地球依然在動

傳說伽利略接受宗教法庭審判、被迫簽下「地球不會動」的悔過書時,說過這一句說話:「地球依然在動。」(”And yet it moves.”)

科學之所以引人入勝,我認為其中一個原因是科學的客觀性。科學就是尋找大自然定律的學問,而大自然並不會因人類的意見或偏好而改變。很多現在我們認為理所當然的科學知識或常識,其實都是經過無數科學家的努力研究才能得出的結論。今次,我想討論一個人人皆知的常識:「人類究竟是如何得知地球並非靜止不動的?」

地球在動嗎?古時候並沒有人知道答案。在這個資訊發達、恆常有人駐守國際太空站上、每個人都知道答案的時代,我們又有否思考過,為什麼答案是如此這般呢?我希望藉著這個看似簡單的問題「為什麼我們感覺不到地球在動?」帶出一些思考的盲點。

這篇文章分為四個部分。地球會運動,而這運動由幾個部分組成:自轉、公轉,以及隨太陽環繞銀河系中心運行(其實還有自轉軸的進動和擺動,以及受其他行星重力影響等等問題,我有機會會再另文詳述)。我曾在一篇文章中討論過古人對「感覺到運動」的認知問題,這與古代宇宙學和天文學有關,為了文章的完整性我會再簡單講解。接下來,我會首先討論自轉的問題。然後我會稍為轉一轉重點,討論一下另一個同樣引人入勝的問題:為什麼在太空中感覺不到重力?這個離題是必要的,因為最後我們討論的地球公轉問題,需要用到其中的一些概念。在四個部分裡,我亦會在盡量不影響文章流暢性的情況下,盡力解釋一些有關係的物理概念。

一、為何感覺不到地球正在運動?——從古希臘地心說到伽利略船實驗

日出日落,斗轉星移,觀察天空是古人思考宇宙奧秘的主要方法。日月星辰晝夜都在天上移動,這種東升西落現象就好像大自然在顯示給人類說:萬物都環繞地球轉動。這個理論叫做地心說(Geocentrism)。相反,古希臘學者亞里斯塔克斯(Aristarchus of Samos)提出太陽才是宇宙中心,稱之為日心說(Heliocentrism)。

古希臘人很早就了解到地球不是平的。雖然日常生活感覺不到地面的曲率,但他們發現了幾件事情,是一個平的世界所解釋不了的。第一,從海岸上望向遠方海上的帆船,總是先看見桅桿和船帆後才能看見船身。再者,他們亦發現在山崖上能夠比在海邊更早看見船隻。反過來,在船上也總是先看見山崖再看見海岸,而且在桅桿上的水手也能夠比在甲板上的水手更早看見陸地。這是地球表面彎曲的最直接的證據。

第二,在月食的時候,月球上的黑暗面積,總是圓形的一個部分。如果月食成因是地球遮掩了投射在月亮上的日光,那麼只有當地球是球狀的時候,才能總是投影出圓形的影子。大家可以在家試試看,分別用一個足球和一塊圓形的紙板,利用燈光在牆上投射出影子。我們會發現,只有當燈光垂直照射紙板時,影子才會是圓形的。但在足球的情況下,無論從哪個方向投射燈光,影子都總是圓形的。

對於身處北半球中等緯度的人來說,北天極附近的星星永不落下。相反,南天極附近的星星永不上升。(注意只有身處南半球的人才能看見南天極)北天極的高度隨緯度改變。在平的世界裡,這是不可能的。Credit: Nature of the Universe Ch. 2, Department of Physics, University of Hong Kong

第三個地球並非平的理由,就與日心說和地心說之爭很有關係了。我們知道,晚間出沒的星星與日間出現的太陽有個共通點,就是會從東邊升起、西邊落下。古天文學家早就發現,有些星星是從不落下的,它們只會環繞天空中一個假想的點轉動,那個假想的點就是北天極(同樣地在南半球的人也會看見另外一些星星環繞南天極轉動)。他們亦發現,越往北走(或在南半球越往南走),北天極(南天極)距離地平線的高度就越高,導致越來越多星星從不落下。在地球上的南極點或北極點觀察,則所有星星都不會落下。相反,越往赤道走,北天極(南天極)距離地平線的高度就越低,導致越來越多星星會東升西落。事實上,在地球的赤道上,所有星星都會東升西落,而北天極和南天極會剛好疊在地平線上。如果地球是平的話,就不可能出現這個情況,每個地方所看見的星空都應該是一樣的。同理,太陽的高度亦會隨緯度而改變。除非不同緯度的人看見的並非同一個太陽、同一堆星星,否則地球不可能是平的。

