,鐘擺的擺動平面不會改變,但因地球自轉,在地球表面上觀察,就會好像是有個力距轉動了擺動平面。這個實驗設備稱為傅科擺(Foucault pendulum),是世上每個科學博物館的必備展品。很多人會在早上很早就到博物館去,就是為了看工作人員開始擺動傅科擺的一刻。

現在我們理解到,古希臘時代的差不多兩千年後,懷斯與傅科的實驗終於直接證明了地球會動。

三、太空中真的是無重力嗎?——萬有引力貫穿宇宙空間

理解了我們的渺小不足以察覺地球自轉、並討論了證明地球自轉的直接實驗證據後,我們來討論一下一個稍為離題的問題:為何太空中「無重力」?這個概念大概是被科幻電影等大眾文化所灌輸的。我希望直接指出這是個錯得非常離譜的概念。這樣做的話,我們必須討論一下物理學裡的重力概念。

關於「物件為何會往下掉落」這個問題,從古希臘時期已經有過很多理論,其中最著名的一個莫過於上述對宇宙之間的物質作二分法的例子:天上的物質會環繞地球轉動、地上的物質會向宇宙中心(地球中心)墜落。這個理論並沒有解釋為什麼宇宙間會有兩種不同特性的物質,也沒有解釋到底是什麼力量驅使天上物質運動以及地上物質的下墜傾向。

直至哥白尼(Nicolaus Copernicus)過世的1543年,即亞里斯塔克斯提出日心說的差不多1,800年後,他出版了《天體運行論》(On the Revolutions of the Heavenly Spheres),重新提倡日心說。不過,哥白尼的日心說其實並不比托勒密(Claudius Ptolemy)在公元2世紀出版的《至大論》(Almagest)裡描述的地心說更科學。兩者解釋天文數據的能力相當,複雜程度也相差不遠。這是因為哥白尼的日心模型依然認為天體環繞太陽的軌道必然是正圓形的,所以仍必須使用一大堆複雜的、假想出來的數學規則,才能以地心模型同等的精準程度描述天體運行的觀測數據。

即使在17世紀初,繼承第谷(Tycho Brahe)成為丹麥皇家天文學家的克卜勒(Johannes Kepler)發表了他的三大行星運動定律、發現行星軌道形狀是楕圓形之後,科學界仍未普遍接受日心說。再者,克卜勒第一定律指太陽位於行星的楕圓形軌道的兩個焦點的其中之一,這也並不正確。事實上,行星並非環繞太陽運動,而是環繞整個太陽系的質心(centre of mass)運動。所以嚴格來說,地心說和日心說都不正確。而且克卜勒亦沒有到解釋行星環繞太陽運行背後的原因。

「天上的物質vs.地上的物質」這概念,最後被牛頓(Isaac Newton)所打破。他提出的萬有引力定律,不單指出了所有物質之間都會相互吸引,更解釋了這種吸引力的來源就是物件的質量(mass)。因此,所有擁有質量的東西都會互相吸引,並且這種吸引力同時適用於地上的和天上的物質。使用牛頓萬有引力定律,結合牛頓運動定律,就能夠推導出克卜勒行星運動定律。因此,牛頓不單發現了重力的解釋,更一舉統一了宇宙間的物理學。「最基本的大自然定律應該是全宇宙適用的」更成為了現代科學研究的一個重要指標。

牛頓萬有引力定律說,兩個物體之間的吸引力與兩者質量的乘積成正比,並與兩者質心之間的距離的平方成反比。換言之,質量越大,吸引力越強;相隔距離越遠,吸引力越小。但重要的是,這個吸引力只會在無限遠時歸零。因此,在太空中(尤其是在距離地球很近的太空站或太空船軌道)地球的重力根本不是零。再者,如果太空中沒有重力,那麼太陽如何吸引八大行星繞其運動?地球又怎能吸引月球環繞我們轉動?所以「太空中無重力」是對力學非常離譜的誤解。

萬有引力從地球、太陽、月球,以及所有天體表面貫穿宇宙空間,因此可說重力在宇宙中無處不在。可是回到最初的問題,為何太空人在太空船、太空站又會漂浮著,就好像沒有重力的樣子?

