Pi 是永恆 (二)

上回我說亞視永恆。但我錯了，亞視已執粒。不過圓周率 $\pi$ 卻是真的永恆，不會錯。

今次我們來看看，在公元前兩百多年，阿基米德 (Archimedes) 是如何計算 $\pi$ 。阿基米德用的方法叫做窮盡法 (method of exhaustion)，但我喜歡叫它做三文治方法。以下就讓我們試試把 $\pi$ 像夾三文治般夾出來。

首先，想像有一個半徑為 $R$ 的圓形，在圖的內外各畫一個緊貼著的正方形。由下圖中可以看出，外面較大的正方形邊長為 $2R$ 、裡面較小的正方形對角線就是圓形的直徑，長為 $2R$ 。

Screen Shot 2016-05-16 at 20.28.09 — 畫得樣衰，sor9ly sosad。注意 $B = R$ 只有正方形 ( $n = 4$ ) 才成立。

畫得樣衰，sor9ly sosad。注意 $B = R$ 只有正方形 ( $n = 4$ ) 才成立。

我們想要知道圓周，那就可以計算 $\pi = C/(2R)$ = (圓周/直徑) 了。由上圖可知圓周 $C$ 比內正方形週界 $p$ 長、比外正方形週界 $P$ 短。因此

$p \le C \le P$ 。

那麼， $p$ 和 $P$ 分別有多長？在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》文中我們學會了用三角函數去表示三角形邊長之比。看上圖可知 $b = R\sin\theta$ 和 $B = R\tan\theta$ 。在我們上圖中正方形的例子中正方形有 $n = 4$ 條邊，因此 $p = 2n \times b$ 、 $P = 2n \times B$ 、 $\theta = 360/(2n) = 360/8 = 45$ 度。所以我們就有

$2nb \le C \le 2nB$ ，

$2nR\sin[360/(2n)] \le C \le 2nR\tan[360/(2n)]$ ，

$n\sin(180/n) \le C/(2R) \le n\tan(180/n)$ 。

所以，當我們使用 $n = 4$ 的正方形去夾圓形時，就可以知道 $\pi = C/(2R)$ 介乎 $4\sin(45) \approx 2.828$ 和 $4\tan(45) = 4$ 之間。似乎使用正方形去夾並不足夠。我們可以增加邊的數量 $n$ 去逼近 $\pi$ ，如下圖：

想像當 $n$ 越來越大，外內圖形就會越來越像一個圓形。當 $n$ 趨向無限大時，我們就有

$\lim_{n\to\infty} n\sin(180/n) \le C/(2R) \le \lim_{n\to\infty} n\tan(180/n)$ 。

我們嘗試計算 $\lim_{n\to\infty} n\sin(180/n)$ 和 $\lim_{n\to\infty} n\tan(180/n)$ 。把兩式各乘以 (180/180)，就有

$\lim_{n\to\infty} n\sin(180/n) = \lim_{n\to\infty} 180 \times \sin(180/n)/(180/n)$

以及

$\lim_{n\to\infty} n\tan(180/n) = \lim_{n\to\infty} 180 \times \tan(180/n)/(180/n)$ 。

我們可以把 $180/n$ 叫做 $x$ ，所以 $n$ 趨向無限大就即是 $x$ 趨向 0。如果各位有學過極限，就必定學過 $\lim_{x\to 0} \tan(x)/x = 1$ 和 $\lim_{x\to 0} \sin(x)/x = 1$ ，這是考試必考之題 (嗱，我貼緊題喇)。於是我們就有答案

$180 \le C/(2R) \le 180$ ，

即是

$\pi = C/(2R) = 180$ 度，

用角度 (degree) 與孤度 (radian) 的定義，即是 $C/(2R) = \pi$ rad。阿基米德當年用了兩個正 96 邊形去夾，得出 $\pi$ 介乎 3.1408 與 3.1428 之間。今天我們可以輕易地用電腦去算，如下圖般我用兩個正 1024 邊形去夾，得出 $\pi$ 介乎 3.14159 與 3.14160 之間。