(注意,上一段文字裡的「東」和「西」並非單單指「正東方」和「正西方」,而是包含了東南、東北和西南、西北等方向。)

古希臘人知道了地球並不是平的而是球狀的,埃拉托色尼(Eratosthenes of Cyrene)更用實驗計算出了地球的直徑。古希臘人認為物質分為兩種,各自會有自然的運動傾向:天上的物質自然而然環繞地球運動、地上的物質自然地向宇宙中心落下。人們傾向接受地心說,因為除了眾星辰都「明顯」環繞地球運動外,如果地球真的環繞太陽運動的話,為什麼地上的物質又會向地心落下?這是古希臘人未能解釋的。

地心說一直稱霸西方思想,甚至在東方亦一樣。古中國天文學家認為地球是方形的平面,且天空則是半球形的,即「天圓地方」之說。西方反對日心說的最大理由是地球「明顯」靜止不動。人們說,如果地球在動,那麼當物件向下掉落時,不應該掉在腳邊,而應該掉在後方,因為物件正在空中向下跌時,地球向前移動了。他們認為,即使地球並非宇宙中心,「地上的物質自然地向宇宙中心落下」依舊應該成立,所以如果地球在動,物件就理應向後方掉落而非垂直掉落了。

直至1624年,伽利略(Galileo Galilei)提出了船實驗,才把這個攻擊日心說的主要理由消除。伽利略在行進中的船上觀察物件落下,發現與在陸地上時一樣掉在腳邊。這代表物件並不會原地垂直落下,而是會跟隨船隻一邊向前行進、一邊落下。在陸地上看,這個物件的軌跡是一條拋物線。這就代表地球並不一定是靜止的,因為這實驗證明了物件並非永遠向宇宙的中心掉落(地心說中的宇宙中心就是地球中心)。換句話說,伽利略發現了慣性定律,而慣性定律代表我們不能分辨得到地球是靜止的還是在作等速運動(速率和方向都不變)。所以,地球並不一定是宇宙中心。當然,地球的自轉和公轉運動並非等速運動,因此伽利略的船實驗只顯示了近似的慣性定律。

根據牛頓力學,我們知道地球和太陽之間以萬有引力互相吸引,其結果就是地球環繞太陽公轉。不過只有公轉並不足以解釋恆星、太陽、月亮、行星的周日運動(diurnal motion)和周年運動(annual motion)。地球必須自轉才能解釋所有這些天文數據。然而,這些都只是地球會動的間接證明。

下一節,我們會討論地球自轉對地球表面上的觀測者的影響,以及地球自轉的直接證據。

二、為何感覺不到地球自轉?——非慣性座標系裡的慣性力

為何我們感覺不到地球的自轉?這問題就像問為何我們感覺不到地球表面是彎曲的,答案是人類對比地球來說,實在太渺小了。就像我們必須望向很遠的海平線才能看見船帆先於船身出現的現象,我們亦必須走很遠的距離才能發現地球自轉對地球表面上生活的渺小人類所造成的影響。

氹氹轉。Credit: Zavijava2, Wikimedia Commons

大家有玩過公園裡的遊樂設施「氹氹轉」嗎?它是一個會旋轉的大圓盤,盤上有支架。如果我們捉住支架在地上圍著氹氹轉走,然後跳上去,我們會感覺好像有一股力想將我們推出去似的,如果我們放手的話就會被拋出去了。這就是我們經常說的「離心力」(centrifugal force)。如果各位在香港坐過會上高速公路的專線小巴,應該亦曾感受過這種刺激的感覺,根本不用去海洋公園坐過山車。

但如果我告訴你,離心力其實並不存在呢?事實上,離心力屬於慣性力(inertial force),又稱為假想力(fictitious force),是「用錯」參考系觀察物理現象的產物。參考系是數學語言,即是用來計算物體位置、速度等的坐標系統。慣性參考系就是靜止不動或者以等速移動的坐標系。

