照亮相對論的光 (上)

我在《光的祕密》文中討論了電磁學的發展，以及馬克士威方程如何預言電磁波的存在。但是在 19 世紀末的物理學界仍然存在好幾片烏雲，而且正不斷擴大。其中一片就是牛頓力學與電磁學的結論互相抵觸。

相對性原理 (principle of relativity) 其實並非愛因斯坦所發現的。人類似乎很早就知道 (卻沒有去追問為甚麼，彷彿一切都是必然的) 我們能在行駛中的船上以在地上一樣的力度和角度打桌球、廚師能以在地上一樣的技巧將薄餅拋來拋去、而你也能夠在正以時速 900 公里飛行的飛機上從容不迫地與在地面上一樣做相同的動作。看來，我們習慣所有東西都是理所當然的。懷海德 (Alfred North Whitehead) 說

“It requires a very unusual mind to undertake the analysis of the obvious.”

伽利略是個 unusual mind。他發現了鐘擺等時定律、也發現了物質具有慣性 (inertia)，即沒有被施外力的物質會一直保特其運動速度，即是以同樣的速率與方向繼續運動。所以相對性原理其實是伽利略發現的。

牛頓也知道伽利略發現了這個超越古希臘的知識。由觀察蘋果和月球的運動得出萬有引力定律的牛頓，肯定也是個 unusual mind。這是發生在 17 世紀的故事，距公元 5 世紀愛奧尼亞文明的衰亡足足遲了 1200 多年。我經常想像，如果阿基米德沒有被羅馬士兵所殺，也許人類文明會比現在進步上千年。

回到主題。究竟描述光的電磁學與描述時空的相對論有何關係？關係在於電磁波動方程：

其中 E 及 B 分別為電場及磁場，它們頭上的箭咀表示它們是三維向量。由上述公式可知電磁波的存在，其速度約為每秒 30 萬公里。究竟秒速 30 萬公里有甚麼問題呢？這個數字本身沒有問題，問題在於這一數字是個常數，即其數值不會改變。在數學中，我們都清楚知道常數的數學規則。但在現實中，「光速是個常數」究竟是甚麼意思？「不會改變」究竟是指何種情況之下不會改變？愛因斯坦的答案是：在宇宙間任何時間、地點、運動狀態下都不會改變！

想像小明在火車車廂中以速度 u 跑步，而火車正以速度 v 行駛，所以在月台上的人看到小明的速度就應該是 u + v 吧！接下在，我們想像正在跑步的不是小明，而是一道以速度 c 前進的光線。請問在月台上的人看到的這道光線正在以甚麼速度行進呢？是 c + v 嗎？不！答案是 c。無論這道光線向著哪個方向發射，其速度都是 c，不多也不少。

你可能會問：「這怎麼可能！如果我以光速向著一道光線跑去，我不是會看到兩倍光速嗎？」不，結果仍然是 c。在這場牛頓對馬克士威的比賽中，大自然選擇了馬克士威。馬克士威的電磁理論在宏觀的大尺度事物上是正確的，它與愛因斯坦的相對論相容，但與牛頓的絕對時間、空間概念相悖。大自然告訴我們，速度不是 1 + 1 = 2。在《你也能懂相對論》一文中，我們已經討論過狹義相對論，故此不再重複。相對性原理說明，宇宙間沒有絕對速度，可被測量的只有相對速度。即是說，月台上的人可以說是火車在運動，火車上的人也可以說是月台在運動，兩者的說法都一樣正確。

現在我想以電磁學的角度去討論相對論。一個運動中的帶電粒子會同時產生電場與磁場，而靜止中的帶電粒子則只會產生電場，沒有磁場。問題來了：哪究竟這粒子有沒有產生磁場？如果一個觀測者 A 相對於該粒子為靜止，他將不會測量到任何磁場。但如果有另一個觀測者 B 相對觀測者 A 運動，他將會測量到一個磁場，因為觀測者 B 相對該粒子也在運動。可是，物理現象必須是唯一的，因為同一個事件不可能得出兩個不同的結論。