牛頓的炮彈思想實驗。Credit: Brian Brondel, Wikimedia Commons

牛頓在1687年出版了《自然哲學的數學原理》(Mathematical Principles of Natural Philosophy),裡面描述了一個思想實驗:想像有一個能夠以任何力度發射炮彈的炮台。如果力度很小,那麼炮彈會以拋物線在不遠處落在地面上。如果加強力度,炮彈就能夠飛得遠一些。因此把發射力度逐漸加強,炮彈就能飛得越來越遠才落在地面上。我們也知道地球表面是彎曲的,因此如果炮台發射炮彈的力度很強,那麼發射出去的炮彈就會飛越一段很長的距離才下降少許。然而,因為地球表面是彎曲的,炮彈下降同時地面亦會向下彎曲。所以,如果發射力度足夠大的話,炮彈的下降率就能夠「追上」地面下降率,結果就是炮彈永遠不會碰到地面(假設忽略空氣阻力),環繞地球一圈後從炮台後方擊中自己。

(思想實驗(Gedankenexperiment)指只在腦海中進行的實驗,並不一定有在現實中進行過。當然,思想實驗並不是真的實驗,並不能夠用來作為科學理論的證據。不過很多物理學家都愛用思想實驗去幫助他們跟據已知物理定律想像未知的結果。有時候,透過改變思想實驗的參數而得出不同的想像結果,能使我們對物理概念有更深入的了解。)

正在環繞地球運行的人造衛星、太空望遠鏡、國際太空站,以及地球的天然衛星月球,都是上述那顆炮彈。他們其實一直都在萬有引力的控制之下,不斷地「跌落」地球,只是由於速率非常快,所以就永遠跌不到落地面、只能環繞地球運行了。而國際太空站連同裡面的太空人都正在以同一速率前進和「下跌」,因此就看似在太空站中「漂浮」起來了。順帶一提,飛機突然關掉引擎作自由落體,裡面的人也會看似「漂浮」起來,太空人就是這樣訓練如何在太空中「無重力」狀態下工作的。

因此,太空中根本就不是無重力(weightless)。萬有引力貫穿整個宇宙空間,太空人會「漂浮」只不過是無重力感(weightlessness)的錯覺罷了。有些電影會有剛飛出大氣層的太空船裡面的人突然漂浮起來的場景,但這完全是大錯特錯。

德國物理學家夫琅和費(Joseph von Fraunhofer)在1814年使用棱鏡和望遠鏡觀察太陽光譜(注意:這是非常危險的實驗,會對眼睛造成永久損害!),發現太陽大氣的吸收光譜線。經過分析,部分譜線與在地球上找到的元素的光譜線吻合,直接證明天上的物質與地上的物質皆由同樣的元素構成。

四、為何感覺不到地球公轉?——牛頓:重力平衡向心力;愛因斯坦:如何分辨重力場和加速度

終於來到本文最後一個問題:為何感覺不到地球公轉?前港大理學院院長郭新教授去年曾經指出,Google對於這個問題所列出的結果當中,找不到一個是正確的。那些答案大多都只是用慣性定律解答「因為我們不能在慣性參考系中確認自己是否正在移動」。可是地球環繞太陽公轉並非慣性運動,所以地球並非慣性參考系,因此用慣性定律去解釋是不嚴謹的。正確的答案是太陽吸引地球以及地球上所有人類的力,完美平衡了地球(和地球上的人)公轉所需的向心力。這是用牛頓力學就能理解的。

我剛剛再Google了一次,發現只有一篇文章寫出了比牛頓力學更深刻的解釋。這個解釋與上一節中討論過的炮彈思想實驗有關,只不過這次我們要討論這個思想實驗更深刻的意義。這就要由愛因斯坦(Albert Einstein)的另一個思想實驗說起。

愛因斯坦可說是利用思想實驗的專家。在1907年,即是他發表狹義相對論的兩年後,他想像有一部升降機,裡面有個可憐的人。突然,吊著升降機的纜繩斷掉,升降機向下自由落體。根據上一節的討論,升降機裡面那個人會「漂浮」了起來,因為他正與升降機一起以相同的速率和加速度向下墜落。有趣的是,如果他仍然有時間思考的話,他會發覺,自己並不能夠分辨究竟是在重力場中自由落體,還是在遠離任何星體的宇宙空間裡真真正正地漂浮著!

愛因斯坦又想像,如果這部升降機和裡面的人真的在空無一物的宇宙深處之中,但升降機以與地球重力加速度同等數值的加速度向「上」加速,那麼裡面的人就會被升降機的地板向「上」推,他會感覺到與身處地球表面一樣的體重。如果他看不到升降機外面的環境,他就不可能分辨自己究竟是在外太空被升降機地板向「上」推,還是與升降機一起靜止地立在地球表面之上!