簡單來說,雖然牛頓力學在日常情況下適用於任何參考系,但在非慣性參考系裡使用牛頓力學進行計算的話,就會出現慣性力。最常見的恐怕就是圓周運動。站在氹氹轉上的人在進行圓周運動,運動方向有所改變(注意物理學中的速度概念包含速率和方向),因而是個非慣性參考系。而站在地上看著氹氹轉的人則身處一個慣性參考系之中(事實上只是近似慣性參考系,因為地球也在動)。

在氹氹轉上的人所感受到的離心力,其實是因為氹氹轉在旋轉,但慣性定律卻說物體在不受外力的情況下只會沿直線前進,因此如果他不夠力捉住支架的話,就會被所謂的離心力拋出去了。在地上站著的人不會觀察到任何離心力,只會看見一個因捉不住支架而直線飛出去的人。順帶一提,捉住支架的力當然是真實的力,叫做向心力(centripetal force)。

現在我們可以回來地球自轉的問題上了。由於地球會自轉,身處地球表面的我們就是生活在非慣性參考系之中。就像在氹氹轉上的人感受到離心力一樣,我們都會因為慣性定律而感受到離心力。這個離心力會抵消掉部分重力,使我們在不同緯度感受到不同的體重!由於赤道與地球自轉軸的垂直距離最遠,而在南北兩極這個距離則為零,因此你站在赤道時的離心力會令你的重量對比站在南北兩極點時減少大約0.35%。

另一個我想簡單介紹的慣性力叫做科里奧利力(Coriolis force,簡稱科氏力),或者叫做科氏效應(Coriolis effect)。這是當我們在地球表面上移動時會感受到的慣性力。由於地球並非一個圓盤而是個球體,因此科氏力的方向並不在本地水平面上,而是與水平面有個角度。把這個力拆開,可以得到兩個方向的分力,分別為與水平面平行的分力(遺憾地,這個分力亦稱為科氏力),和與水平面垂直的、稱為Eötvös效應的分力。

平行本地水平面的科氏分力會使任何在北半球水平移動的物體向移動方向的右方(俯視時為順時針方向)偏轉,同時使任何在南半球水平移動的物體向移動方向的左方(俯視時為逆時針方向)偏轉。這就是颱風形成的原因,因而源自南半球和北半球的颱風會有相反的旋轉方向。Eötvös效應會在除離心力之外進一步改變我們感受到的重力。向東走時,Eötvös效應會進一步加強離心力,抵消更多的重力。反之,向西走時反而會加強了向下的力,就好像加強了重力般。

(有趣的是,源自北半球的颱風是逆時針方向旋轉的,與科氏效應相反。這是因為颱風的形成過程是三維的,有機會我再另文詳述。)

而我們在日常生活中感受不到上述離心力、科氏力和Eötvös效應的原因很簡單,就是因為人類相對地球的尺寸來說,太過渺小。只有在作長距離移動時,我們才能察覺到這些慣性力。例如炮彈的彈道計算就必須考慮地球的自轉、飛機飛行時會感受到科氏力、大規模的空氣流動會形成颱風等等。順帶一提,有都市傳說指科氏效應會導致南北半球上的坐廁沖水方向相反,但這是不正確的。因為對比地球尺寸來說,廁所實在太渺小了,作用在沖廁水上的科氏力比沖廁時水流的隨機擾動細微得多了,不會出現科氏效應。

歷史上首位直接測量到科氏效應的人是德國化學家懷斯(Ferdinand Reich)。在1831年,他從160米高的地方掉下物件,發現物件落下的地點向東偏差了2.8厘米。這是由於物件自由落下時的移動方向為地球中心,經過計算科氏力會指向東面。

