畢氏定理 X 圓 X 三角學

大家知道畢氏定理、圓、三角學這三樣東西有著密切的關係嗎?

首先,我們來考慮一個直角三角形:

Screen Shot 2015-06-23 at 15.09.10

[圖一]

根據前文討論過的畢氏定理,我們就有 a2 + b2 = c2

現在來考慮一個圓形。我們可以如何定義一個圓形呢?

「指定一點叫做圓心 O ,向任一方向伸延一長度 R,然後將這長度 R 繞 O 轉一圈,那麼 R 的頂點畫出來的形狀就定義為『圓』,並且 R 稱為這圓的半徑。」

好了,我們現在有了三角函數和圓的定義,就來看看它們之間有什麼關係吧!首先,我們把 O 放在二維平面上,並使 O 與 (x, y) = (0, 0) 重疊。我們問,一個半徑為 R 的圓形,如何以 (x, y) 座標表達呢?看看下圖,我們在圓周上隨意選一點 (x, y) = (a, b),並與 O 點連接,因此 (x, y) = (a, b) 和 O 之間的長度就是半徑 R。

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[圖二]

然後在 (x, y) = (a, b) 點垂直於橫軸畫一直線,就得到了一個直角三角形。根據畢氏定理,我們就有 a2 + b2 = R2。而由於 (a, b) 可以是圓周上的任何一點 (x, y),所以我們就得到了圓形的數學表達方程:

Screen Shot 2015-06-23 at 15.09.45

接著,我們來談談三角學。三角學,簡單地說,當然就是研究三角形的學問了。而三角學的基本,大家都知道就是 sine、cosine 和 tangent 三個三角函數 (中文分別是正弦、餘弦和正切)。現在定義 sine、cosine 和 tangent 為圖一之中直角三角形裡夾角 θ 的函數:

sin θ = a/c

cos θ = b/c

tan θ = a/b

即是,其實 sin θ 就是對邊 a 與斜邊 c 之比、cos θ 就是底邊 b 與斜邊 c 之比、tan θ 就是對邊 a 與底邊 b 之比。舉一個例子,如果我們有一個圓,把定的半徑 R 設為 1 (設為什麼數字也沒有關係,不過 R = 1 比較方便下面的解釋而已),那麼根據 sine 和 cosine 的定義,b 就直接等於 sin θ、a 就直接等於 cos θ 了。換句話說,可以想像 sine 和 cosine 都是跟隨著圓周上的一點 (x, y) = (cos θ, sin θ) 在逆時針公轉!這樣的話,我們就得到了 sine 和 cosine 的函數形狀了:

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[圖三]

最後,我們再從畢氏定理出發,就得到下面的三角函數與圓形的關係:

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相信心水清的讀者,看到這裡已經猜到我的陰謀了:現在我們已經有了足夠的工具,下回我們就開始討論期待已久的圓周率了!

延伸閱讀:

加菲證明畢氏定理》- 余海峯

By David Yu

David Yu is the father of Simba and an Astrophysicist. He obtained his PhD in Astrophysics from the Max Planck Institute of Extraterrestrial Physics, Germany. He was formerly a postdoc at the KTH Royal Institute of Technology, Sweden, and is currently a lecturer at the University of Hong Kong. He served as the host of the RTHK TV31 programme Science Night, the Depute Editor-in-Chief of the Taiwanese Science Magazine Physics Bimonthly, and the Science Consultant of Stand News. The books he authored include Dr David’s 21 Mysteries of The Universe (2021), Space – A Down-to-Earth Astrophysicist (2021), Time – A Spacetime Journey of Astronomy and Physics (2019), and Secrets from the Stars (2017).

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