National Geographic紀錄片《Genius》裡的一幕,描述了愛因斯坦的升降機思想實驗。

愛因斯坦後來稱這個思想實驗為他「一生中最快樂的思想」。根據這個思想實驗,他最終成功在1915年發表完整的廣義相對論。透過這個思想實驗,愛因斯坦驚訝地發現,在局部的情況下,沒有任何實驗能夠分辨重力場和加速度。因此,他下結論說,兩者是等價的。換句話說,重力場就是加速度,加速度就是重力場,兩者是同一個東西。這個發現被稱為等效原理(equivalence principle)。

地球與地球上生活的所有人類一起正在向太陽墜落。當然,就好像上一節討論的太空站環繞地球公轉一樣,地球也永遠不會落到太陽之上。

等效原理說,我們不可能在局部情況下分辨到底地球是在遠離太陽重力場的宇宙空間中,還是正在向太陽墜落。因此,我們不可能感覺到地球正在環繞太陽公轉,因為如果我們能夠感覺到地球公轉的話,就等於說我們能夠分辨重力場和加速度!所以根據等效原理,我們就能夠輕鬆地解釋為何感覺不到地球在公轉。

有一點要注意的是,等效原理只在「局部」(locality)成立。局部的意思是無限小的空間。然而升降機是有一定尺寸的,而且萬有引力的方向是向心、並不平行的。因此,如果在升降機的兩側各放一個蘋果,我們就可以從兩個蘋果相距的距離分辨出升降機到底是在真正無重力的宇宙空間中,還是正在地球重力場中作自由落體。隨著時間過去,如果升降機真的在宇宙中,真的沒有重力作用於兩個蘋果之上,它們之間的距離就應該維持不變;如果升降機是在自由落體,指向地球中心的重力就會作用於兩個蘋果之上,而這兩個力並不是平行的,因此它們之間的距離就應該漸漸縮短。

當然,在現實中是不可能進行這個升降機思想實驗的。但我們仍然能夠從一些自然現象中找出端倪。例如潮汐漲退就是由於月球和太陽作用在地球的不同部分上的重力有所不同而引起的。所以潮汐就是地球真正位於重力場裡的證據。不過,這仍只代表地球在重力場之中,並不代表地球正在公轉,地球也可能是在直線向太陽墜落。然而,若加上地球自轉和星星、太陽、月亮的周日和周年運動,我們就能得出地球公轉的結論。同理,我們感覺不到整個太陽系都在環繞銀河系中心公轉的原因,也是基於等效原理。

最後,如果想用天文觀測證明地球會公轉的話,其實並不太困難。我們可以利用視差法(parallex),在相距半年的時間觀察同一顆星星相對背㬌星空的位置,我們會發現會有細微的變化。這就好像輪流遮住左眼和右眼看同一件物件,會發現物件相對背㬌的位置有所改變。

希望這篇文章能幫助各位釐清關於地球運動的一些物理概念。

鳴謝:感謝小肥波、Edward Ho、Patrick Tsang、Michael Or、TN Kwok的意見和幫助proofread。

延伸閱讀:
Prof. Sun Kwok answers some of the common misconceptions in science》- Sun Kwok
Ask Ethan: Why Can’t We Feel Earth Flying Through Space?》- Ethan Siegel

封面圖片:國際太空站上拍攝的地球,在北卡羅萊納州上有一個颱風。颱風的形成是地球自轉的證據。Credit: NASA

人類首次拍得黑洞照片 再證愛因斯坦廣義相對論

黑洞帶給人類永恆的神秘感,它是時空的盡頭、連光也擺脫不了的「洞」。即使是理論物理學家,也難以用筆墨形容黑洞的模樣。要派太空人到黑洞附近去看看也不太可能,儘管航行者1號、2號花了近40年,才剛在不久前越過太陽系邊界,但黑洞都在太陽系以外非常遙遠的地方。

2017年,來自世界各地超過60個科研單位的天文學家聯結起位於地球各大洲的眾多個無線電望遠鏡,持續地觀察M87星系。這個名為事件視界望遠鏡(Event Horizon Telescope,簡稱EHT)的無線電望遠鏡網絡,終於直接拍攝到了人類史上首張黑洞「照片」,並於2019年4月10日全球同步發表。

圖1 M87星系。(Image courtesy of ESO)

黑洞是什麼?