慕尼黑德意志博物館裡的傅科擺。拍攝於2013年。

那麼,有沒有辦法在不作長距離移動的情況下,證明地球會自轉?答案是肯定的。在1851年,法國物理學家傅科(Jean Bernard Léon Foucault)用一個非常簡單的實驗,證明了地球確實會自轉。他用一條67米長(好吧,這也很長就是了⋯⋯)的線吊著一個28公斤重的鉛球,形成一個很長很重的擺,掛在巴黎先賢寺的天花版上。慣性定律也適用於鐘擺,保證擺動平面不會轉動(擺動平面不變與物理學中的角動量守恆原理有關)。因此,鐘擺的擺動平面不會改變,但因地球自轉,在地球表面上觀察,就會好像是有個力距轉動了擺動平面。這個實驗設備稱為傅科擺(Foucault pendulum),是世上每個科學博物館的必備展品。很多人會在早上很早就到博物館去,就是為了看工作人員開始擺動傅科擺的一刻。

現在我們理解到,古希臘時代的差不多兩千年後,懷斯與傅科的實驗終於直接證明了地球會動。

三、太空中真的是無重力嗎?——萬有引力貫穿宇宙空間

理解了我們的渺小不足以察覺地球自轉、並討論了證明地球自轉的直接實驗證據後,我們來討論一下一個稍為離題的問題:為何太空中「無重力」?這個概念大概是被科幻電影等大眾文化所灌輸的。我希望直接指出這是個錯得非常離譜的概念。這樣做的話,我們必須討論一下物理學裡的重力概念。

關於「物件為何會往下掉落」這個問題,從古希臘時期已經有過很多理論,其中最著名的一個莫過於上述對宇宙之間的物質作二分法的例子:天上的物質會環繞地球轉動、地上的物質會向宇宙中心(地球中心)墜落。這個理論並沒有解釋為什麼宇宙間會有兩種不同特性的物質,也沒有解釋到底是什麼力量驅使天上物質運動以及地上物質的下墜傾向。

直至哥白尼(Nicolaus Copernicus)過世的1543年,即亞里斯塔克斯提出日心說的差不多1,800年後,他出版了《天體運行論》(On the Revolutions of the Heavenly Spheres),重新提倡日心說。不過,哥白尼的日心說其實並不比托勒密(Claudius Ptolemy)在公元2世紀出版的《至大論》(Almagest)裡描述的地心說更科學。兩者解釋天文數據的能力相當,複雜程度也相差不遠。這是因為哥白尼的日心模型依然認為天體環繞太陽的軌道必然是正圓形的,所以仍必須使用一大堆複雜的、假想出來的數學規則,才能以地心模型同等的精準程度描述天體運行的觀測數據。

即使在17世紀初,繼承第谷(Tycho Brahe)成為丹麥皇家天文學家的克卜勒(Johannes Kepler)發表了他的三大行星運動定律、發現行星軌道形狀是楕圓形之後,科學界仍未普遍接受日心說。再者,克卜勒第一定律指太陽位於行星的楕圓形軌道的兩個焦點的其中之一,這也並不正確。事實上,行星並非環繞太陽運動,而是環繞整個太陽系的質心(centre of mass)運動。所以嚴格來說,地心說和日心說都不正確。而且克卜勒亦沒有到解釋行星環繞太陽運行背後的原因。

「天上的物質vs.地上的物質」這概念,最後被牛頓(Isaac Newton)所打破。他提出的萬有引力定律,不單指出了所有物質之間都會相互吸引,更解釋了這種吸引力的來源就是物件的質量(mass)。因此,所有擁有質量的東西都會互相吸引,並且這種吸引力同時適用於地上的和天上的物質。使用牛頓萬有引力定律,結合牛頓運動定律,就能夠推導出克卜勒行星運動定律。因此,牛頓不單發現了重力的解釋,更一舉統一了宇宙間的物理學。「最基本的大自然定律應該是全宇宙適用的」更成為了現代科學研究的一個重要指標。

牛頓萬有引力定律說,兩個物體之間的吸引力與兩者質量的乘積成正比,並與兩者質心之間的距離的平方成反比。換言之,質量越大,吸引力越強;相隔距離越遠,吸引力越小。但重要的是,這個吸引力只會在無限遠時歸零。因此,在太空中(尤其是在距離地球很近的太空站或太空船軌道)地球的重力根本不是零。再者,如果太空中沒有重力,那麼太陽如何吸引八大行星繞其運動?地球又怎能吸引月球環繞我們轉動?所以「太空中無重力」是對力學非常離譜的誤解。

萬有引力從地球、太陽、月球,以及所有天體表面貫穿宇宙空間,因此可說重力在宇宙中無處不在。可是回到最初的問題,為何太空人在太空船、太空站又會漂浮著,就好像沒有重力的樣子?

