三角 X 斜率 X 微積分

上回介紹了三角學的基本函數 sine 和 cosine 與圓形的關係。在下回介紹圓周率 $\pi$ 之前，有一項非常重要的結果必須首先介紹。

對於一條任意畫的線，只要它是可以一筆過不斷開地畫出來和沒有尖角的 (嚴謹的數學概念叫連續的和可微分的)，那麼我們就可以定義一個叫做斜率的東西：

換句話說，斜率就是描述該線段相對於橫軸的斜度而已，即是講一道斜坡相對於平地有多斜。從上式定義之中，可見斜率以小數或分數來表示的。日常生活中，通常我們都習慣用角度表示斜率，不過這對我們的討論沒有影響。

數學中一個非常重要的技巧就是微積分 (calculus)。微積分是牛頓 (Isaac Newton) 和萊布尼茲 (Gottfried Leibniz) 在同一時期分別獨自發現的。現在我們用的微積分符號是萊布尼茲的版本。如果沒有微積分，今天我們日常生活中各式各樣便利的現代發明都不可能存在。微積分可說是人類史上最重要的數學發現。

故名思義，微積分就是微分和積分的運算。在我們的討論裡不會用到微積分的運算，大家只需要記住：微分就是計算無限短的線段的斜率的方法。至於積分我們會在以後再講。

在上回圖中，我們知道了 sine 和 cosine 函數的圖形。現在我們問，它們的斜率是多少？換句話說，我們問：

有學習過微分運算的讀者，必定能夠立即說出答案：

上式中我們使用了 $\textrm{d}$ 代替 $\Delta$ ，以表示無限小的改變。這只是數學慣用符號而已，只要我們記得現在所做的一切都是在趨向無限短的線段上做的，那麼兩個符號在概念上就是一樣的。

現在，讓我們來試試不使用微分運算去找出 sine 和 cosine 的斜率吧！首先考慮上圖。圖中有一半徑為 $R$ 的圓形，圓心為 O 點。把 $R$ 從水平逆時針畫出一角度 $\theta$ ，連起 O 點和 A 點。再繼續逆時針畫出一細小角度 $\Delta\theta$ ，連起 O 點和 B 點。所以 A 和 B 都在圓周之上。現在同時由 A 點垂直向上及由 B 點水平向右畫，相交於 C 點。因此角 ACB 就是一個直角。下圖是 A、B、C 點附近的放大。

根據 cosine 的定義 (見上回討論)，我們可以直接看出直線 BC 的長度就是

當 $\Delta\theta$ 趨向無限小的時候，三角形 ABC 的邊 AB 就會趨向圓形的弧 AB。因為圓弧長度等於 $R\Delta\theta$ ，我們就有

現在需要一點平面幾何想像力。由於 $\Delta\theta$ 趨向無限小，角 OAB 就趨向直角。所以我們可以看出角 BAC 等於 $\theta$ 。考慮三角形 ABC，我們就有

最後把 (1) 和 (2) 式相等，就有

上式左邊的就是 cosine 斜率的定義。因此，我們就證明了 $\frac{\textrm{d}\cos x}{\textrm{d}x}=-\sin x$ 。證明 $\frac{\textrm{d}\sin x}{\textrm{d}x}=\cos x$ 的方法亦一樣，只需要重複上述步驟找出 AC 的長度就可以了，有興趣的讀者可以自行證明。