人人都是兩米級巨人

我不打算討論立體機動裝置的物理,也不想用 E = mc^2 去討論巨人巨大化時的質能轉換後果等等。當然,漫畫之中也沒有兩米級這麼小的「巨人」…… 今次我想講的是一個很基本卻很多人無論在科學裡或日常生活中都會遇到、但常常被忽略的問題:有效小數位 (significant figures)。

如果明白了有效小數位的概念,其實我們很多人都可以是身高兩米的兩米級巨人!

我的身高是 175 cm。這是什麼意思?意思就是,我站在地上,與一把垂直於地面的尺在相對靜止的狀態下,從我頭頂最高點水平看過去會大概與 175 cm 這個刻度重疊。可是,你可能會問,為什麼我會說只是「大概 175 cm」,而不說是 175 .1 cm 或 174.9 cm?

問得好。這是因為我的尺最小只能測量 1 cm 的長度。換句話說,我的尺的最小的一格是 1 cm。如果你拿一把有更小的刻度的尺,我便可以告訴你,我究竟是 175.1 cm 還是 174.9 cm 了。

看到這裡,你可能會問:「這不是廢話嗎?」

廢不廢,就關係於我們有沒有把有效小數位了考慮在內了。當我說我的尺的最小的一格是 1 cm,代表我們選擇了 1 cm (即 0.01 m) 做有效小數位。如果現在我說,我不想用 1 cm 做有效小數位,我想用 m (米) 去做有效小數位,結果會如何?哇哇哇!神奇地,我就會把我的身高 175 cm = 1.75 m 做四捨五入,得到 2 m,即是數學上,我可以說我身高兩米啊!

你可能會覺得我取巧,但在數學和科學上這是完全成立、沒有問題的。但很明顯,如果我告訴你,我是 175 cm 高或者是 2 m 高,感覺有很明顯的差別吧?曾經聽過有女生說,她選擇男朋友的條件之一是要男方超過 180 cm。所以這真的是個很嚴肅的問題啊!但我們希望知道,如果科學上、數學上都沒有出錯,那問題究竟出在哪裡呢?

問題就在於上述量度身高的例子中,比較 175 cm 和 2 m 這兩個數字是不公平的比較,因為有效小數位不同。有人可能會注意到,我是寫 2 m 而沒有寫 2.0 m 或者 2.00 m。

這不是一樣的嗎?只是有沒有把「0」寫出來吧?

Screen Shot 2015-04-19 at 21.05.38

不是,這是不一樣的。如果我說我是 2.00 m 高,就代表我用了一把最小一格是 1 cm (即 0.01 m) 的尺去量度我的身高,即是說我可以告訴你我身高 200 cm。同理,如果我說我是 2.0 m 高,代表我的尺最小一格是 10 cm (即 0.1 m),但我不可以說我的身高是 200 cm!所以,當我說我的身高是 2 m 的時候,我也不可以說我的身高是 200 cm。換句話說,當我們做了四捨五入之後,再討論四捨五入了的小數位是沒有意義的。以我的身高例子來講,就是當我說我身高 2 m 之後,就再也沒有討論 cm 的意義了

這就是四捨五入後一定要緊記、但很多人卻忽略了的東西:永遠都要知道、記住究竟有效小數位是多少,否則就會出現上述好像我的身高的矛盾了。所以,做四捨五入後,我們不會真的增高變成兩米級巨人,增加了的只是我們對自己身高的不確定性罷了

再簡單舉另一個例子:如果測驗的分數不是準確至 1 分而是準確至 100 分,那所有人要不就是 100 分或 0 分了,因為這例子下我們會把 50 分做四捨五入的分水嶺。想必你也會覺得很不合理、很不公平吧?

所以,有效小數位其實是非常非常重要的一個概念,在生活之中應該多加注意。舉一個生活上的例子:很多食物包裝上都會寫著 0 % 脂肪。可是,比如這是一件肉類食品或者牛奶之類,你覺得有可能達到 0 % 脂肪嗎?如果真的是 0% 脂肪,為什麼不乾脆食其他食物?

我們當然知道,是食物製造商做了四捨五入。可是,經過剛才的討論,大家以後就會明白,當我們看到「0 % 脂肪」,實際上有可能是 0.01 % 脂肪、0.1 % 脂肪,假設「0 % 脂肪」的有效小數位是十位的話,甚至有可能是 4.9999999 % 脂肪!當然,他們一定不會把真正的有效小數位寫上去,這也是為什麼他們愛用百份比 (%) 的原因:這樣這個數字看起來就會大了兩個位,很容易就可以把百分比寫成零!否則如果他們寫的是 0.0 或 0.00 的話,消費者就會意識到這不是真正的「0 % 脂肪」了。

誰說,學校教的數學在日常生活中都沒有用?

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Categorized as 科普

By David Yu

David Yu is the father of Simba and an Astrophysicist. He obtained his PhD in Astrophysics from the Max Planck Institute of Extraterrestrial Physics, Germany. He was formerly a postdoc at the KTH Royal Institute of Technology, Sweden, and is currently a lecturer at the University of Hong Kong. He served as the host of the RTHK TV31 programme Science Night, the Depute Editor-in-Chief of the Taiwanese Science Magazine Physics Bimonthly, and the Science Consultant of Stand News. The books he authored include Dr David’s 21 Mysteries of The Universe (2021), Space – A Down-to-Earth Astrophysicist (2021), Time – A Spacetime Journey of Astronomy and Physics (2019), and Secrets from the Stars (2017).

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