牛頓的炮彈思想實驗。Credit: Brian Brondel, Wikimedia Commons

牛頓在1687年出版了《自然哲學的數學原理》(Mathematical Principles of Natural Philosophy),裡面描述了一個思想實驗:想像有一個能夠以任何力度發射炮彈的炮台。如果力度很小,那麼炮彈會以拋物線在不遠處落在地面上。如果加強力度,炮彈就能夠飛得遠一些。因此把發射力度逐漸加強,炮彈就能飛得越來越遠才落在地面上。我們也知道地球表面是彎曲的,因此如果炮台發射炮彈的力度很強,那麼發射出去的炮彈就會飛越一段很長的距離才下降少許。然而,因為地球表面是彎曲的,炮彈下降同時地面亦會向下彎曲。所以,如果發射力度足夠大的話,炮彈的下降率就能夠「追上」地面下降率,結果就是炮彈永遠不會碰到地面(假設忽略空氣阻力),環繞地球一圈後從炮台後方擊中自己。

(思想實驗(Gedankenexperiment)指只在腦海中進行的實驗,並不一定有在現實中進行過。當然,思想實驗並不是真的實驗,並不能夠用來作為科學理論的證據。不過很多物理學家都愛用思想實驗去幫助他們跟據已知物理定律想像未知的結果。有時候,透過改變思想實驗的參數而得出不同的想像結果,能使我們對物理概念有更深入的了解。)

正在環繞地球運行的人造衛星、太空望遠鏡、國際太空站,以及地球的天然衛星月球,都是上述那顆炮彈。他們其實一直都在萬有引力的控制之下,不斷地「跌落」地球,只是由於速率非常快,所以就永遠跌不到落地面、只能環繞地球運行了。而國際太空站連同裡面的太空人都正在以同一速率前進和「下跌」,因此就看似在太空站中「漂浮」起來了。順帶一提,飛機突然關掉引擎作自由落體,裡面的人也會看似「漂浮」起來,太空人就是這樣訓練如何在太空中「無重力」狀態下工作的。

因此,太空中根本就不是無重力(weightless)。萬有引力貫穿整個宇宙空間,太空人會「漂浮」只不過是無重力感(weightlessness)的錯覺罷了。有些電影會有剛飛出大氣層的太空船裡面的人突然漂浮起來的場景,但這完全是大錯特錯。

德國物理學家夫琅和費(Joseph von Fraunhofer)在1814年使用棱鏡和望遠鏡觀察太陽光譜(注意:這是非常危險的實驗,會對眼睛造成永久損害!),發現太陽大氣的吸收光譜線。經過分析,部分譜線與在地球上找到的元素的光譜線吻合,直接證明天上的物質與地上的物質皆由同樣的元素構成。

四、為何感覺不到地球公轉?——牛頓:重力平衡向心力;愛因斯坦:如何分辨重力場和加速度

終於來到本文最後一個問題:為何感覺不到地球公轉?前港大理學院院長郭新教授去年曾經指出,Google對於這個問題所列出的結果當中,找不到一個是正確的。那些答案大多都只是用慣性定律解答「因為我們不能在慣性參考系中確認自己是否正在移動」。可是地球環繞太陽公轉並非慣性運動,所以地球並非慣性參考系,因此用慣性定律去解釋是不嚴謹的。正確的答案是太陽吸引地球以及地球上所有人類的力,完美平衡了地球(和地球上的人)公轉所需的向心力。這是用牛頓力學就能理解的。

我剛剛再Google了一次,發現只有一篇文章寫出了比牛頓力學更深刻的解釋。這個解釋與上一節中討論過的炮彈思想實驗有關,只不過這次我們要討論這個思想實驗更深刻的意義。這就要由愛因斯坦(Albert Einstein)的另一個思想實驗說起。

愛因斯坦可說是利用思想實驗的專家。在1907年,即是他發表狹義相對論的兩年後,他想像有一部升降機,裡面有個可憐的人。突然,吊著升降機的纜繩斷掉,升降機向下自由落體。根據上一節的討論,升降機裡面那個人會「漂浮」了起來,因為他正與升降機一起以相同的速率和加速度向下墜落。有趣的是,如果他仍然有時間思考的話,他會發覺,自己並不能夠分辨究竟是在重力場中自由落體,還是在遠離任何星體的宇宙空間裡真真正正地漂浮著!