黑洞是愛因斯坦於1915年發表的廣義相對論的方程式的一個數學解。愛因斯坦發現,在我們身處的宇宙中的任意點上,加速度與重力並不能被區分開來,是為「等效原理」。利用等效原理,加上光速不變假設,愛因斯坦推導出一組十式的方程組。廣義相對論取代了牛頓重力定律(或者可說是牛頓重力定律的更新版本),只要知道時空某處存在多少質量,就能夠利用那十條方程式描述時空的演化。

重力的特性是它只會互相吸引,不像電磁力那樣既能相吸亦能相斥。因此,質量越多,重力就越強;重力越強,就更輕易吸引更多物質。物質如果要擺脫更強的重力,就得付出更多能量。例如,在一顆小行星上,輕輕一跳可能就已足夠擺脫其重力;在地球上,卻必須利用火箭加速至最少每秒11.2公里,才能飛進宇宙空間。

早在愛因斯坦以前,物理學家就曾經想像過一顆質量非常高的恆星,其重力強大到必須跑得比光更快才能逃逸。牛頓重力理論中沒有質量的東西不會被重力影響,而光線究竟有沒有質量在當年也是未解之謎,他們想像「如果」光線也會被重力「拉」回恆星表面的情況,就把這種想像中的恆星稱為「暗星」。

Supermassive black hole with torn-apart star (artist’s impress
圖2 畫家想像下的黑洞。(Image courtesy of ESO, ESA/Hubble, M. Kornmesser/N. Bartmann)

廣義相對論中的重力卻能影響一切事物。所有物質,哪管有沒有質量,全都會被重力吸引。天體物理學家發現,當一顆質量巨大的恆星耗盡核反應燃料時,抵抗自身重力的壓力就會在一瞬間消失,恆星會向內坍縮、反彈,引發超新星爆發。超新星爆發後剩下來的核心質量如果足夠高,就會變成一個逃逸速度比光速更高的區域。我們叫它做黑洞。

黑洞不會發光,而且大多數黑洞體積又不大、離地球又遠(幸好)。因此,望遠鏡必須造得夠大,才能收集更多光線和提高解析度。以人類的科技,要探測上述由恆星死亡超新星爆炸所創造出來的細小黑洞(尺寸大多比地球上的城市更小),仍然遙不可及。不過,宇宙間有些黑洞尺寸卻巨大得難以置信。天文學家發現,在每個星系的中心,都存在一個極其巨型的黑洞,質量達到幾百萬個太陽,稱為超大質量黑洞。天文學家認為這些星系中心的黑洞由遠古細小黑洞互相結合而成的,它們同時也影響著星系的演化過程。

星系M87(Messier 87)的中心也有一個超大質量黑洞。它距離太陽系約5千5百萬光年,半徑約為37光時。M87的質量是太陽的65億倍,從地球上觀察,它的事件視界(event horizon)只有大約16微角秒。從地球看,這等於月球上太空人的拳頭大小。事實上,今次EHT的天文學家拍攝的並非M87的事件視界,而是在事件視界外面約40微角秒大小的吸積盤(accretion disk),叫做「黑洞的影子(black hole shadow)」,實際尺寸大概為冥王星軌道的2.7倍。

The-VLBI-network-of-the-Event-Horizon-Telescope-courtesy-EHT-team
圖3 事件視界望遠鏡網絡。(Image courtesy of EHT; from Jean-Pierre Luminet, La Recherche, Vol. 533 (March 2018), https://arxiv.org/abs/1804.03909

事件視界望遠鏡(EHT)是什麼?

根據簡單光學定律,望遠鏡越巨大、觀測使用的波長越短,解析度也越高。人類所造的地面望遠鏡之中,無線電望遠鏡建造相對容易,因此普遍來說都較可見光望遠鏡巨大。另一方面,無線電受大氣擾動干擾的影響亦較可見光為低。EHT使用的無線電波段為1.3毫米,經過計算,我們需要的望遠鏡尺寸是⋯⋯地球直徑(即大概13,000公里)!

然而,即使是地球上最巨型的無線電望遠鏡,例如美國的阿雷西博望遠鏡(Arecibo Telescope,直徑305米)、中國的500米口徑球面無線電望遠鏡(Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope,簡稱FAST,直徑500米),以及俄羅斯的科學院無線電望遠鏡-600(Academy of Science Radio Telescope – 600,簡稱RATAN-600,直徑600米)等等,也遠遠不夠大。怎麼辦呢?總不能把整個地球改建成一支望遠鏡吧?幸好,物理學家早就發展出一種技術,叫做甚長基線干涉測量法(Very-long-baseline Interferometry,簡稱VLBI)。VLBI技術利用光線的波動特性,把不同地點的光線訊號互相重疊,從而構成更光亮、解析度更高的影像。

世界各地都有很多無線電望遠鏡,因此天文學家組成了一個VLBI望遠鏡網絡,用來加強所拍攝的影像的光度和解析度。EHT就是這個VLBI網絡的一部分,專門拍攝M87。過去兩年間,EHT收集到了足夠的光線,利用干涉分析建構出一幅解析度達20微角秒、足以分辨出M87的黑洞影子的照片。2019年4月10號,我們終於能夠一窺黑洞的廬山真面目!

