照亮相對論的光 (下)

這是相對論與電磁學系列的暫時最後一篇文章。經過《你也能懂相對論》、《光的祕密》和《照亮相對論的光 (上) 》的討論，最後我們終於可以來討論電磁學與相對論的關係了。我現在要告訴你：「磁」只是「電」的相對論結果！

物理學家總是喜歡簡化事物。我們發現，只要用電現象放在相對論的時空中，自然就會得到磁現象了！這是多麼的深刻，又是多麼的美麗！

在入正題之前，我想各位明白一個道理：不懂數學絕對沒有問題！不懂一個學科絕對不是你的錯。「學問」裡最重要的除了「學習」其實就是「發問」。不論你是什麼身分，不懂就老實的說不懂，然後去學習和發問。我希望我的文章能夠刺激各位讀者去思考，這就是學問的精神，也是科學精神。

有一次，一個記者問愛因斯坦聲音的速度是多少，愛因斯坦回答說：「這些能夠在書中找到的資料並不存在於我的腦海之中。…… 學校教育的價值並非去學習很多事實，而是去訓練腦袋如何思考。」

“[I do not] carry such information in my mind since it is readily available in books. …The value of a college education is not the learning of many facts but the training of the mind to think.”

幫助數學背景不高的讀者理解科學，正正就是我寫科普的目的。希望所有人都能夠感受到自然定律的深刻和美麗，和抽象的數學在演繹科學概念時的重要性。比起理解數學推導過程更重要的，是了解科學背後的求真精神。

若讀者沒有中學物理背景，我現在嘗試用文字解釋下面的數學：如果一條電線內有電流 I 在流動，就會產生一個磁場，其大小為

 (1)

其中 r 為測量磁場的點與電線中心的距離。

在下面的數學，我將會假設我們不知道世界上有磁場這個東西，然後證明當使用相對論的洛倫茲公式在電力身上時，會發現有一個並非電力的、額外的力存在。神奇的是，我們會看到這個額外的力的大小會剛好等於 (1)，於是就證明了「磁」只是「電」的相對論結果！

在做 [沉悶的……] 數學證明之前，先來讓我們重溫電磁學的歷史發展吧！

在 17 世紀，因為爆發疫情，大學休假，所以牛頓暫時回到家鄉。他在家鄉的這段時間裡，獨自完成非常多的科學研究，堪稱牛頓的奇蹟年。除了他那個家傳戶曉的蘋果樹故事外，他更發現了運動三定律、發明了微積分、從重力方程推導出開普勒的行星軌道方程，當然還有他那著名的稜境分光實驗。

蘋果樹的故事很可能是假的、而且微積分的功勞也不能全歸於他：萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 在同一時間獨立地發明了微積分，而且我們現在使用的微積分符號都是萊布尼茲的版本。但牛頓對大自然的深刻洞見是千真萬確的，尤其在最多人忽略的光學實驗之中，對後世的影響絕對不比發現萬有引力為少。

光，是人類接觸、感受、領悟自然的最直接途徑。牛頓發現了白光與色彩的關係，打開了日後光學研究的大門；當時的折射式望遠鏡因為鏡片打磨困難，很難加大倍率，他發明了牛頓式反射望遠鏡，這一設計沿用至今；他發明的微積分高等應用技巧「變分法」在以後被其他科學家用來解釋光的折射現象。所以，光的科學故事可以說是由牛頓開始的。

故事跳到 19 世紀，轉眼百多年。人類對光學、電學以及磁學的研究已經非常多年，研究數據也非常豐富。可是一直要到奧斯特 (Hans Christian Ørsted) 意外地發現電流可以影響指南針，人類才首次發現電與磁是有關係的。大自然其實一直都在指示我們，可是很多時候我們卻視而不見。

奧斯特並沒有對這些發現視而不見。他雖然沒有用數學去描述這些現象，但他知道電流磁效應是一個非常重要的科學發現，他對此做了很多實驗，為科學界提供了非常豐厚的實驗數據。為了紀念他證明電流會產生磁場，在天文界使用的 CGS 單位之中的磁感應單位 oersted 就是以他的名字命名。

用數學去精確描述奧斯特發現的人，是安培 (André-Marie Ampère)。現在，我們可以用安培定律準確地描述由電流產生的磁場，其實上面的第 (1) 式就是來自安培定律，不過我把證明留給有興趣的讀者。

奧斯特的發現與安培的工作很大程度幫助了人類理解「能量」這一概念。在當時的科學界，能量這個概念仍然相當模糊。很多科學家認為世上有很多不同種類的能量，但奧斯特與安培的研究結果卻顯示電能是可以轉化成磁能的，因此促進了能量概念的統一。其中最重要的、亦最廣為人知的能量統一研究，當然是愛因斯坦的 E=mc^2 了。而因為他的研究貢獻，安培的名字也永垂千古，人類現在以他的名字命名電流的單位 ampere。

法拉第是我最尊敬的科學家之一。他對科學的求真態度和對人的謙虛，都非常值得我們每一個人去學習。19 世紀的英國是個階級分明的社會。法拉第因為家境貧窮，沒有錢讀書，要去書店做書本釘裝學徒為生和養家。可是他並沒有因此氣餒，因為這樣反而令他有機會接觸不同的書籍，所以他每天一邊釘裝書本，一邊讀書。他最有興趣的是科學，他大部分的科學知識都是這樣不屈不朽地自學的。