愛因斯坦又想像,如果這部升降機和裡面的人真的在空無一物的宇宙深處之中,但升降機以與地球重力加速度同等數值的加速度向「上」加速,那麼裡面的人就會被升降機的地板向「上」推,他會感覺到與身處地球表面一樣的體重。如果他看不到升降機外面的環境,他就不可能分辨自己究竟是在外太空被升降機地板向「上」推,還是與升降機一起靜止地立在地球表面之上!

National Geographic紀錄片《Genius》裡的一幕,描述了愛因斯坦的升降機思想實驗。

愛因斯坦後來稱這個思想實驗為他「一生中最快樂的思想」。根據這個思想實驗,他最終成功在1915年發表完整的廣義相對論。透過這個思想實驗,愛因斯坦驚訝地發現,在局部的情況下,沒有任何實驗能夠分辨重力場和加速度。因此,他下結論說,兩者是等價的。換句話說,重力場就是加速度,加速度就是重力場,兩者是同一個東西。這個發現被稱為等效原理(equivalence principle)。

地球與地球上生活的所有人類一起正在向太陽墜落。當然,就好像上一節討論的太空站環繞地球公轉一樣,地球也永遠不會落到太陽之上。

等效原理說,我們不可能在局部情況下分辨到底地球是在遠離太陽重力場的宇宙空間中,還是正在向太陽墜落。因此,我們不可能感覺到地球正在環繞太陽公轉,因為如果我們能夠感覺到地球公轉的話,就等於說我們能夠分辨重力場和加速度!所以根據等效原理,我們就能夠輕鬆地解釋為何感覺不到地球在公轉。

有一點要注意的是,等效原理只在「局部」(locality)成立。局部的意思是無限小的空間。然而升降機是有一定尺寸的,而且萬有引力的方向是向心、並不平行的。因此,如果在升降機的兩側各放一個蘋果,我們就可以從兩個蘋果相距的距離分辨出升降機到底是在真正無重力的宇宙空間中,還是正在地球重力場中作自由落體。隨著時間過去,如果升降機真的在宇宙中,真的沒有重力作用於兩個蘋果之上,它們之間的距離就應該維持不變;如果升降機是在自由落體,指向地球中心的重力就會作用於兩個蘋果之上,而這兩個力並不是平行的,因此它們之間的距離就應該漸漸縮短。

當然,在現實中是不可能進行這個升降機思想實驗的。但我們仍然能夠從一些自然現象中找出端倪。例如潮汐漲退就是由於月球和太陽作用在地球的不同部分上的重力有所不同而引起的。所以潮汐就是地球真正位於重力場裡的證據。不過,這仍只代表地球在重力場之中,並不代表地球正在公轉,地球也可能是在直線向太陽墜落。然而,若加上地球自轉和星星、太陽、月亮的周日和周年運動,我們就能得出地球公轉的結論。同理,我們感覺不到整個太陽系都在環繞銀河系中心公轉的原因,也是基於等效原理。

最後,如果想用天文觀測證明地球會公轉的話,其實並不太困難。我們可以利用視差法(parallex),在相距半年的時間觀察同一顆星星相對背㬌星空的位置,我們會發現會有細微的變化。這就好像輪流遮住左眼和右眼看同一件物件,會發現物件相對背㬌的位置有所改變。

希望這篇文章能幫助各位釐清關於地球運動的一些物理概念。

鳴謝:感謝小肥波、Edward Ho、Patrick Tsang、Michael Or、TN Kwok的意見和幫助proofread。

延伸閱讀:
Prof. Sun Kwok answers some of the common misconceptions in science》- Sun Kwok
Ask Ethan: Why Can’t We Feel Earth Flying Through Space?》- Ethan Siegel

封面圖片:國際太空站上拍攝的地球,在北卡羅萊納州上有一個颱風。颱風的形成是地球自轉的證據。Credit: NASA

2 thoughts on “地球依然在動

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s