【Ig Nobel搞笑諾貝爾】【物理】咖啡濺出的原因和解決辦法

大家有試過沖好咖啡後，開開心心地把咖啡倒進杯中，正在拿回辦公室享用的途中的時候，明明小心翼翼、身體沒什麼大動作，咖啡仍然會濺出嗎？發生這樣的情況時，簡單是沮喪至極了，積極工作的心情都會被地心吸力吸引的咖啡沖走。

在 2012 年，H. C. Mayer 與 R. Krechetnikov 發表過一份研究，並在同年獲頒搞笑諾貝爾物理學獎。他們發現咖啡杯幾何形狀、咖啡的性質、行走時的人體力學都是影響咖啡會否濺出的因素。有些後續研究分別從這幾方面深入分析，在這文章中我就介紹其中一個由 Jiwon Han 在 2016 年發表的研究，主要分析咖啡杯幾何形狀的貢獻。

這研究中的研究員發現分別使用咖啡杯與酒杯，灌入相同份量咖啡，再用機器以固定頻率水平搖動，兩者的咖啡淺出情況有所不同。當頻率為 4 Hz 時，咖啡杯內的咖啡波動幅度很大並會濺出杯外，相反酒杯內的咖啡卻只是處於週期波動狀態。當頻率下降至 2 Hz 時，情況卻恰恰相反：酒杯內的咖啡濺出而咖啡杯卻沒有。這情況令研究員懷疑杯的幾何形狀是影響咖啡波動幅度的重要因素。

經過一連串實驗之後，研究員發現原來令咖啡濺出的原因是共振。共振是指一個系統內的能量傳播集中在某頻率，結果就會大大增強了單一頻率內的能量。這種似於很多個小波浪疊合成一個大海嘯，利用波浪會互相疊加或抵消的特性就能較直觀地理解。

例如，假設我們有一個波長為 1 米的小波浪（由於波長反比於頻率，我們也可以選擇用頻率去理解，不過在海浪例子中用波長比較易理解）。現在，我們可以自由選擇把不同波長的波浪疊上去。怎樣才能最有效地加強波幅，得到一個海嘯般的大波浪呢？相信顯而易見的方法就是把一樣波長等於 1 米的波浪疊上去就可以了。

可以想像，雖然如果把不同波長的波浪也疊上去，在某些位置的確會加強了波幅，但在其他地方也會抵消了波幅。因此，只是相等於原本小波浪波長（1 米）的波浪，才能持續地加強波幅，造成大海嘯。

平常在大海中，不同波長的波浪不斷出現，雖然偶爾會有相同波長的波浪互相疊加，但是其他更多不同波長的波浪也會把疊加效應抵消掉。還有一個問題就是，波浪的前進方向不同也會使疊加效應只持續一瞬間就會消失。因此除非某地方發生大地震，我們才需要擔心發生海嘯，因為地震會以特定頻率集中釋放能量，使其製造出的波浪擁有特定波長。

不過，如果我們想像在一個小水池甚至一個杯子中的情況，結果就會有所不同。不同頻率或波長的波浪會繼續互相疊加和抵消，但波浪會碰到水池邊而反彈。這樣就會使波浪不斷重複疊加，最後導致不同波長的波浪都互相抵消掉了，只剩下對應於容器共振頻率的波浪不斷疊加。這就稱為共振。

每種物質都有其各自共振頻率，指該物體偏向吸收能量的頻率。例如我們常用的微波爐，也是因為食物裡面的共振頻率位於微波波段，所以用發射微波的方式加強水份子的振動幅度，從而加熱食物。

使用以上例子，我們就可以理解，不同形狀的杯在選擇吸收某一震動頻率的能量後，再傳給杯裡面的咖啡之中，就會使咖啡濺出杯外。

研究員的下一個目的就是找出為什麼人在行走時會出現哪些頻率。結果發現，人類在行走時會在前後、左右、上下三個方向以幾個頻率振動，而前後方向的震動的其中一個頻率與咖啡杯的共振頻率吻合。令人意外的是，這個頻率並非一直以來認為的人類步行時的手部上下擺動頻率大約 2 Hz（實驗發現是 1.7 Hz；人在 1 秒鐘內大概行 2 步），而是前後擺動的一個一階諧波（文章中誤寫為二階諧波），頻率約為3.5 至 4 Hz。

文章開頭介紹的實驗已經顯示咖啡杯的共振頻率是4 Hz。因此，研究結果顯示咖啡濺出的理由並不是上下擺動而是前後擺動，亦是支持共振才是咖啡濺出理由的原因。

研究員發現有幾個方法可以減低咖啡共振的機會：倒後行、在咖啡上加上一層薄的泡沫、使用口徑很小的杯，以及用手抓着咖啡杯頂部的拿杯方法。

在倒後行的實驗裏，研究員發現前後方向的一階諧波擺動差不多完全消失（這也是上下擺動並非共振原因的另一依據）；加上泡沫能能夠產生阻尼抵抗咖啡的波動；咖啡杯口徑越少，其共振頻率就越高，而正常步行時不會產生高頻率振動。

最有趣的是最後一個方法：用手抓着咖啡杯頂部。到這裡為止的解釋都是基於，當用手握住咖啡杯杯耳時，整個手部連同咖啡杯可以類比成一個鐘擺，並用鐘擺的動力學模型去理解。但當使用手抓着咖啡杯頂部時，由於手腕和手臂之間能夠擺動，這就好比形成了一個雙鐘擺系統，多出來的自由度（手腕和手臂間的擺動）就會改變系統的共振頻率。

綜合上述方法，看來用手抓着咖啡杯頂部也是實際可行的嘛！這研究也解釋了為什麼泡沫咖啡比較不易濺出。當然，這研究只探討咖啡杯的幾何形狀，對其他因素例如咖啡的黏滯性都忽略不計。這些比較複雜的問題在 H. C. Mayer 與 R. Krechetnikov 的得獎研究中都有所分析。此文章只介紹了 Jiwon Han 對咖啡杯的幾何形狀的後續研究，有興趣的讀者可以參考文末的連結閱讀兩篇論文。

Mayer H. C. & Krechetnikov R. 2012, Walking with coffee: Why does it spill?, Phys. Rev. E, 85, 046117