我們來進一步分析這個問題。假設你有一個任意形狀的線圈和一塊可以改變磁場強度的電磁鐵。我們試試把電磁鐵穿過線圈，你可以做三個實驗：

固定電磁鐵，移動線圈；
固定線圈，移動電磁鐵；
固定線圈及電磁鐵，改變磁場強度。

如果我們真的做這三個實驗，會得到什麼結果呢？由於時間關係，我把結果告訴你：三個實驗都發現有電流通過線圈，其數值都完全一樣！

法拉第做了這些實驗。在實驗 (1) 裡，產生電流的原因是磁力。根據洛倫茲力方程式 (Lorentz force equation)，由於沒有電場存在，作用於線圈內每單位電荷的力就是

(1)

其中 u 為電荷的速度。由於磁通量 (magnetic flux) 是

(2)

參考上圖，線圈由時間 t 的位置移動到時間 t + dt 的位置，帶狀範圍就是 [並非由硬幣導致……] 磁通量的改變，其量為

(3)

考慮圖中點 P，經過了 dt 的時間後它移動至 P’ 的位置。如果 v 為電線段的速度，u 為電荷在電線內的速度，所以 w = v + u 就是電荷在點 P 的速度。由於每一格帶狀區域的面積就是 dA = (v x dl) dt，代入 (3) 式就得到

(4)

因為 u 平行 dl 於，所以我們就有

(5)

現在利用恆等式

(6)

可以把 (5) 式改寫成

(7)

由於 w 就是電荷在點 P 的速度，所以 (w x B) 就是電荷所受的磁力，根據 (1) 式我們就有

(8)

最後，根據電動勢的定義

(9)

我們就得到

(10)

亦即我們在中學學過的「電動勢等於磁通量的負改變率」。

另一方面，我們也可以試試來考慮實驗 (2) 和 (3)，看看會得到什麼有趣的結果。

首先，我們知道改變中的磁場能夠感生一個電場。實驗 (2) 和 (3) 中的電動勢均由此電場產生，其強度與第 (10) 式中的一樣：

(11)

現在使用第 (2) 式，我們就會得到

(12)

這就是積分版本的法拉第定律，對它作旋度 (curl) 就可得到在《光的祕密》一文中的微分版本法拉第定律。

在實驗 (2) 和 (3) 中，法拉第發現線圈內的電動勢的數值，竟然恰巧等於實驗 (1) 中所得的數值！你可能會說：「當然！根據相對論，重要的只是線圈和電磁鐵的相對運動，所以實驗 (1) 與實驗 (2) 和 (3) 所得的結果必然一樣。」可是，當年的法拉第並不懂得相對論，愛因斯坦也還未出世。而且這也不足以解釋實驗 (3) 的結果為何也是一樣。由電磁學的角度看，這純粹是個漂亮的巧合。法拉第也有個 unusual mind，他的直覺告訴他，「電」與「磁」應該是相同的物理現象。不過他一直要等到馬克士威發現他的馬克士威方程式，法拉第的假設才被證明。

由這些討論我們可以得出甚麼結論？基於完全不同的物理過程，實驗 (1) 與實驗 (2) 和 (3) 得到相同的電動勢：實驗 (1) 中產生電動勢的是磁場，而實驗 (2) 及 (3) 中產生電動勢的卻是改變中的磁場所感生的電場。嚴格來說，實驗 (1) 的結果並非法拉第定律，因為法拉弟定律所指的是由磁場所感生的電場。這個分別看似無聊，但是正正因為這一分別，令愛因斯坦得到靈感，最終發現狹義相對論。愛因斯坦在他的論文中指出，這個事實顯示在電動力學與力學中，根本不存在絕對靜止的概念。

電動力學 (electrodynamics) 就是研究電磁現象與粒子的相互作用的物理學分支。與牛頓力學不同，由馬克士威方程式出發的電動力學與相對論相容。當時大部分科學家都認為，牛頓力學在物理學界已經屹立了幾百年，而馬克士威寫下他的方程式只有區區幾十年，所以馬克士威一定是錯的。但愛因斯坦並沒有因為理論誕生的先後次序而否定馬克士威方程式。

歷史證明愛因斯坦又是另一個 unusual mind。在科學裡，無論一個理論的歷史有多悠久、它的數學有多嚴謹、提出它的人有多著名，只要它不符合觀察結果，它就是錯的。科學裡只有事實，沒有權威。