圖4 EHT首張M87的無線電黑洞影子照片。(Image courtesy of EHT)

不發光的黑洞為什麼可以看得到?

咦,不是說過連光也不能離開黑洞嗎?為什麼還會有來自黑洞的訊號?

黑洞本身不會發光(理論上黑洞會放出所謂的霍金輻射(Hawking radiation),但這超出本文討論範疇,我在以往文章中已經討論過)。然而,正被黑洞吸入的星際物質、甚至是被黑洞強大重力扯得支離破碎的恆星碎片,會一邊加速至極高速度、一邊落入黑洞之中。這些物質構成一個溫度極高的吸積盤,會在落入黑洞之前釋放出大量輻射。EHT觀察的就是這些剛好在黑洞邊界發射出來的光。

順帶一提,黑洞邊界是時空中的資訊能夠傳播的最後界線,跨越了黑洞這道邊境的任何資訊都不可能被黑洞外面的宇宙所探知。因此,黑洞邊界又稱為事件視界,象徵宇宙中一切事件的盡頭。EHT的名稱也就很明顯了:事實上它拍攝的並非黑洞「本身」,而是事件視界外的黑洞影子。

愛因斯坦的預言

既然這是人類史上首張黑洞照片,為什麼我們會知道M87中心有個黑洞?

我們觀察到來自M87的X射線高能量噴流(jet)。天體物理學模型指出,當吸積盤的物質落入黑洞時,會有一部分物質被高速從黑洞兩極拋走,形成噴流。噴流中的物質溫度極高,加上其速度非常接近光速,因而放出X射線。這些來自M87的X射線能量間接指出其中心必定存在一個能提供物質如此強大能量的能源。根據人類已知物理學,黑洞是唯一解釋。

科學與其他學問的一個分別是,我們能夠利用科學定律來作出極其準確的量化(quantitative)預言。愛因斯坦廣義相對論的預言已經被實驗和觀測所一一證實,包括位於較強重力場中的時間流逝速率相對較慢(全球定位系統人造衛星必須使用廣義相對論作岀修正,所以我們的手提電話已是明證)、空間會被重力場扭曲(人造衛星已經測得地球附近空間扭曲程度與相對論預言一致)、2015年直接探測到去兩個黑洞碰撞結合所釋放出的重力波(重力波觀測亦為黑洞存在的證據)。

EHT這張照片只是人類直接觀察黑洞的第一步。雖然這照片與想像中的電影劇照有頗大出入,卻是愛因斯坦相對論的另一個明證。誰知道未來人類科技會進步到何等程度,帶我們看到什麼?

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圖5 電影《星際啟示錄(Interstellar)》顯示的黑洞。由該電影科學顧問、2017年諾貝爾物理學奬得主、理論天體物理學家基普・索恩(Kip S. Throne)利用廣義相對論方程組畫出。

本文作者感謝江國興教授的建議。

延伸閱讀:

EHT新聞稿:https://eventhorizontelescope.org

EHT製作的動畫:https://youtu.be/hMsNd1W_lmE

相對論、量子力學、黑洞和反物質

黃道究竟有多少宮?

有讀者問我「歲差應是指春分點的移動,為什麼黃道會有變化?」

這是個非常好的問題。事實上我在前篇文章的解釋不夠嚴密。

歲差可分為太陽和月球的重力提供的「黃道歲差」,會影響地球自轉軸傾角、導致自轉軸進動以及公轉軌道進動。黃道歲差不會影響黃道。

然而,地球並非太陽系唯一行星。太陽系內所有行星都會因其重力對地球提供歲差,稱為「行星歲差」。行星歲差會影響地球公轉軌道的離心率和公轉軌道面,因此會改變黃道。

不過黃道歲差比行星歲差強約幾百倍,因此黃道的改變其實很輕微。

黃道第13宮是蛇夫座,太陽在蛇夫座裡的時間比在天蠍座裡的時間更長。這是很久以前已經知道的事實,我估計行星歲差應該不能在兩千多年間就造成這麼大的黃道變化,應該是前人為了方便或某些原因而故意忽略。

