你也能懂量子力學 

好吧,其實我也是標題黨。關於量子力學,費曼曾經說過一句經典的描述:

I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.

縱使如此,我仍然嘗試簡單介紹一下量子力學吧。

在 1905 年,愛因斯坦的奇蹟年,他寫下了一篇以後會得到諾貝爾獎的論文。這篇論文解釋的是光電效應,即是太陽能電池的原理。光電效應的解釋,說明了光除了可以被看成是一種波動外,同時也可以被看成是一種粒子,這就是所謂的光的波粒二象性 (wave-particle duality)。

這個波粒二象性就是量子力學的核心。量子力學說的是,光和物質一樣,都具有這種難以想象的波粒二象性。我們會問,我們如何知道一個粒子既是粒子、又是波動呢?

相信大家都聽過所謂「薛丁格的貓」思想實驗。沒錯,又是這個薛丁格。除了這個不人道的思想實驗外 (放心,這只是個思想實驗,以我所知,後來沒有任何喵星人死於這實驗),他提出了一條著名的公式,能夠描述宇宙間所有粒子的運動,現在被稱為薛丁格方程 (Schrödinger equation):

Screen Shot 2015-06-05 at 16.08.26

大家不要被這些數學符號嚇怕,我只是想指出這條薛丁格方程,其實就是一條波動方程 (參考《光的祕密》第 (13) 式)!但薛丁格方程的特別之處,就是符合它的方程解,其能量都是量子化 (quantized) 了的;換句話說,薛丁格方程說,宇宙間任何一個系統之中的粒子的能量,都有一個最小的單位。就好像抽卡機,最小的單位是一蚊,然後是兩蚊、三蚊…… 你永遠無法抽價值兩個半的閃卡。

可是我們會問,這樣有什麼好稀奇的?讓我用電子來做個說明 (注意這個說明對其他基本粒子亦同樣適用)。

我們來想象一個電子,它像一個非常非常細小的球體。物理學家發現,這個球體的其中一個特性,是它會不停地自轉,我們稱之為自旋 (spin)。而量子力學告訴我們,電子的自旋是量子化了的,要不是向上自旋 (spin up) 就是向下自旋 (spin down),如下圖:

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這兩個狀態,在數學上符合薛丁格方程,我們叫它們做電子的兩個量子態。可是問題來了:物理學家發現,除了向上和向下外,一些與違反常識的量子態,同樣符合薛丁格方程!例如「(向上 + 向下) 除以開方 2」和「(向上 – 向下) 除以開方 2」就是另外一組符合薛丁格方程的解!換句話說,電子能夠同時向上和向下旋轉!

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別問我這即是什麼意思,我也不知道,世界上亦沒有人知道。在量子力學所描述的微小尺度裡的行為,在我們日常生活的宏觀尺度根本找不到任何相似的現象,所以我們無法想像一個同時向上和向下旋轉的球體,也是非常合理的事。

哪為什麼物理學家一直以來都未有觀察到一個同時向上和向下旋轉的電子呢?這是因為量子力學的另一個古怪特性 (是的,量子力學古怪的地方多到數不完……),就是當我們未觀察這個電子之前,它可以是向上、向下、或同時向上向下。可是,當我們進行實驗,實實在在地觀察這個電子之後,我們要不是發現它是向上自旋、就是發現它是向下自旋的。如果我們計算向上和向下自旋的機率,會發現是 50% 向上、 50% 向下。即是如果我們觀察很多個電子,我們會發現一半的電子是向上自旋、另外一半是向下自旋,無論這個電子在被觀察之前是向上、向下、還是同時向上向下,都一樣。

讓我們來總結一下目前的討論:

  1. 觀察之前,如果電子的自旋量子態是「向上」和「向下」的話,那麼在觀察之後,我們會發現有 50% 機會向上、 50% 向下;
  2. 觀察之前,如果電子的自旋量子態是「(向上 + 向下) 除以開方 2」和「(向上 – 向下) 除以開方 2」的話,那麼在觀察之後,我們會發現有 50% 機會向上、 50% 向下。

WTF,這不是跟沒有說過話沒有分別嗎???我們會問,既然做這個實驗不能分辨到底是 case 1. 還是 case 2.,根據科學精神,我們應該選擇比較簡單的那個,即是 case 1. 吧!