當時的倫敦聖誕科學講座由戴維主持，喜愛科學的法拉第當然不會錯過，跑去做聽眾。當其他人都在看戴維表演的時候，法拉第卻認真地做筆記，回家可以溫習。他更把筆記整理好，再自行釘裝，送了給戴維。戴維因為看到他三番四次的誠意，因此聘請他做研究助理。因為這樣，大自然把光照到人類的科學界，最終使法拉第發現了電磁感生效應，即我們在中學會學到的「改變的磁場能夠感生電流」，這就是著名的法拉第定律。

雖然戴維曾經有一段時間看不起出身低微的法拉第，並因為妒忌法拉第而用自己的權力打壓他。有傳戴維在臨終前，也終於說出作為科學家的驕傲的說話：「我這一生最大的發現，是發現了法拉第。」無論如何，法拉第始終尊敬這個給他機會做科學研究的老師，一生都非常尊敬他。在戴維死後，倫敦聖誕科學講座一直由法拉第主講，因為法拉第希望他的講座能夠吸引和啟發更多像他當年一樣的小伙子，所以他的講座所做的實驗都是有趣味和有啟發性的前沿發現，深受小朋友的喜愛。

然後，就是我們在前文提過的馬克士威發現電磁方程式、赫茲證明電磁波真實存在等等。最後出場的是愛因斯坦。很多人 (包括我以前) 都以為愛因斯坦發現狹義相對論是因為力學的原因，其實不然。事實上，真正吸引愛因斯坦思考相對論的，是上回討論的電磁實驗。以下，我嘗試用最少程度的數學，為讀者證明：我們日常接觸的電磁鐵，其實就是相對論的一個活生生的實證。

好了，現在讓我們來動手做數學證明：考慮一條電線，見圖 (1)。電線裡有一連串的正電荷正以速率 v 向右移動。想像電荷之間是如此的接近，以致可被想像成連續的正電荷密度 +λ。想像有負電荷密度 –λ 以同樣的速率 v 向左移動。所以我們就有電流 I = 2λv。現在，有一個點電荷 q 在電線旁邊以速度 u < v 平行電線向右運動。由於圖中正負電荷密度相等，因此沒有任何電力會作用於 q 身上。我們稱這個座標系為 S。

現在考慮另一個以速率 u 向右移動的座標系 S’，見圖 (2)。因為 S’ 與電荷 q 同向一方向運動而且速率一樣，所以在 S’ 裡的觀測者會看到電荷 q 靜止不動。根據愛因斯坦速度相加法則 (參考《你也能懂相對論》之中的第 (5) 式)，正電荷和負電荷在座標系 S’ 中的速率分別為

 (2)

和

 (3)

因為

 (4)

所以負電荷的速率比正電荷的速率高。換句話說，負電荷的洛倫茲收縮程度會比正電荷的嚴重，因此在座標系 S’ 中觀察時，這條電線是帶負電的！

現在我們來搞清楚各個坐標系中的電荷密度的關係。根據洛倫茲收縮公式，設 λ₀ 為靜止正電荷的電荷密度。注意，λ₀ 與 +λ 是不同的！+λ 是正電荷在座標系 S 裡的電荷密度 (正電荷不是靜止)，而 λ₀ 是正電荷靜止時的電荷密度。所以，當我們在就座標系 S’ 中觀察時，就有

 (5)

和

 (6)

當我們在就座標系 S 中觀察時，就有

 (7)

把 (2) 和 (3) 式分別代入 (5) 和 (6) 式，就得到

 (8)

和

 (9)

所以，在就座標系 S’ 中觀察時，總電荷密度就等於

 (10)

所以，我們發現在不同座標系中觀察時，總電荷密度會有所不同。

由於在座標系 S’ 中觀察時總電荷密度不是零，根據高斯定律，會有電場

 (11)

因此，座標系 S’ 之中，電荷 q 所受的電力為

 (12)

問題來了：如果在坐標系 S’  中電荷 q 會受力的話，在坐標系 S 中它也必定會受力，因為物理定律是唯一的！這個力的大小是

 (13)

(關於力的變換公式，我在此略去，有興趣的讀者可以自行參考相對論教科書)

由於討論開始時我們假設只知道電力的存在，因此在坐標系 S 中必定存在另外一種力，這種力是由電力及相對論性效應導致的！這是甚麼力？當然就是磁力了。要看到這點，只需要把光速

 (14)

(參考《光的祕密》第 (14) 式)

代入 (12) 式，我們就得到

 (15)

但這是甚麼？還認得括號中的是甚麼嗎？對了，括號中的是一條電線裡的電流所產生的磁場，即是第 (1) 式！

如果讀者覺得以上數學和文字很悶，這裡有一段 YouTube 影片講解同樣的東西 (別罵我為什麼不早說，早說了你還會讀我這篇文章嗎？)

當然，關於相對論還有更多有趣的題目，以後可以和各位讀者討論。在這一連四篇關於相對論、光、電磁學等等的文章之中，希望大家也和我一樣，在領略大自然的深刻之餘，得到一點點的樂趣。