而第14宮是鯨魚座,太陽在鯨魚座裡只有不到一天的時間,而黃道只會進入鯨魚座邊界中少於半度。第14宮的出現因而可歸因於(一)行星歲差的貢獻;以及(二)國際天文聯會對88天區的現代劃分。

總結來說,黃道第13宮是無需行星歲差亦已存在多時的事實,而黃道第14宮則是行星歲差與天區定義的結果。無論如何,說黃道只有12宮是必然的錯誤,而究竟黃道有13宮還是14宮則看你重不重視鯨魚座的那一天。

後記:

感謝香港天文學會余Sir提供額外資訊:「通常『日月歲差』與『行星歲差』共用、『黃道歲差』與『赤道歲差』共用。由於原本『日月歲差』主要表示自轉軸進動,『行星歲差』用來表示地球軌道。問題是,其實行星都會對自轉軸有影響,所以會令人容易誤解。後來係2006年改左分法,主要分為『赤道歲差』表示赤道的進動,以及『黃道歲差』表示黃道的進動。」

封面圖片:克卜勒繪畫的蛇夫座星圖,可見旁邊就是天蠍座。留意蛇夫座的右腳腕旁「N」字母就是1604年的超新星爆發。

給妳機會說服科學界占星是科學

我經常說,我們這班真正的科學家是牆頭草,天下間變臉最快的騎牆派。

只要妳能解釋以下幾點,我保證科學界會立即把占星加入天文學教科書之中,妳也可以準備好接受諾貝爾獎的講稿。

一、離太陽系最近的恆星是比鄰星,距離4.2光年。請問離地球至少4.2光年的恆星們,以哪一種基礎交互作用影響人類今天的運程?

二、不單止水星,所有行星都會逆行,原因與駕車時超車,被超越的車看上去會逆行一樣,是錯覺。請解釋地球超越行星引起的這種錯覺,以哪一種基礎交互作用影響人類今天的運程?

三、地球自轉軸有個以26,000年為週期的運動,叫做進動,或者中文比較常叫歲差。因此,幾千年前的黃道(太陽一年在天上的軌跡)與現在不同。黃道十二宮現已變成十四宮,而且每個人出生的黃道星座都偏差了一個月,請問哪一種基礎交互作用,能夠以何種機制修正這個誤差,從而影響人類今天的運程?

我幫妳答吧。

第一道問題,妳需要在以光年計的宏觀尺度,以整體人類規模示範量子超距作用。絕對超越諾貝爾獎級別。成功的話造出量子電腦對妳來說易如反掌,妳發達了。

第二道問題,妳需要證明廣義相對論是錯的,地球本身是個絕對參考座標系。超越愛因斯坦和霍金的諾貝爾獎級別。

第三道問題,妳需要比《流浪地球》更強大的科技,在全地球人不知不覺的情況下移動地球。太陽系的和平都靠妳了,還管他什麼鬼諾貝爾獎?

最後,以上所有問題都關乎對物理學的基本粒子標準模型作出史無前例的大修正,亦能夠幫妳再賺多幾個諾貝爾獎獎座。到時候,獲得三個諾貝爾獎獎座的居禮家族也要排到妳後面去吧。

理科太太,妳說呢?

延伸閱讀:

《理科太太與唐綺陽》-Kayue

別混淆「差的科學」與「偽科學」》-余海峯

用微中子在晚間觀察太陽

大家都肯定知道只有在日間才會看到太陽,因為「看到太陽」就是「日間」的定義。在晚間,太陽落到地平線以下(或者準確一點地說,是地球自轉把我們帶到背向太陽的方向),所以我們就看不見太陽了。儘管偉大的北韓已經登陸過太陽,還是讓我寫寫如何在晚間「看」太陽吧!

充斥宇宙的鬼魅

只不過,這並不只適用於可見光的光線。基本上,所有粒子以及所有頻率的光線,從無線電、微波、紅外線、可見光、紫外線、X光到伽瑪射線,都不能穿透地球的地殼。然而,宇宙之間有一種粒子例外,能夠穿透整個地球而絲毫不受影響,那就是微中子(neutrino)了。其他粒子以及光線都不能穿透地球的原因,在於它們會與地球物質碰撞或者被物質裡的電子吸收。例如,帶電粒子和光線都會進行電磁交互作用。而微中子卻不會與任何物質進行電磁交互作用(微中子不帶電),他們只會與電子之類所謂的輕子進行弱交互作用。這種弱交互作用十分罕見,但卻是主宰放射性核衰變的力量。因此,對於微中子來說,地球根本就如同透明一樣。事實上,微中子可以穿透一塊厚度達一光年的鉛板而不會與任何粒子碰撞!