沒錯,如果所有實驗都不能分辨 case 1. 和 case 2. 的話,我們應該說 case 1. 比較簡單,所以才是正確的。最後,就讓我介紹另一個實驗,這個實驗說明了為什麼 case 1. 和 case 2. 都是正確的。

首先想像有一道牆,牆上有兩個窄身的狹縫,但是比網球的直徑闊。如果我們用一部網球發球機,向著這面牆發射很多網球,請問在牆後面的什麼方向會發現最多網球呢?我們會立即知道,因為每個網球每次只能穿過一個狹縫,所以在牆後面正對著這兩個狹縫的方向會發現最多網球,如下圖:

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然後我們把這道牆放入水中,把網球發球機換成一個在水面上下運動的裝置,因此就會在水面製造出波動。我們知道當波動穿過牆上的狹縫,就會一分為二變成兩個波動源。最後在牆後面放很多能夠探測波動幅度的儀器,我們就會發現如下圖的所謂干涉現象 (inferference),因為兩個波會互相疊加、也會互相抵消:

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現在我們來想像,我們今次發射的不是網球,而是電子,而牆上的窄身狹縫,大小只是能夠讓細小的基本粒子通過。在牆後面我們放了很多電子感應器。現在我們再問同樣的問題:究竟在什麼方向的電子感應器會感應到最多的電子呢?直覺上我們會認為答案與上述的網球實驗一樣吧!但我們發現,結果卻是如下圖般的,電子竟然會在感應器上留下只有波動才會有的干涉圖案!

Double-slit_experiment_results_Tanamura_four

[上圖由 b > c > d > e 是向著雙狹縫發射越來越來電子的結果,可以清晰的看到干涉現象。更奇異的是,實驗中每次只發射一個電子,所以就證明了電子會同時穿過兩個狹縫,然後自己和自己進行干涉。圖片來源:en.wikipedia.org/wiki/Double-slit_experiment]

這個實驗就是著名的電子雙狹縫實驗 (double-slit experiment):這個實驗顯示了電子會像波動一樣,互相干涉、疊加 、抵消!更甚的是,就算我們每次只發射一個電子,我們也會發現相同的干涉圖案!即是說,電子竟然會同時穿過兩個狹縫,然後自己和自己進行干涉現象!!!

上述的結果是當我們不知道電子是從哪一個狹縫通過的時候,即是沒有觀察電子是從哪一個狹縫通過的時候,電子就會同時從兩個狹縫通過。可是如果我們在兩個狹縫上安裝感應器,我們就可以知道電子究竟是從哪一個狹縫通過了。如果兩個感應器同時響起,即是同時探測到同一個電子,就等於我們有方法去觀察上述的「同時存在的兩個量子態」了。

可是,大自然不允許我們這樣做。物理學家發現,如果我們在兩個狹縫上安裝感應器,每次發射一個電子的時候,永遠只有一個感應器會響起。更不可思義的是,原本在上一個實驗裡出現的電子自己干涉自己的圖案,現在卻消失了,剩下的是好像網球實驗中的圖案!這個實驗漂亮地顯示了量子力學的核心:不同的量子態在被觀察前是同時存在的!

我們要注意一點:並非好像擲毫那樣,在硬幣未落地之前正反兩面都是確定的,只是我們不知道哪一面最後會向上而已;如果我們知道擲毫的力度、把空氣阻力和重力等等所有因素計算在內,理論上我們是可以預測擲毫的結果的。而量子力學的精髓就在於,我們永遠無法得知在觀察之前的電子究竟通過了哪一個狹縫、或究竟它是向上或向下自旋;其原因不是資料不足,而是電子是確確實實地同時通過兩個狹縫、確確實實地同時向上和向下自旋的!

最後,這是費曼於 1964 年在 Cornell University 的講座 “The Character of Physical Law” 中的第六講 “Probability and uncertainty – the quantum mechanical view of nature”,他漂亮地講解了這個電子雙狹縫實驗,非常值得一看:

封面圖片來源:richard-feynman.net

By David Yu

David Yu is the father of Simba and an Astrophysicist. He obtained his PhD in Astrophysics from the Max Planck Institute of Extraterrestrial Physics, Germany. He was formerly a postdoc at the KTH Royal Institute of Technology, Sweden, and is currently a lecturer at the University of Hong Kong. He served as the host of the RTHK TV31 programme Science Night, the Depute Editor-in-Chief of the Taiwanese Science Magazine Physics Bimonthly, and the Science Consultant of Stand News. The books he authored include Dr David’s 21 Mysteries of The Universe (2021), Space – A Down-to-Earth Astrophysicist (2021), Time – A Spacetime Journey of Astronomy and Physics (2019), and Secrets from the Stars (2017).

35 comments

  1. “如果我們在兩個狹縫上安裝感應器,每次發射一個電子的時候,永遠只有一個感應器會響起。更不可思義的是,原本在上一個實驗裡出現的電子自己干涉自己的圖案,現在卻消失了,剩下的是好像網球實驗中的圖案!”

    請問是否有這個實驗結果的圖可以看?在網路上找了一會兒可能不得其法,總沒有看到干涉圖以外的圖。請提示,感謝。

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  2. 你好,請問如果開三個狹縫,干涉現象是否有可觀察出一個電子經過三個狹縫?

