科學數據如何畫靚啲？

科學家在寫論文的時候，除了文字解釋外，也需要用圖表去表達數據。今次我想介紹的是科學家很常用的一種數據表達方式：對數 (logarithm)。

我們在中學都會學過對數的數學運算。根據我一位數學家朋友所講，簡單來說，對數「就是用加法來做乘法」：

[在本篇文章之中，所有對數的底數 (base) 都是 10，當然我們的討論同樣適用於其他底數]

在日常生活中，我們可能沒有什麼機會用到對數運算。不過科學家卻是非常喜歡用的呢！為什麼呢？

很多自然定律都有一個特徵，就是它們的數學表達式，都是遵從冪定律 (power law) 的。例如地震強度、萬有引力和電磁力的強度、太陽內部的核子反應過程速率、行星運動軌跡、大家比較熟悉的經濟學裡的 80 – 20 定律 (長尾理論)、我在《科研解碼：淺談伽瑪射線暴》中介紹過的電子同步幅射光譜等等，都遵守冪定律。

可是冪定律又跟對數有什麼關係呢？其實在數學上並沒有特別關係，對數只是一種運算方法。不過在表達數據的時候，例如在用圖表去把數據畫出來的時間，如果不用對數去表達冪定律，就可能不太方便了。例如下圖是電子同步幅射光譜：

在上圖，我們很容易就可以看出同步軸射光譜的特徵。留意圖中橫軸和縱軸，我們不是 1, 2, 3, 4… 即線性 (linear) 地去數，而是 1, 10, 100, 1000… 地去數。換句話說，我們用了對數方式去表達橫軸和縱軸，因為 log 1 = 0, log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3… 如此類推。所以其實在橫軸上，越向右邊的數字之間的「密度」就越高；同樣地在縱軸上，越向上面的數字之間的「密度」也越高。即是當我們使用對數去表達圖表的時候，越大的數字的貢獻會被「濃縮」，反之越小的數字的貢獻就會被「強調」。

我們會問，為什麼要這樣做啊？因為大自然的運作方式，很多時候都是冪定律。冪定律意味著在分析數據的時候，我們需要同時分析「很大」和「很小」的數字。但是，人類的腦袋卻比較習慣分析線性的資料，即是之間分別不是太大的數字。

例如，我們比較容易感受 1, 2, 3, 4… 去到不太大的數字之間的分別，例如我能夠感受 1 蚊和 100 蚊之間的分別 (很重要的啊，我以前可是要儲很久才買到一部 1:144 高達)。可是如果我問「1 萬和 1 千億之間的分別」或者「 1 仙和 1000 蚊之間的分別」時，我們對這兩個數字之間的分別的感受就沒有 1 蚊和 100 蚊之間的分別那麼大了。

其實不用講這麼多，我只要把上圖的橫軸和縱軸由對數改成熟悉的線性，大家就會明白了：