太陽亦會產生微中子,而每秒鐘都有多達600,000,000,000,000顆來自太陽的微中子穿透我們的身體!不過,並不只有太陽才會產生微中子。理論上,宇宙間非常多物理過程都會產生這種鬼魅一般的粒子,例如在能量極高的恆星爆炸之中(例如超新星爆發或伽瑪射線暴);或者來自釋放出巨大能量的星系中心的超高質量黑洞;也有來自宇宙大爆炸所產生的微中子充斥於宇宙之間,只不過因為它們的能量太低,以現在人類的科技根本不可能探測得到;另外,人類所建造的核反應堆也會產生微中子。

守「水」待「ν」

我們會問:那麼天文學家是如何觀測到微中子的?既然連整個地球也阻擋不到它們,何況區區一支望遠鏡?關鍵就在於望遠鏡有多大,以及觀察的時間長短。雖然每顆微中子都非常難以捕捉,但有這麼多微中子的話,只要把微中子望遠鏡造得非常巨大,假以時日,總會有一兩顆微中子落入陷阱裡的。天文學家於是就建造了幾個非常巨大的微中子望遠鏡,採取守株待兔的策略。或者,應該叫做守「水」待「ν」(希臘字母ν是代表微中子的物理學符號)。為什麼呢?這個比喻跟探測微中子所使用的方法有關。一般來說,天文學家需要在地底深處建造一個非常巨大的水池,用以探測與水池中的水分子碰撞的微中子。

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冰立方南極微中子天文台結構圖,整個結構都位於南極冰層以下。留意圖中右下角與艾菲爾鐵塔尺寸比較。(Credit: IceCube Science Team – Francis Halzen, Department of Physics, University of Wisconsin)

其中一個比較著名的微中子望遠鏡位於南極冰層之下,稱為冰立方南極微中子天文台(IceCube South Pole Neutrino Observatory)。如果幸運地(對微中子來說或許是不幸? )一顆微中子與冰分子碰撞,就會產生電子和渺子(即前述的輕子)。因為光在介質之中速度會減慢,這些輕子在水或者冰之中的速度就會比光更快。當物質在介質之中的速度比在介質中傳播的波動速度更快,就會產生衝擊波(最常見的例子就是船隻在水面激盪起的V字型波浪)。當粒子跑得比光更快時所產生的衝擊波就叫做切倫科夫輻射(Cherenkov radiation)。整個冰立方南極微中子天文台其實就是數千個分布於範圍超過一立方公里的光電倍增管,用來探測切倫科夫輻射。所以,倚靠探測這些切倫科夫輻射,天文學家就能進行反向計算,推測出微中子來自宇宙中哪個方向了。

很久以來,天文學家都只能確認一些來自太陽以及超新星1987A的微中子。這是因為微中子碰撞事件十分罕有,通常每次只有一顆微中子被觀察得到,所以微中子源的位置的誤差就非常大。往往在誤差範圍之中有非常多可能產生微中子的天體,因此很難查明哪一個天體才是真正的源頭。最近,冰立方南極微中子天文台終於證實其中一顆微中子來自於3,700,000,000光年以外的一個活躍星系核TXS0506+056。宇宙十分巨大,相對於TXS0506+056,我們與太陽甚至超新星1987A的距離簡直微不足道。這次探測意義重大,代表了微中子天文學正漸漸發展,能夠與傳統電磁輻射天文學一同探測宇宙中極其遙遠的天體。

找太陽嗎?看看你的腳下!

說到這裏,還未解釋如何能夠在晚間觀察太陽呢。大家有沒有想過,為什麼這些微中子望遠鏡要在地底建造呢?其實並非只有微中子,來自大氣層上方的宇宙射線裏面的各種粒子亦會產生切倫科夫輻射,因此放在地底的原因就是要隔絕這些雜訊。且慢,別誤會,我們想要隔絕的雜訊並非來自頭頂上方,而是想要隔絕來自腳下地球另一邊的雜訊!如果電腦分析顯示一個信號來自南極大氣層上方,那麼不管這個訊號是否來自微中子,都一律會被當成雜訊,因為要把來自這個方向的粒子分類是極其困難的。因此,建造於南極的微中子天文台,只有來自腳下的北半球上方的訊號,才是天文學家們分析的對象,所以我們就可以利用微中子望遠鏡來於晚間觀察太陽了。

微中子望遠鏡可是比超人的透視眼厲害不知道多少倍的啊!

