上回我說亞視永恆。但我錯了，亞視已執粒。不過圓周率 $latex \pi$ 卻是真的永恆，不會錯。 今次我們來看看，在公元前兩百多年，阿基米德 (Archimedes) 是如何計算 $latex \pi$。阿基米德用的方法叫做窮盡法 (method of exhaustion)，但我喜歡叫它做三文治方法。以下就讓我們試試把 $latex \pi$ 像夾三文治般夾出來。 首先，想像有一個半徑為 $latex R$ 的圓形，在圖的內外各畫一個緊貼著的正方形。由下圖中可以看出，外面較大的正方形邊長為 $latex 2R$、裡面較小的正方形對角線就是圓形的直徑，長為 $latex 2R$。 我們想要知道圓周，那就可以計算 $latex \pi = C/(2R)$ = (圓周/直徑) 了。由上圖可知圓周 $latex C$ 比內正方形週界 $latex p$ 長、比外正方形週界 $latex P$ 短。因此 $latex p \le C \le P$。 那麼，$latex p$ 和 $latex P$ 分別有多長？在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》文中我們學會了用三角函數去表示三角形邊長之比。看上圖可知 $latex b…… Continue reading Pi 是永恆 (二)
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Pi 是永恆 (一)
亞視永恆。但有些東西可以比亞視更永恆。 我們都學過圓周率，而且我們都知道圓周率的名字叫做 $latex \pi$。在學校裡，我們必定學過一條公式，就是如何用一個圓形的半徑去計算它的周長，即是圓周： $latex C=2\pi R$。 上式告訴我們「圓周 $latex C$ 除以兩倍半徑 (即直徑) $latex 2R$ 等於 $latex \pi$」，大概就是我們對 $latex \pi$ 的第一個印象吧！我們在學校也學過，上式中的 $latex \pi$ 是一個常數。換句話說，無論一個圓形有多大，它的圓周 $latex C$ 和直徑 $latex 2R$ 之間的比例都是不變的。 有史記載第一個證明 $latex \pi$ 是常數的人，有說是阿基米德。他使用極限 (limit) 的數學概念，以逼近法把 $latex \pi$ 好像夾三文治一樣夾出來！從而證明它是一個常數，計算出 $latex \pi$ 在 3.1408 和 3.1429 之間，準確至兩個小數位。事實上，$latex \pi$ 是無窮無盡的，即是它擁有無限個小數位，怎樣計也永遠計不完。現代的超級電腦，可以把 $latex \pi$ 計算至萬億個小數位。可是，萬億個小數位距離無限，仍然是無限遠。 我們知道這些都是事實。可是，我們又有沒有想過，為。什。麼？ 在這一連幾篇文章中，我會用兩個不同的方法去證明 $latex \pi$ 是一個常數，即是證明所有圓形的圓周率都是一樣的。換句話說，我們會證明所有圓形的圓周與直徑的比例都是一樣的。然後我會介紹其他與圓形和…… Continue reading Pi 是永恆 (一)
畢氏定理 X 圓 X 三角學
大家知道畢氏定理、圓、三角學這三樣東西有著密切的關係嗎？ 首先，我們來考慮一個直角三角形： [圖一] 根據前文討論過的畢氏定理，我們就有 a2 + b2 = c2。 現在來考慮一個圓形。我們可以如何定義一個圓形呢？ 「指定一點叫做圓心 O ，向任一方向伸延一長度 R，然後將這長度 R 繞 O 轉一圈，那麼 R 的頂點畫出來的形狀就定義為『圓』，並且 R 稱為這圓的半徑。」 好了，我們現在有了三角函數和圓的定義，就來看看它們之間有什麼關係吧！首先，我們把 O 放在二維平面上，並使 O 與 (x, y) = (0, 0) 重疊。我們問，一個半徑為 R 的圓形，如何以 (x, y) 座標表達呢？看看下圖，我們在圓周上隨意選一點 (x, y) = (a, b)，並與 O 點連接，因此 (x, y) = (a, b) 和 O 之間的長度就是半徑 R。 [圖二] 然後在 (x, y)…… Continue reading 畢氏定理 X 圓 X 三角學
余海峯 David | 物理喵 phycat 