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  3. 你好,雖然你盡量用簡單的方式讓人理解物理,但若不是本科系的話還是好深澳的,看你的 Blog 有體認一些東西,很感謝你的分享。另外請問一下,有人說在外太空實際上是一片漆黑,看不到滿天星,這是真的嗎? 原因呢? 謝謝。

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  4. 你好,剛好在研究周易、太極時有人提起了量子力學,電子上下同時旋轉這個概念我比較能夠理解,因為”太極(你所知道的那個黑白配的圖)就是說明由氣變質的過程是陰在上陽在下旋轉的立体球(要把太極的平面圖想像成立体的球,像正負極),陰往下陽往上而其能量在對沖時不會消失因為會一個(陰)往斜下旋走,另一個(陽)往上旋走因而形成不息的旋轉狀態,所以是能同時往上和往下旋,你可以想像量子的負極在上正極在下的互相排斥因而產生的旋轉(2塊正負極的磁石放在一起是以旋轉式方向彈開而不是直線彈開)。不過我理科能力比較差,不確定在物理有否泛駁,只供參考

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    1. 你好。很遺憾,這是錯誤的。量力力學的「上」和「下」並非真的指方向,而電子的自旋亦與我們熟悉的旋轉非常不同。物理學家使用「自旋」一詞只是一個比喻,電子不是真的在旋轉,而是電子擁有一種特性,其物理結果相似於旋轉,因而得名。而且文中所說的量子力學全部都是定量的結果,而非只是定性描述,意即全部都是有數學計算基礎,很遺憾與周易、太極之類的概念一點沒有關係。有興趣的可以參考喬治亞州大學物理及天文學系的介紹:
      http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/spin.html

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      1. Spin is aroused from Pioncare group (rotation, boost and translational symmetry), and we can derive Dirac equation from it rather than a brilliant guess from Klein Gordan eqt. There are not restriction of the particles to be spin half because the measurable quantities in quantum mechanics are all bilinear in ψ and its complex conjugate ψ†, such as the probability density ψ†ψ. Thus, it is physically acceptable for ψ to flip sign under a rotation through 2π (group theory for physicists in a nutshell, A. Zee).

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  5. 你好, 本人物理底子很弱, 但讀過你幾篇的文章令我對物理產生很大興趣。本人參悟過一些哲學悖論如方的圓, 裝滿水的空杯等這都跟邏輯相違背的。電子同時上旋和下旋跟這些悖論很相似, 無論人用經驗或理性也很難理解, 但薛丁格方程在數學上卻如何辦到?同時上旋和下旋為什麼不會互相抵消? 另外一粒電子同時通過兩條縫也同樣出現悖論這是否與磁場有關?煩請不吝賜正。

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    1. 你好!多謝你的問題,很高興我的文章令你對物理產生興趣。

      其實上旋和下旋的「旋」字只是一個比喻,薛丁格方程只說量子態是可以重疊的。物理學家把自旋叫做「旋」只是因為自旋的一些物理特性與我們日常經驗的旋轉有一點相似,粒子並非真的在旋轉。你可以想像成是粒子除「質量」、「電荷」以外第三種的特性:好像 online game 的角色有各種「屬性」。(當然,這也是一個比喻)

      其實,物理學家已經發現第四、第五種奇異的屬性,例如你可能會聽過 strangeness「奇異性」、color「色荷」等等。這些都是無法用日常經驗的特性去做比較的。這些都是數學理論中的預測,而其結果都被實驗所驗證。所以,只能說很遺憾,物理學家在起名字方面似乎沒有太高天份,才引起混淆。

      因此,「同時上下旋」與「同時通過兩條縫」並非悖論,就如 (又是比喻) 兩個水波可以同時互相穿越、也可以同時通過兩條縫。因為量子力學方程式說:粒子是波、也是粒子。所以,其實我們日常經驗認識的粒子,只是一個近似。

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  6. 你可以同時是好與壞人的組合, 但你的好行為必須與環境互動後才出現被認知。但你的肉體豈可佔有兩處空間?

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    1. 量子力學就是向我们說明,就是因为“ 你的肉體同時佔有兩處空間,所以你才可以同時是好與壞人的組合,但你的行為必須與環境互動後才出現被認知。”。

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  7. 如果单独发射一个电子或其他粒子是不会产生干涉的。只是连续发射而且越来越多时才产生干涉。那么怎么能确定是一个电子自己干涉自己还是两个不同的电子互相干涉呢?

