為何宇宙、如何宇宙

愛因斯坦：「這宇宙最不能夠被理解的事，就是它竟然能夠被理解。」

科學是理解宇宙的方法。可這即是什麼意思？何謂理解？如果我們想深一層，「理解」的過程是沒有盡頭的。為何我們存在？因為有太陽提供能量給地球上的生命。為何太陽存在？因為星塵經由萬有引力結合成太陽。為何有星塵？因為宇宙誕生時產生了能量和質量。為何有宇宙？

事實上，每種問「為何」的過程，都能夠追蹤到宇宙誕生。包括為何今天不小心打破了水杯，其終極原因也是宇宙誕生。問基本粒子的本質是什麼，最後也只能答「因為宇宙誕生就是這樣啊」。

科學家在很久以前問的是宇宙「為何」是這個樣子，答案亦普遍停留於「定性」階段。然而，隨著主要由伽利略等人開始的科學革命，科學家漸漸發現使用數學能夠歸納、分析數據，從而描述宇宙的規律之餘，亦能預測未來會發生的現像。其中，以牛頓萬有引力定律推算出彗星重臨時間的哈雷，最為人津津樂道。現代科學，變成一門精密的「定量」學問。現在，科學家問的絕大多數是宇宙「如何」運作。

問「如何？」比起問「為何？」容易，因為答案可以用算式、數字、統計、邏輯去歸納觀測和實驗數據而得到。數學（包括統計學在內）是科學家描述宇宙定律的語言。不管我們願不願意接受，數學都是描述和預測自然定律最精確的語言。把我們觀察到的數據歸納，以盡量少的假設建立一個能夠描述這些數據的數學模型，並對大自然作出預測，就是現今科學家的日常工作。

當然，我們可能不會滿足於問「如何」。人類是求知慾很強的生物，我們渴望知道「為何」。人類為何求知？正如很多科學家都認為我們應該理解數學背後的物理概念，而非單純滿足於公式和數字。理解物理公式代不代表理解物理概念，我不肯定；但我能肯定的是，不理解物理公式，就不可能理解物理概念。

幾何宇宙宇宙幾何

讓我們先來談談另一個「何」：幾何。無論你喜歡或討厭數學，都必定在學校裡的數學課堂中學過幾何學，因為太重要了。

牛頓發現了運動定律和萬有引力定律。在牛頓力學裡，宇宙是個三維的空間，即有著長、闊、高三個方向。這三個方向無垠寬廣，而且永恆不變。他想像，我們可以用三條互相垂直的直線畫出任意座標系，宇宙中的任何一點都能夠被這個座標系標示出的三個數字(x, y, z) 描述出來。這種三個軸皆為直線、且互相成直角的座標系，叫做笛卡兒座標系。這是學校會教的最基本幾何知識。

我少年時曾參加過野外定向活動。故名思義，這是個拿著地圖尋找檢查點的遊戲（不可以使用Google Map 啊）。如果我們細心留意，就會發現地圖上分成許多格網，每一格都以一組兩個數字或英文字母標示，代表横及直兩條互相垂直的軸。只要找到第一個數字或字母，範圍就會由一個平面縮小到一條直線。再在這條直線上找第二個數字或字母，就能夠定位想要找的那一點。這其實就是二維笛卡兒座標，地圖上的橫和直兩個數字或字母就是x 和y，而垂直地圖、未能標出的的高度就是z。很多其實地圖以等高線代替高度，所以某程度上地圖仍然能夠標示出三個數字，顯示地球表面以上的三維空間。

習慣在地球表面生活的人類，會不自覺地把「前後左右」和「上下」區分開來，因為我們能夠自由地往前後左右移動（除去人為地域分界和海洋不計），但是不能自由地往上移動（往下則可以，如果你希望成為地球重力場裡的自由落體⋯⋯）。因此，有時候我們會誤以為這個方向「上下」比其他兩個方向「前後」和「左右」較為特別。然而當我們想深一層，在太空深處遠離任何重力場的地方，各個方向都應該沒有任何分別。我們可以用(x, y, z) 之中的任何一個字母去表示任意方向。不論我們選擇了哪一個字母去標示哪一個方向，另外兩個字母都會代表了另外兩個互相垂直的方向。

日常情況下，牛頓力學是相對論的近似，我們能夠用笛卡兒座標系的三個方向(x, y, z) 加上時間t 表達日常生活中的任何現象。在牛頓的想像之中，(x, y, z) 就是宇宙舞台，物理現象就是演員，依循物理定律演出。而時間t 則是獨立於這舞台的一個時鐘，時鐘秒針跳動的頻率不會受舞台或演員影響。整個宇宙都是使用同一個時鐘，在宇宙不同位置的人都會看見時鐘指著同一時刻。自牛頓的時代開始，物理學家利用幾何、微積分等數學工具，非常成功地建立起物理學的殿堂，所有物理定律都能使用描述(x, y, z) 和t 的公式描述出來。

牛頓力學之中，使用笛卡兒座標表示的三維空間(x, y, z) 就好像是舞台，而時間t 卻像是分開來掛在舞台旁的鐘，空間和時間互不相干。愛因斯坦卻說，這不可能。如果我們接受光速恆定這個事實，就必然能夠推導出時間和空間本為一體這個結論，稱為時空。在相對論之中，時間和空間結合在一起，成為(t, x, y, z) 四維幾何結構。更不可思議的是時空並非物理現象發生的舞台，並不單止用來描述物質的運動狀態；時空本身就是物理現象，會受到物質的運動狀態所影響！

