上回我說亞視永恆。但我錯了，亞視已執粒。不過圓周率 $latex \pi$ 卻是真的永恆，不會錯。 今次我們來看看，在公元前兩百多年，阿基米德 (Archimedes) 是如何計算 $latex \pi$。阿基米德用的方法叫做窮盡法 (method of exhaustion)，但我喜歡叫它做三文治方法。以下就讓我們試試把 $latex \pi$ 像夾三文治般夾出來。 首先，想像有一個半徑為 $latex R$ 的圓形，在圖的內外各畫一個緊貼著的正方形。由下圖中可以看出，外面較大的正方形邊長為 $latex 2R$、裡面較小的正方形對角線就是圓形的直徑，長為 $latex 2R$。 我們想要知道圓周，那就可以計算 $latex \pi = C/(2R)$ = (圓周/直徑) 了。由上圖可知圓周 $latex C$ 比內正方形週界 $latex p$ 長、比外正方形週界 $latex P$ 短。因此 $latex p \le C \le P$。 那麼，$latex p$ 和 $latex P$ 分別有多長？在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》文中我們學會了用三角函數去表示三角形邊長之比。看上圖可知 $latex b…… Continue reading Pi 是永恆 (二)
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三角 X 斜率 X 微積分
上回介紹了三角學的基本函數 sine 和 cosine 與圓形的關係。在下回介紹圓周率 $latex \pi$ 之前，有一項非常重要的結果必須首先介紹。 對於一條任意畫的線，只要它是可以一筆過不斷開地畫出來和沒有尖角的 (嚴謹的數學概念叫連續的和可微分的)，那麼我們就可以定義一個叫做斜率的東西： 換句話說，斜率就是描述該線段相對於橫軸的斜度而已，即是講一道斜坡相對於平地有多斜。從上式定義之中，可見斜率以小數或分數來表示的。日常生活中，通常我們都習慣用角度表示斜率，不過這對我們的討論沒有影響。 數學中一個非常重要的技巧就是微積分 (calculus)。微積分是牛頓 (Isaac Newton) 和萊布尼茲 (Gottfried Leibniz) 在同一時期分別獨自發現的。現在我們用的微積分符號是萊布尼茲的版本。如果沒有微積分，今天我們日常生活中各式各樣便利的現代發明都不可能存在。微積分可說是人類史上最重要的數學發現。 故名思義，微積分就是微分和積分的運算。在我們的討論裡不會用到微積分的運算，大家只需要記住：微分就是計算無限短的線段的斜率的方法。至於積分我們會在以後再講。 在上回圖中，我們知道了 sine 和 cosine 函數的圖形。現在我們問，它們的斜率是多少？換句話說，我們問： 有學習過微分運算的讀者，必定能夠立即說出答案： 上式中我們使用了 $latex \textrm{d}$ 代替 $latex \Delta$，以表示無限小的改變。這只是數學慣用符號而已，只要我們記得現在所做的一切都是在趨向無限短的線段上做的，那麼兩個符號在概念上就是一樣的。 現在，讓我們來試試不使用微分運算去找出 sine 和 cosine 的斜率吧！首先考慮上圖。圖中有一半徑為 $latex R$ 的圓形，圓心為 O 點。把 $latex R$ 從水平逆時針畫出一角度 $latex \theta$，連起 O 點和 A 點。再繼續逆時針畫出一細小角度 $latex \Delta\theta$，連起 O 點和 B 點。所以…… Continue reading 三角 X 斜率 X 微積分
畢氏定理 X 圓 X 三角學
大家知道畢氏定理、圓、三角學這三樣東西有著密切的關係嗎？ 首先，我們來考慮一個直角三角形： [圖一] 根據前文討論過的畢氏定理，我們就有 a2 + b2 = c2。 現在來考慮一個圓形。我們可以如何定義一個圓形呢？ 「指定一點叫做圓心 O ，向任一方向伸延一長度 R，然後將這長度 R 繞 O 轉一圈，那麼 R 的頂點畫出來的形狀就定義為『圓』，並且 R 稱為這圓的半徑。」 好了，我們現在有了三角函數和圓的定義，就來看看它們之間有什麼關係吧！首先，我們把 O 放在二維平面上，並使 O 與 (x, y) = (0, 0) 重疊。我們問，一個半徑為 R 的圓形，如何以 (x, y) 座標表達呢？看看下圖，我們在圓周上隨意選一點 (x, y) = (a, b)，並與 O 點連接，因此 (x, y) = (a, b) 和 O 之間的長度就是半徑 R。 [圖二] 然後在 (x, y)…… Continue reading 畢氏定理 X 圓 X 三角學
余海峯 David | 物理喵 phycat 