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    1. 你好!在文中最後一張圖中,實驗已經證明每次只讓一個電子通過的話也會出現干涉圖案。實驗是在探測到一個電子之後,才發射下一個電子,因此不存在電子互相干涉的可能性。

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  8. 你好,我不是讀這科的所以無論如何都感似懂不懂… 不過還是感謝解説。
    想問一下,文中提到的“每次發射一個電子”的實驗,是説即使不受到其他電子的影響但最終分佈還是呈現波動狀。我想問實驗是在真空狀態下進行的嗎?電子不會收到其他力場(?)例如磁場…或引力… 的影響而分佈成這個樣子嗎?
    對不起可能我的問題根本九唔搭八,但希望我至少沒有理解錯基本的東西 ><

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  9. 您好

    小弟看到這篇文章後想到一個問題,忍不住還是上來請教:
    不知道若是觀測者在「看」通過雙縫的電子時眼睛改是「閉」著,但是心理卻想著電子通過雙縫時應該只有兩條直線時,那是否會產生干涉現象?

    請問有沒有這樣的實驗?

    我的推理和假設是:「也許」是意識的電脈衝透過眼球產生放電反應,這樣的量子資訊影響了實驗中電子呈現的狀態?

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  10. 謝謝您!受教了^^

    小弟會請教您這種奇怪的問題,是因為先前看到一篇『奇怪的實驗』
    描述透過人的意識,去影響了生物的電波
    分享給您 : 也許您看過,呵呵,我個人是覺得很神奇,如果實驗本身或結果並無造假的話…
    連結網址如下:
    https://aomiwang.com/articles/201706/%E6%A4%8D%E7%89%A9%E4%B9%9F%E6%9C%89%E6%80%9D%E7%B6%AD%EF%BC%81%E4%B8%80%E4%BB%BD%E8%A2%AB%E9%9A%B1%E7%9E%9E%E5%A4%9A%E5%B9%B4%E7%9A%84%E7%A7%91%E5%AD%B8%E5%AF%A6%E9%A9%97%E5%A0%B1%E5%91%8A%E5%A4%A7%E6%8F%AD%E7%A7%98%EF%BC%81.html

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  11. 您好,我最近也在看費曼講義,對於自旋方向還是不太清楚,想請教他在6-4繞y軸旋轉180與90度,一開始提到把SGz裝置延著y軸轉180度,場梯度與場方向都上下顛倒,對於磁矩在某方向的粒子來說,力並沒有改變。這是為何呢?我以為力也會上下顛倒耶…

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  12. 你好! 想問下如果在兩個狹縫上安裝了感應器,但觀察者不知到裝上了感應器結果會是以波還是粒子形式出現?

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  13. 不好意思,有一些蠢問題困擾了我好久,希望您能為我解答!感恩啊
    1 上面雙縫實驗四張黑底白點的圖,白點是什麼?電子嗎?
    2 承上,如果白點是指電子,那麼一道雷射光裡到底有幾粒電子?
    3 氫原子只有一個電子是什麼意思?指的是如果我用顯微鏡看氫原子,上面白點只有一粒嗎?
    4 圖中的白點是指都是同一粒電子,還是很多不同的電子?
    5 我暈了,因為我真的很想理解清楚一件事:您覺得一朵雲裡的「每一滴水」是「同一滴水」嗎?(我會這樣問是因為緣於電子雲的想像)
    6 量子跟電子有什麼關係?電子量子化是指一粒白點變成N粒白點嗎?
    7 我聽說一粒電子可以同時出現在不同位置到底是什麼鬼?是否像問題5的概念?
    8 既然世界上沒有一片雪花是一樣的,所以應該沒有一滴水是一樣的,更沒有一粒電子是一樣的?(我只是用推理方式導出,因為我又暈了)⋯

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    1. 您好!抱歉遲了回覆。
      1. 白點是電子撞擊熒幕的位置。
      2. 在這個實驗裡,每次只發射出一個電子。
      3. 每個元素的原子中的電子數量都不同。氫元素的原子中只有一個電子。注意上述實驗中的電子是自由電子,並沒有被任何原子束縛。
      4. 每個白點都是不同的電子造成的。
      5. 雖然每粒基本粒子完全一樣,但它們並不是同一個粒子來的。真的有很多滴水份子在雲裡。
      6. 量子指「能量的最小單位」,並非粒子。電子是一種基本粒子。
      7. 因為量子力學的對粒子位置的描述並不像古典力學般是個定值,反而量子力學給予空間不同位置一個機率。一粒電子可以同時出現在不同位置,就是因為它出現在不同位置的機率不是零。
      8. 這類比不正確,因為雪花不是基本粒子。所有基本粒子都是一樣的,但由基本粒子組成的物件裡的粒子排列方式卻未必一樣。

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  14. 您好,幾年前的粒子加速的發現讓我對電子還有光子產生了興趣,最近一年無意間讀到了關於一些量子力學的文章,又剛好遇見您的文章,想請教您一下。
    目前大多數微觀世界中現象都能利用量子力學來解釋其現象,也似乎解釋了電子在同時間不同觀測器,測到電子的位置不同(同一個電子同時出現在不同位置),是否光也有這個特性,還是有沒有什麼關於光的類似觀測實驗?

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