時空是數學上的幾何結構，自牛頓以來很多物理學家都以為這個結構只是數學上的想像、只是一種方便我們進行計算的表達方式。然而，愛因斯坦證明時空不可能只是背景舞台和時鐘，時空會影響物質運動之餘，亦會被物質所影響。相對論大師約翰．惠勒曾用一句話漂亮地解釋了這個概念：「時空告訴物質如何運動，物質告訴時空如何彎曲。」因此，如果要了解宇宙如何演化，我們必須首先了解如何運算(t, x, y, z) 的四維幾何學。這是超越笛卡兒座標的數學概念，叫做黎曼幾何。現代物理學之中，宇宙本身就是幾何結構、數學實體。

宇宙會擲骰子

如果說宇宙本身就是幾何學的實現，那麼一切存在於宇宙之中的東西，都是機率的實現。

宇宙之中有物質，物質之間會互相發生交互作用，我們稱之為「力」。這裡指的物質包括能量在內，因為愛因斯坦的著名公式「E=mc²」證明質量和能量能夠互相轉換。上世紀初，物理學家發現一切物質都有著一個最小的單位，叫做量子。舉例來說，光的量子是光子、粒子的量子是電子、微中子和夸克。描述這些物質量子交互作用的理論就是量子力學。量子力學能夠描述已知所有自然基本力，除了重力（其原因超出此文章範疇）。

量子力學之所以會令人覺得脫離常理，是因為它說宇宙間一切物理過程都是機率的表現。這裡並不是指一般我們認為是「隨機」的現象，例如擲骰子。理論上，骰子在空中的運動完全遵守牛頓力學甚至相對論：只要我們能夠得知骰子和所有空氣粒子的運動狀態，就能夠計算出擲骰子的結果。這跟計算地球環繞太陽運轉一樣，毫無問題。這些在人類尺度下只不過是「偽隨機」現象，純粹因為我們資訊不足。

量子力學卻說大自然有著真正的隨機。尚且讓我先解釋一下一個常見的誤解：隨機就等於不可預測嗎？牛頓力學或相對論預測的是每個粒子的運動狀態，量子力學並不能夠作出這種預測。然而，我們並非對粒子的量子行為一無所知，畢竟在全知和無知之間還有很廣闊的距離啊。相對於粒子的運動狀態，量子力學預測的是粒子處於各種不同運動狀態的機率。我們能夠以量子力學的數學方程式分毫不差地計算出一個粒子可能處於各狀態的機率，而且這並不代表隨機，就好比六合彩的結果雖是隨機的（這當然是指資訊不足的情況），但我們仍能算出每張彩票的中獎機率（都一樣！）。

「薛丁格的貓」可能是最著名的一個量子力學概念。這是物理學家薛丁格提出的一個思想實驗，把一隻貓放進箱子，裏面有足夠的空氣和食物，還有一個裝有放射性物質和毒氣的裝置，只要這些放射性物質發生衰變就會釋放毒氣毒死箱裏的貓。放射性物質裡的原子遵守量子力學效應，因此我們只能知道這些原子有多少會在某一時間後發生衰變的機率，卻不知道衰變有沒有真的發生。原子處於衰變了和未衰變的重疊量子狀態之中，因此貓也是處於生和死的重疊量子狀態之中。這不是如同擲骰子資訊不足的問題，而是源自於自然定律之中真正的隨機。

這不是太奇怪了嗎？日常我們看到宇宙間的一切事物，不也是由基本粒子構成的嗎？為什麼日常之中我們並沒有觀察到這種奇怪的量子效應呢？這又是因為另外一個數學概念：統計。正如六合彩的機率能被計算，故此有多少人中什麼獎也能用統計方式計算出來；能夠計算任何一個量子物理過程的機率，就意味着我們能夠以統計方式去計算出宏觀尺度下的物理結果。換句話說，一切物理過程都由統計和數學主宰。

科學就是數學嗎？

量子力學和廣義相對論是現代科學的基礎，如何想要理解宇宙，就必須首先理解這兩個理論。然而，要理解量子力學和相對論，就必須使用數學。而且我們在某程度上更可以說，量子力學和相對論似乎表現出「宇宙就是數學」的跡象。

有些科學家會說理解宇宙為何如此運作，比起只是知道宇宙如何運作更重要，這點我是絕對同意的。然而，這並不代表我們不用首先理解宇宙如何運作。他們會這樣說，因為他們已經把那些「為何」背後的「如何」學習得相當透徹。他們達到一個層次、擁有的堅實數學能力讓他們是時候向下一步進發：問為何如何。事實上，每個科學家都知道能夠不用數學就理解的自然定律少之又少；大部分的情況下，人類對自然定律的最終理解就是那堆數式、符號和數字。理解「為何」與知道「如何」同樣重要。

非問宇宙「如何」不可，這代表我們理解宇宙「為何」的嘗試失敗了嗎？非也。能夠利用數學去描述自然定律，還能得到非常不錯的預測，已經是非常厲害的壯舉。如果我們仔細思考，我們甚至會認為這個壯舉厲害得近乎不可思義。例如在2015年探測到的重力波，竟然是愛因斯坦在100年前發表的高度數學化的廣義相對論的預言。又例如在上世紀發展到今天的量子力學，其預測能力只有越來越精準，百多年來無數個實驗測試它都一一通過了。這些科學成就，無不是建立在科學家對「宇宙如何運作」的徹底理解之上。

我們應該謹記，無論我們認為什麼才是科學，如果想要理解宇宙，都必須借助於數學。當我們可以問「為何」的時候，就代表我們已經知道「如何」了。

或許有一天，我們所有人都能夠理解宇宙為何如何不可思議，這是我的願望。

封面圖片：標準模型（Image courtesy of CERN）