光電效應：愛因斯坦的諾貝爾

如果問愛因斯坦最著名的是什麼，相信十之有九會答 E = mc²。這是他在 1905 年推導出來的質能互換公式，是他發現的相對論的一個直接結果。

愛因斯坦的科學之中，最著名的莫過於相對論。他在 1905 年發表狹義相對論，描述慣性時空裡不同參考系之間的關係、結合質量和能量兩個概念；1916 年發表廣義相對論，把萬有引力、加速度、時空結合為一體，徹底推翻牛頓物理學。

einstein_lecture_photo — 愛因斯坦於 1923 年 7 月 11 號在瑞典哥德堡舉行的 Nordic Assembly of Naturalists 會上講他的諾貝爾獎講座。雖然愛因斯坦得到的是 1921 年的諾貝爾獎，可是因為諾貝爾奬委員會認為在 1921 年的提名名單中沒有人能夠得獎，跟據規則該年度之獎項順延至下一年頒發，所以愛因斯坦其實是在 1922 年得到 1921 年的諾貝爾獎。而由於在 1922 年諾貝爾獎頒獎典禮舉行時愛因斯坦正在遠東旅行，直到 1923 年愛因斯坦才在哥德堡講出他的諾貝爾奬講座。順帶一提，愛因斯坦獲頒諾貝爾獎不久之前，他正在香港。Image courtesy of The Nobel Prize

愛因斯坦對物理學的貢獻，絕對足夠好幾座諾貝爾物理獎。然而，愛因斯坦只在 1921 年獲頒過一次諾貝爾物理獎。很多人都以為他的得獎原因必為發現相對論。但原來，他獲獎的原因是解釋了一個我們日常會接觸到，但鮮少留意的現象：光電效應 (photoelectric effect)。

光電效應在高中物理課程裡應有所提及。簡單地說，光電效應就是太陽能電池的原理。光電效應的解釋，涉及一個古老問題：究竟光是什麼？

大家都知道光線的基本特性就是以直線前進和會反射。歷史記載第一個以數學歸納出光線的反射定律的人，就是公元前 3 世紀的古希臘數學家歐幾里德。公元 2 世紀，托勒密亦歸納出光線的折射定律。古希臘人對視覺的本質分為兩派。一派認為眼睛會發射觸手出去，接觸到物件就看得見了（有點毛骨悚然）；另一派認為光線是由細小的微粒所構成，視覺是因為這些微粒進入眼睛。今天我們知道後者是正確的，然而在古希臘時期大部分人都不相信光的微粒理論。

13colour-history-011 — 牛頓進行三棱鏡分光實驗。1874 年由不知名畫家所畫。

17 世紀，牛頓的著名三棱鏡分光實驗，證明了白光是由不同顏色的光組合而成。牛頓認為光的本質是粒子，他試圖以重力解釋光的折射，認為是光粒子穿過不同密度物質時加速而成。19 世紀，拉普拉斯亦相信光是粒子，以牛頓重力理論假設一個連光亦不能逃逸的、質量非常大的星球的存在，其實就是現代科學中的黑洞概念。可是，當拉普拉斯得知光的干涉實驗證明光線是一種波動之後，他就拋棄了他的黑洞理論。其後，愛因斯坦的廣義相對論再次預言黑洞存在，亦已被現代天文觀測證實。

直到 19 世紀，馬克士威導出完整的電磁理論，證明了法拉第認為光線是電磁波的假設正確。1886 年赫茲以實驗證實馬克士威的電磁波動理論、1897 年馬可尼成功進行跨大西洋無線電通訊等，似乎所有證據都支持光線的波動學說。可是，我們從科學史中學習到的，正是大自然不斷顯示給人類的驚奇。

1887 年，赫茲和 Hallwachs 首次觀察到光電效應。他們發現使用可見光或紫外線照射某些物質時，其表面會釋放出陰極射線，即是電子。跟據古典物理學，這是因為電子從光線吸收了足夠能量擺脫物質的吸引力。可是，古典物理學並不能解釋幾個問題：