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冰立方南極微中子天文台地面上的資料分析站,也是天文學家的居所。地下的顏色顯示許多光電倍增管探測到一顆來自TXS0506+056的微中子所放出的切倫科夫輻射。這顆能量約為290兆電子伏特的微中子在2017年9月22號穿過地球,碰巧撞上南極冰層裡面其中一個冰分子。(Credit: IceCube South Pole Neutrino Observatory)

封面圖片:畫家筆下一顆微中子與冰分子碰撞,產生藍色的切倫科夫輻射。(Credit: IceCube South Pole Neutrino Observatory)

延伸閱讀:

IceCube South Pole Neutrino Observatory

立場報導《南極地底探測儀 錄得 37 億光年黑洞微中子訊號

玻璃中的天文物理:約瑟.馮.夫琅和費(Joseph von Fraunhofer)

宇宙間一切物質,包括天上都星辰和地球上的生命,都是由同樣的原子所構成。原子的數量非常、非常多,我們每呼吸一口氣,就有比可見宇宙裡所有恆星的數量更多的原子進入我們的身體。原子有不同種類,構成地球上一切生命的主要原子是碳、氧、氫、氮等等,而構成恆星的也差不多都是這幾種原子,只不過各種原子數量的比例跟人體不大相同而已。

牛頓使我們知道,宇宙間一切都遵守相同的物理定律。可是,同時代的人卻不知道天上的恆星是否也由同樣的物質所構成。不,在二十世紀以前,原子亦並未被證實存在。天文學剛與迷信占星分道揚鑣,利用星光研究天體的運行秩序,而物理學則剛被伽利略和牛頓等人發明,利用物理定律研究地球上的現象。那麼,天上的現象呢?

牛頓死後60年,約瑟.馮.夫琅和費在巴伐利亞慕尼黑附近的斯特勞賓(Straubing)出生。由於父母雙亡,他在11歲時就要到慕尼黑的一間玻璃工廠工作。工廠的老闆非常刻薄,更不准他上學,而他只能住在老闆家中。不幸地,或者應該說幸運地,這房子在夫琅和費14歲時的一個晚上倒塌了,夫琅和費被困於瓦礫之中。當時的巴伐利亞候選帝馬克西米利安一世(Maximilian I)帶領營教,把夫琅和費教了出來。

馬克西米利安買書給夫琅和費,並派人協助他的一切所需。馬克西米利安的介入使工廠老闆不得不讓夫琅和費上學。後來,夫琅和費成為了出色的光學物理學家,他製造的玻璃鏡片品質在當年使巴伐利亞領先全世界,已經成為巴伐利亞國王的馬克西米利安一世繼續支持夫琅和費的研究,更把他的玻璃鏡片製造技術列為國家機密。

1814年,夫琅和費把棱鏡放在望遠鏡前面觀察太陽(這是相當危險的,讀者千萬不要模仿),這就是世上第一台光譜儀。白色光線穿過棱鏡分成彩色光譜,是牛頓當年的發現。夫琅和費更進一步,他透過光譜儀觀看太陽光譜,發現裡面有很多黑色的線。換句話說,太陽光譜並不是連續的,而是有著許多「空隙」。太陽光譜中的這些黑線,被稱為夫琅和費線。

夫琅和費亦發現,在火焰發出來的光之中也可以看見黑線。他繼續研究,發現其他恆星的光譜裡亦含有黑線,但黑線的位置各不相同。因此,他認為黑線並非地球大氣的影響,而是來自恆星本身。天上的物質,原來與地球上的物質一樣。

夫琅和費是首個發現和研究恆星光譜的人。今天,研究恆星光譜並應用物理定律去解釋天體構造的學科,就是天體物理學。夫琅和費結合天文與物理,創造了天體物理學這門新學問。可是,夫琅和費並不能解釋這些黑線的成因,要一直到19世紀中期,科學家才發現黑線是原子的吸收光譜。原子中的電子會吸收特定頻率的光線,由於不同原子的電子結構都不同,所以如果各恆星中蘊含的元素有所分別,它們的吸收光譜也就彼此相異了。

夫琅和費因早年在玻璃工廠惡劣環境下工作而導致重金屬中毒,於1826年病逝,年僅39歲。如果夫琅和費沒有在玻璃工廠工作,會不會有更多發現?或許,那樣他就不會得到馬克西米利安的協助,利用玻璃鏡片發現天文和物理的關聯?

封面圖片:夫琅和費展示他的光譜儀。(Richard Wimmer “Essays in Astronomy”)