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淺談 E=mc^2：愛因斯坦 137 歲誕辰

David Yu6 Comments

每年的 3 月 14 號是 Pi Day 圓周率日，因為 Pi = 3.141592……。

今天同時也是愛因斯坦 137 歲生日。去年 3 月 14 號，我寫了《拋開常識的學者．愛因斯坦》一文去紀念這位物理學家的 136 歲誕辰。文中我介紹了愛因斯坦的前半生平。關於他的成名之作相對論，我後來也在其他文章了作了簡單介紹，包括《你也能懂相對論》淺談狹義相對論的基本數學和《照亮相對論的光（上）、（下）》介紹了相對論與電磁學的關係。

很多讀者都跟我說，希望我寫一篇關於愛因斯坦最著名的方程式 E = mc^2 的文章。在今天愛因斯坦 137 歲誕辰，我們就來看看愛因斯坦在 1905 當年是如何推導出這家傳戶曉的質能轉換公式吧！

任何一本現代物理學或相對論教科書，無論是本科或研究生程度，都必定會講解 E = mc^2 的推導過程，涉及四維向量和微積分的數學技巧。不過，原來愛因斯坦當年的推導並沒有使用這些數學工具，而是用更直接的物理去得出 E = mc^2 這結論。

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我家靜止不動的兩隻喵星人。

想像有一隻喵星人。愛因斯坦本來並非說喵星人，而是一個廣義的物理系統，只不過我選擇喵星人做這個物理系統。這隻喵星人會發光（我們今天不討論生物學）。喵星人在靜止不動的時候（牠們很擅長），就有

總能量 = 喵星人能量 E_0。

然後想像喵星人發光。由於光是能量，所以我們就會有

總能量 = 喵星人發光後的能量 E_1 + 光的能量。

假設喵星人放出的光總能量為 L。現在隨意選擇一個方向叫做 x，如果我們與喵星人相對靜止，就會觀察到一半的光能量 \frac{1}{2}L 沿著 +x 方向擴散開去、另外一半的光能量 \frac{1}{2}L 沿著 -x 方向擴散開去。因此就有

總能量 = 喵星人發光後的能量 E_1 + \frac{1}{2}L + \frac{1}{2}L。

現在，假設我們觀察喵星人發光的時候並非靜止不動，而是沿著與 x 軸的一個夾角 \theta 方向以均速 v 跑。跟據狹義相對論，我們也可以說自己是靜止的，是喵星人在沿著與 -x 軸的一個夾角 \theta 方向以均速 -v 跑。所以我們就有

總能量 = 喵星人能量 H_0。

注意 H_0 不等於 E_0，因為喵星人的運動狀態不同。然後，我們亦見到喵星人發光。我們知道一道波動在不同的波源運動狀態下，其頻率會有所改變，例如我們會聽到救護車的警報聲由高頻變成低頻，這現象叫做都普勒效應 (Doppler effect)。光也是波動的一種（電磁波動），因此也會有都普勒效應。不過由於光以光速行進，聲波的都普勒公式並不適用，我們需要使用相對論都普勒公式：

頻率比 = 能量比 = \frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}。

所以

總能量 = 喵星人發光後的能量 H_1 +\frac{1}{2}L \times \frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + \frac{1}{2}L \times \frac{1-v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}。

由於能量守恆，喵星人發光前後的總能量必須相等，簡化後就有

E_0 = E_1 + L

H_0 = H_1 + \frac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}}。

現在我們來想一想，究竟這兩條公式代表什麼？首先我們會發現 \theta 不見了。這是合理的，因為 \theta 方向是可以隨意選擇的，任一 \theta 都不應該影響最後的物理結論。然後我們能夠看出 H_0 - E_0 = K_0 是喵星人發光前的能量於兩個運動狀態下觀測的差別、 H_1 - E_1 = K_1 是喵星人發光後的能量於兩個運動狀態下觀測的差別。因於喵星人從來沒有做過除發光外的事，這兩個能量差別 K_0 和 K_1 必定是喵星人在兩個運動狀態下被觀測到的動能。

把上述兩式相減，我們就得到

K_0 - K_1 = \frac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - L。

把上式右邊做泰勒展開 (Taylor expansion)，忽略所有 4 次方或更高冪項，就得到近似值

K_0 - K_1 = \frac{1}{2}\frac{L}{c^2}v^2。

這代表什麼呢？如果 K_0 和 K_1 來自動能，其差也必來自動能。相信大家都知道動能的公式是 \frac{1}{2}mv^2（相對論的動能公式作泰勒展開並忽略所有 4 次方或更高冪項後也是 \frac{1}{2}mv^2），因此

\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\frac{L}{c^2}v^2。

化簡後得到

m = \frac{L}{c^2}。

即是發光的能量來自喵星人的質量。除了發光外，考慮任何能量為 E  的物理過程，上述推導過程都完全一樣。因此

E = mc^2。

愛因斯坦，祝你生日快樂。喵。

延伸閱讀：

《拋開常識的學者．愛因斯坦》 – 余海峯

《你也能懂相對論》 – 余海峯

《照亮相對論的光（上）》 – 余海峯

《照亮相對論的光（下）》 – 余海峯

封面圖片：http://www.hetemeel.com/einsteinform.php

6 thoughts on “淺談 E=mc^2：愛因斯坦 137 歲誕辰”

  5. 感恩好文。謝謝!
    文章開頭的 pi 值應該是 3.141592…… 而非 3.141529……。
    文中的 “於由能量守恆，喵星人發光前後的總能量必須相等” 一句，”於由” 應是 “由於”的誤植。
    再次感謝!

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