為何只有超過某數值頻率的光才能把電子從物質釋放出來？
被釋放的電子的能量為何與光線的強度無關，而且有一個上限值？如果電子只是單純地吸收光的能量，那麼光線越亮電子的能量不是應該越高嗎？
為何光線的吸收與電子被釋放之間沒有時間差？電子不是應該吸收了足夠的動能後才能擺脫物質的吸引力嗎？

screen-shot-2016-11-22-at-17-44-09 — 光電效應示意圖。光子被物質中電子吸收，使電子能擺脫物質吸引力而逃逸。Image courtesy of Wolfmankurd/Wikimedia Commons

愛因斯坦在 1905 年發表了論文《Concerning an Heuristic Point of View Toward the Emission and Transformation of Light》使用普朗克的光粒子假設解釋了光電效應。跟據普朗克的理論，光線的能量只由其頻率而定。跟據普朗克公式

E = hν，

其中 E 是光線的能量，ν 是光線的頻率，h 是比例常數，即著名的普朗克常數 (Planck constant)。於是，光線可以被想像為粒子，其能量與光源強度無關。現在我們稱之為光子 (photon)。

普朗克的光子概念能夠解釋上述問題：

由於同一頻率的光子能量固定，假設每個電子每次只能吸收一個光子，那麼只有在光子頻率足夠高（即能量足夠大）時電子才有足夠能量擺脫物質的吸引力。
光線的強度只決定光子的多寡。光線越明亮，光子越多，但光的頻率不會變。由於假設每個電子每次只能吸收一個光子，被釋放的電子的能量就等於光子能扣除擺脫物質所需的能量。假設擺脫物質所需的能量對每個電子都一樣，被釋放的電子的能量就會有上限。
同樣地，假設每個電子每次只能吸收一個光子，如果光子頻率足夠高的話電子就能立即擺脫物質。

我們注意到上述解述中有一個假設，就是每個電子每次只能吸收一個光子。我們不難想像電子能夠連續吸收幾個光子。為什麼不可以呢？原來這與量子力學有關：一個自由的電子的能量可以是任何數值的，但受物質束縛的電子只能擁有某些數值的能量。換句話說，物質中電子的能量是不連續的，我們稱之為能階 (energy level)。受物質束縛下的電子只能從一個能階跳到另一個能階，而且能階之間的能量差都不相同。所以，如果光子的能量不足以供電子一次過跳到自由態（即擺脫物質），光子就不太可能被吸收，因為只有剛好等於兩個能階之間的能量差的光子才會被吸收。就算光子的能量剛好等於兩個能階之間的能量差而被吸收，電子也只會跳到另一能階，而與下一能階的能量差又不同，所以不會再吸收同一頻率的光子。

screen-shot-2016-11-22-at-17-29-08 — 鋅 (Zinc) 元素的光電效應圖解。圖中 4 至 8 x 10¹⁴Hz 是可見光的頻率範圍。斜線與垂直軸交會點 (-4.3 eV) 就是鋅的功函數。Image courtesy of Klaus-Dieter Keller/Wikimedia Commons

愛因斯坦推導出光電效應公式

K_max = hν – φ，

其中 K_max 是被釋放的電子的最大動能，φ 是該物質的功函數 (work function)，即電子擺脫物質所需最小能量。光電效應公式指出被釋放的電子的能量與光子頻率成正比，上圖中的斜線顯示了這一關係。光電效應公式更可用來直接測量普朗克常數；圖中斜線的斜率就是普朗克常數。

愛因斯坦對光電效應的解釋顛覆了馬克士威的電磁波動理論。由於馬克士威的理論有非常多的證據支持，一些科學家在很多年後仍不接受愛因斯坦的解釋。1916 年密立根的實驗證實愛因斯坦的光電效應公式正確無誤，更成為第一個測定普朗克常數的人。在 1921 年愛因斯坦因光電效應獲頒諾貝爾物理獎之後兩年，密立根亦部分因為對光電效應的工作而得到 1923 年諾貝爾物理獎。

愛因斯坦的光電效應論文除了開創太陽能電池的可能性外，更為量子力學奠下基礎。光線同時擁有波動和粒子的特性，叫做波粒二象性。我們在之後的文章討論量子力學時，會再回到這個話題之上。

封面圖片來源：The Caltech Archives